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Équation différentielle

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Ne doit pas être confondu avecÉquation aux différences.

{{{1}}} : équation différentielle linéaire d'ordre un, avec a et b deux réels, y une fonction et y' sa dérivée.
Équation différentielle linéaire d'ordre 1, aveca etb deux réels,y unefonction ety' sadérivée.

Enmathématiques, uneéquation différentielle est uneéquation dont la ou lesinconnues sont desfonctions ; elle se présente sous la forme d'une relation entre ces fonctions inconnues et leursdérivées successives. C'est un cas particulier d'équation fonctionnelle. Notons que souvent, quand on parle d'équation différentielle, on sous-entend qu'elle estordinaire, c'est-à-dire que les fonctions inconnues ne dépendent que d'une seule variable.

Une équation différentielle permet demodéliser des situations très diverses, que ce soit enphysique, enéconomie, enbiologie, ensciences de l'ingénieur ou dans d'autres domaines encore, dans lesquelles lavitesse de variation d'une quantité a une relation déterminée à cette quantité. Seules quelques équations différentielles très simples ont des solutions exactes. Néanmoins, on peut trouver des propriétés des solutions sans les connaître explicitement, en travaillant à partir des équations différentielles elles-mêmes. Dans les cas où une solution exacte d'un système d'équations différentielles n'existe pas, on peut cependant trouver des solutions approchées par des méthodes d'approximation numérique, qui sont devenues très précises et efficaces depuis le développement de l'informatique. Sinon, avec l'aide desmathématiques pures, lathéorie des systèmes dynamiques permet de connaître certaines propriétés des solutions.

Exemple tiré de la mécanique

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Enmécanique classique, le mouvement d'un corps est décrit par sa position et savitesse en fonction du temps. Grâce auxlois de Newton, on peut écrire le problème comme uneéquation différentielle avec comme inconnue la position du solide en fonction du temps, sa vitesse et sonaccélération étant sesdérivées première et seconde, et les paramètres étant les différentes forces agissant sur ce corps.Dans certains cas simples ou après des simplifications du problème, l'équation différentielle, appeléeéquation du mouvement, peut être résolue de façon explicite.

Un exemple de la vie courante faisant appel à l'équation du mouvement est la détermination de la vitesse d'une balle tombant en l'air, et subissant comme forces uniquement la loi de lagravité et la résistance de l'air, toutes deux étant exercées verticalement, et la seconde limitant la première. La gravité est constante, et la résistance de l'air peut être modélisée simplement en la considérant commeproportionnelle à la vitesse :

G→+R→=mdv→dt{\displaystyle {\vec {\mathrm {G} }}+{\vec {\mathrm {R} }}=m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}}

où :

Pour résoudre cetteéquation différentielle ordinaire, on peut poser l'hypothèse simplificatrice suivante :

On obtient alors l'équation différentiellekv(t)→+mdv(t)→dt=G→{\displaystyle k{\vec {v(t)}}+m{\frac {\vec {dv(t)}}{dt}}={\vec {G}}},qui, en seprojetant sur l'axe vertical, direction du mouvement de la balle, se réécrit :

v(t)+mkdv(t)dt=Gk{\displaystyle v(t)+{\frac {m}{k}}{\frac {dv(t)}{dt}}={\frac {G}{k}}},et qui est uneéquation différentielle linéaire d'ordre un, linéaire car les coefficients dev{\displaystyle v} et de sa dérivée sont constants, et d'ordre un, car la dérivée d'ordre le plus élevé est la dérivée premièredv(t)dt{\displaystyle {\frac {dv(t)}{dt}}}.

La solution de cette équation différentielle est :v(t)=Gk+e−kmt{\displaystyle v(t)={\frac {G}{k}}+\mathrm {e} ^{-{\frac {k}{m}}t}}.

Histoire des équations différentielles

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Des modélisations mathématiques étaient déjà en cours de développement à l'époque de laRenaissance. Mais l'utilisation explicite des équations différentielles formelles apparaît avec l'invention ducalcul infinitésimal parIsaac Newton etGottfried Leibniz. Newton en définit trois dans son traitéde Methodis Serierum et Fluxionum[1] :dydx=f(x) , dydx=f(x,y) et x1∂y∂x1+x2∂y∂x2=y{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)\ ,\ {\frac {dy}{dx}}=f(x,y)\ {\rm {et}}\ x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y}, oùy{\displaystyle y} est la fonction inconnue, dépendant dex{\displaystyle x} (ou dex1{\displaystyle x_{1}} etx2{\displaystyle x_{2}} si c'est unefonction de plusieurs variables), et oùf{\displaystyle f} est une fonction donnée.Il résout ces exemples en faisant appel auxséries infinies, et étudie la possibilité de plusieurs solutions.
Jacques Bernoulli proposa une autre forme d'équation différentielle en 1695:

y′+P(x)y=Q(x)yn{\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}

Leibniz réussit à en trouver des solutions quelques années plus tard, en la simplifiant.

L'une des premières questions de physique à nécessiter l'appel aux équations différentielles fut le problème d'une corde vibrante, comme pour uninstrument de musique. Ce problème fut étudié parJean le Rond d'Alembert,Leonhard Euler,Daniel Bernoulli, etJoseph-Louis Lagrange[2],[3]. En 1746, d'Alembert découvrit l'équation d'une onde en une dimension, et quelques années plus tard, Euler découvrit l'équation d'une onde en trois dimensions[4].

L'équation d'Euler-Lagrange fut développée dans les années 1750 par les deux mathématiciens pour résoudre en particulier le problème descourbes tautochrones. Lagrange résolut le problème en 1755, et envoya la solution à Euler. Tous deux développèrent à partir de cela la méthode de Lagrange et l'appliquèrent à la mécanique, ce qui aboutit à la formulation de lamécanique lagrangienne.
En 1822,Joseph Fourier publia son travail sur letransfert thermique, dans son traitéThéorie analytique de la chaleur[5], dans le quel il s'appuie sur laloi de refroidissement de Newton. Dans son traité, il établit uneéquation de la chaleur, une équation aux dérivées partielles, qui décrit lephénomène physique deconduction thermique. Cette équation a été utilisée depuis dans de nombreux autres domaines des mathématiques et de la physique (théorie des probabilités,mathématiques financières,mécanique quantique,...).

Types d'équations différentielles

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Les équations différentielles peuvent être caractérisées de plusieurs manières. Cette caractérisation aide à trouver les bons outils convenant à chaque équation différentielle pour trouver des solutions ou du moins en découvrir des propriétés. La caractérisation la plus importante est la distinction entre leséquations différentielles ordinaires (EDO) et leséquations aux dérivées partielles, où la ou les fonctions inconnues recherchées peuvent dépendre de plusieurs variables indépendantes (EDP). On peut aussi distinguer les équations différentielleslinéaires etnon linéaires, et les équations différentielleshomogènes, ou non homogènes.
Il existe aussi d'autres types particuliers d'équations différentielles : leséquations intégro-différentielles (IDE), qui contiennent à la fois des dérivées et desprimitives des solutions ; leséquations différentielles raides, dont les solutions sont sensibles aux variations des paramètres ; leséquations différentielles holomorphes (EDH) où la ou les fonctions inconnues dépendent d'une seule variablecomplexe ; leséquations différentielles stochastiques (EDS) où un ou plusieurs paramètres de l'équation différentielle sont desprocessus stochastiques ; leséquations différentielles à retard (EDR) dans lesquelles la dérivée de la fonction inconnue à un moment donné est exprimée selon les valeurs de la fonction aux temps précédents ; les équations différentielles abstraites (EDA) où les fonctions inconnues et leurs dérivées prennent leurs valeurs dans desespaces fonctionnels abstraits (espace de Hilbert,espace de Banach, etc.).

Existence de solutions

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La résolution d'une équation différentielle est nettement plus complexe que celle d'uneéquation algébrique pour plusieurs raisons. D'abord, on ne peut pas savoir a priori s'il existe une ou plusieurs solutions, ou aucune. De plus, la solution peut rarement être exprimée de façon explicite.

Pour les équations différentielles du premier ordre ayant certaines conditions initiales, lethéorème de Cauchy-Peano-Arzelà donne un ensemble de conditions pour qu'une solution existe.Soit un point(a,b){\displaystyle (a,b)} dans le plan, définissant une région rectangulaireZ{\displaystyle Z}, telle queZ=[l,m]×[n,p]{\displaystyle Z=[l,m]\times [n,p]} et(a,b){\displaystyle (a,b)} est à l'intérieur deZ{\displaystyle Z}. Pour une équation différentielle donnéedydx=g(x,y){\textstyle {\frac {dy}{dx}}=g(x,y)} avec la condition quey=b{\displaystyle y=b} quandx=a{\displaystyle x=a}, alors il existe une solution locale du problème sig(x,y){\displaystyle g(x,y)} et∂g∂x{\textstyle {\frac {\partial g}{\partial x}}} sont toutes deux continues surZ{\displaystyle Z}. Cette solution est définie sur un certain intervalle autour dea{\displaystyle a}. Il peut y avoir plusieurs solutions. Ce théorème n'est valable que pour des équations différentielles du premier ordre, avec des conditions aux limites définies.

Pour un problème du nième ordre

fn(x)dnydxn+⋯+f1(x)dydx+f0(x)y=g(x){\displaystyle f_{n}(x){\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\cdots +f_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+f_{0}(x)y=g(x)}

avec des conditions initiales telles que

y(x0)=y0,y′(x0)=y0′,y″(x0)=y0″,…,y(n−1)(x0)=y0(n−1){\displaystyle {\begin{aligned}y(x_{0})&=y_{0},&y'(x_{0})&=y'_{0},&y''(x_{0})&=y''_{0},&&\ldots ,&y^{(n-1)}(x_{0})&=y_{0}^{(n-1)}\end{aligned}}},

si sur un certain intervalle contenantx0{\displaystyle x_{0}},{f0,f1,…,fn}{\displaystyle \{f_{0},f_{1},\ldots ,f_{n}\}} etg{\displaystyle g} sont continues etfn{\displaystyle f_{n}} ne s'annule pas, alorsy{\displaystyle y} existe et est unique[6].

Exemples d'équations différentielles

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Équations du premier ordre

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Équation différentielle linéaire à variables séparables

Les équations différentielles les plus simples sont leséquations linéaires homogènesdu premier ordre. Par exemple, équation différentielle linéaire à variables séparables, de la forme :

dydt+f(t)y=0{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+f(t)y=0}

oùf est une fonction connue admettant des primitives. Une façon directe de la résoudre est de considérer, pourf(t) non nul, la forme avec les variables séparées :

dyy=−f(t)dt.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{y}}=-f(t)\mathrm {d} t.}

Par intégration, il vient alors :

ln⁡(y)+C=∫dyy=−∫f(t)dt⟹y=Aexp⁡(−∫f(t)dt){\displaystyle \ln(y)+C=\int {\frac {\mathrm {d} y}{y}}=-\int f(t)\mathrm {d} t\Longrightarrow y=A\exp \left(-\int f(t)\mathrm {d} t\right)\,}

oùA = eC est une constante arbitraire.

Équation différentielle linéaire à variables non séparables

Le cas plus général inclut des formes où les variables ne sont pas séparables, comme :

dydx+p(x)y=q(x).{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+p(x)y=q(x).}

oùp etq sont des fonctions connues admettant des primitives. Une façon directe de la résoudre est de la réécrire avec unfacteur intégrant :

μ(x)=exp⁡(∫x0xp(t)dt){\displaystyle \mu (x)=\exp \left(\int _{x_{0}}^{x}p(t)\mathrm {d} t\right)}

Ce qui donne, en remultipliant par le facteurμ

μ(x)dydx+μ(x)p(x)y=μ(x)dydx+dμdxy=d(μ(x)y)dx=μ(x)q(x).{\displaystyle \mu (x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+\mu (x)p(x)y=\mu (x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+{\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} x}}y={\frac {\mathrm {d} (\mu (x)y)}{\mathrm {d} x}}=\mu (x)q(x).}

dont on déduit la forme générale de la solution :

y=∫μ(x)q(x)dx+Cμ(x).{\displaystyle y={\frac {\int \mu (x)q(x)\,\mathrm {d} x+C}{\mu (x)}}.}

Équations du second ordre

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Oscillation simple non amortie

Les mouvements périodiques dont on néglige les effets de frottement qui vont le ralentir (comme l'allongement du ressortx(t) à un tempst) peuvent être modélisés par l'équation différentielle suivante :

d2xdt2=−ω2x{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-\omega ^{2}x\,} oùω est un réel positif

Dont les solutions sont :

x(t)=Acos⁡(ωt)+Bsin⁡(ωt){\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)\,}

Pour déterminer les constantesA etB, il faut utiliser lesconditions initiales qui permettent de décrire l'état du système à un instant donné (correspondant en général àt = 0).

Par exemple si on suppose qu'à l'instantt = 0, l'extension du ressort est d'uneunité de longueur (x = 1), et la masse est immobile (dx/dt = 0). On peut en déduire

x(0)=Acos⁡0+Bsin⁡0=A=1{\displaystyle x(0)=A\cos 0+B\sin 0=A=1\,},

d'où l'on déduitA = 1.

x′(0)=−ωAsin⁡0+ωBcos⁡0=ωB=0{\displaystyle x'(0)=-\omega A\sin 0+\omega B\cos 0=\omega B=0\,},

et doncB = 0.

En conséquencex(t)=cos⁡(ωt){\displaystyle x(t)=\cos(\omega t)\,} est solution de l'équation différentielle étudiée.

Plus souvent en physique pour les oscillations simples non amorties, on utilise une solution de la forme :

x(t)=Acos⁡(ωt+ϕ),{\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\phi ),}

avecA étant l'amplitude etϕ la phase.

Pour l'exemple cité on procède :

x(0)=Acos⁡(ϕ)=1{\displaystyle x(0)=A\cos(\phi )=1}
x′(0)=−Aωsin⁡(ϕ)=0{\displaystyle x'(0)=-A\omega \sin(\phi )=0}

Ce qui donneϕ = 0 et par conséquentA = 1.

D'où le résultatx(t)=cos⁡(ωt){\displaystyle x(t)=\cos(\omega t)}

La solution la plus générale en fonction de conditions initiales quelconquesx0 etx˙0{\displaystyle {\dot {x}}_{0}} est donnée par l'équation :

x(t)=x0cos⁡(ωt)+x˙0ωsin⁡(ωt){\displaystyle x(t)=x_{0}\cos {(\omega t)}+{\dfrac {{\dot {x}}_{0}}{\omega }}\sin {(\omega t)}}
Prise en compte de l'amortissement
Oscillation amortie

Le modèle précédent négligeait les forces de frottement. De ce fait l'oscillation libre pouvait durer indéfiniment, ce qui n'est jamais observé en réalité.

Les frottements sont en général une force proportionnelle à la vitesse (dx/dt) et opposée au mouvement. En rajoutant ce terme notre équation différentielle devient :

d2xdt2=−cdxdt−ω2x{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-c{\frac {dx}{dt}}-\omega ^{2}x\,} oùc > 0 est le coefficient de frottement.

Ceci est uneéquation différentielle linéaire à coefficients constants, homogène et du second ordre, qu'on peut résoudre.

En cherchant une solution de la forme particulièreA ekt, on constate quek doit vérifier l'équation caractéristique suivante :

k2+ck+ω2=0{\displaystyle k^{2}+ck+\omega ^{2}=0\,}.

On revient ainsi à l'étude d'uneéquation du second degré. Sic < 2ω, on a deux racines complexes conjuguées (de la formea ± ib), et la solution (avec les conditions initiales identiques au cas précédent) a la forme suivante :

x(t)=e−c2t(cos⁡(t4ω2−c2)+−c24ω2−c2sin⁡(t4ω2−c2)){\displaystyle x(t)={\rm {e}}^{-{\frac {c}{2}}t}\left(\cos(t{\sqrt {4\omega ^{2}-c^{2}}})+{\frac {-c}{2{\sqrt {4\omega ^{2}-c^{2}}}}}\sin(t{\sqrt {4\omega ^{2}-c^{2}}})\right)\,}

On peut démontrer quea < 0.

Le système étudié (lependule pesant dans leréférentiel terrestre supposé galiléen) est le siège d'oscillations libres amorties.

Ce sont les positions ducentre d'inertie de la masse, en fonction du temps, avecx = 0 correspondant à une position d'équilibre.

NB : la courbe présente une allure proche d'unrégime critique : la position d'équilibre est à peine franchie, et on ne compte guère plus d'une pseudo-période d'oscillations.

Notes et références

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Notes

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Références

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  1. ↑Newton, Isaac. (c.1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series), published in 1736 [Opuscula, 1744, Vol. I. p. 66].
  2. ↑CraigFrasier, « Review ofThe evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742, by John T. Cannon and Sigalia Dostrovsky »,Bulletin of the American Mathematical Society,vol. 9,no 1,‎(lire en ligne)
  3. ↑Gerard F.Wheeler et William P.Crummett, « The Vibrating String Controversy »,Am. J. Phys.,vol. 55,no 1,‎,p. 33–37(DOI 10.1119/1.15311,Bibcode 1987AmJPh..55...33W)
  4. ↑Speiser, David.Discovering the Principles of Mechanics 1600-1800, p. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).
  5. ↑JosephFourier,Théorie analytique de la chaleur, Paris, Firmin Didot Père et Fils,(OCLC 2688081,lire en ligne)
  6. ↑Dennis G.Zill,A First Course in Differential Equations, Brooks/Cole,, 5th éd.(ISBN 0-534-37388-7)

Voir aussi

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Bibliographie

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Articles connexes

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Liens externes

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à propos des solutions
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