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Équation de Dirac

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Paul Dirac.

L'équation de Dirac est uneéquation formulée parPaul Dirac en1928 dans le cadre de samécanique quantique relativiste de l'électron.Il s'agit au départ d'une tentative pour incorporer larelativité restreinte à des modèlesquantiques, avec une écriturelinéaire entre lamasse et l'impulsion.

Explication

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Cette équation décrit le comportement departicules élémentaires despins demi-entiers, comme les électrons.Dirac cherchait à transformer l'équation de Schrödinger afin de la rendre invariante par l'action dugroupe de Lorentz, en d'autres termes à la rendre compatible avec les principes de larelativité restreinte.

Cette équation prend en compte de manière naturelle la notion de spin introduite peu de temps avant et permit de prédire l'existence desantiparticules. En effet, outre la solution correspondant à l'électron, il découvre une nouvelle solution correspondant à une particule de charge et autres nombres quantiques opposés à ceux de l'électron[1]. En 1932,Carl David Anderson, alors qu'il étudiait lerayonnement cosmique (sans lien avec les travaux de Dirac), observe, avec unechambre à brouillard, une particule de charge opposée à celle de l'électron et de masse bien inférieure à celle duproton (seule particule chargée positivement connue à l'époque). Cette particule s'avéra par la suite être celle conjecturée par Dirac, lepositon[2].

Il est par ailleurs notable que l'opérateur de Dirac, découvert pour des raisons absolument physiques (et théoriques), a enmathématiques un usage indispensable dans lethéorème de l'indice démontré en 1963.

Formulation mathématique

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La véritable équation :

iℏ∂ψ∂t(x,t)=(mc2α0−iℏc∑j=13αj∂∂xj)ψ(x,t){\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)=\left(mc^{2}\alpha _{0}-\mathrm {i} \hbar c\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\,\right)\psi (\mathbf {x} ,t)}

oùm est lamasse de la particule,c lavitesse de la lumière,ℏ{\displaystyle \hbar } laconstante de Planck réduite,x ett les coordonnées dans l'espace et dans letemps, etψ(x,t) unefonction d'onde à quatre composantes. (La fonction d'onde doit être formulée par unspineur à quatre composants, plutôt que par un simplechamp scalaire, du fait des exigences de larelativité restreinte.) Enfinαj, j=0,1,2,3{\displaystyle \alpha _{j},\ j=0,1,2,3} sont desmatrices carrées d'ordre4 agissant sur le spineurψ{\displaystyle \psi \,} et appeléesmatrices de Dirac. En fonction desmatrices de Pauliσ→{\displaystyle {\vec {\sigma }}}, on peut écrire les matrices de Dirac, dans lareprésentation de Dirac (d'autres sont possibles, comme lareprésentation de Weyl ou lareprésentation de Majorana), sous la forme :

α0=(I00−I),α→=(0σ→σ→0){\displaystyle {\begin{matrix}\alpha _{0}=\left({\begin{matrix}I&0\\0&-I\end{matrix}}\right)&,&{\vec {\alpha }}=\left({\begin{matrix}0&{\vec {\sigma }}\\{\vec {\sigma }}&0\end{matrix}}\right)\end{matrix}}}

Il est commun en mécanique quantique de considérer l'opérateurquantité de mouvementp→≡−iℏ∇→{\displaystyle {\vec {p}}\equiv -\mathrm {i} \hbar {\vec {\nabla }}\,} et dans ce cas l'équation de Dirac se réécrit de façon condensée :

iℏ∂ψ∂t(p,t)=(mc2α0+cα→⋅p→)ψ(p,t){\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {p} ,t)=\left(mc^{2}\alpha _{0}+c{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {p}}\,\right)\psi (\mathbf {p} ,t)}

De plus, il est naturel de chercher une formulation covariante, ce qu'on fait en posantγ0=γ0=α0{\displaystyle \gamma ^{0}=\gamma _{0}=\alpha _{0}} etγi=−γi=α0αi{\displaystyle \gamma ^{i}=-\gamma _{i}=\alpha _{0}\alpha _{i}} (métrique (+ – – –)), auquel cas on a (en adoptant les conventionsc=1{\displaystyle c=1} etℏ=1{\displaystyle \hbar =1}) une notation encore plus compacte :

(⧸p−m)ψ(p,t)=0{\displaystyle \left(\not \!p-m\right)\psi (\mathbf {p} ,t)=0}

où l'on a adopté lanotation de Feynman⧸a=γμaμ{\displaystyle \not \!a=\gamma _{\mu }a^{\mu }}.

La fonction d'onde à quatre composantes, appelée spineur, encode simultanément les deux états propres du spin, les solutions d'énergie positive/négative (particule/anti-particule) et leur couplage relativiste, comme suit[réf. souhaitée] :

  • Lorsque la quantité de mouvement p est nulle, les quatre composantes se décomposent en deux paires distinctes. La première (Φ) encode les amplitudes de probabilité associées aux états propres du spin de la particule (exemple : électron). La seconde (Χ) encode celles de l'antiparticule correspondante (exemple : positron).
  • Dès que p ≠ 0, les quatre composantes décrivent soit une particule (énergie positive), soit une antiparticule (énergie négative). Chaque solution individuelle reste un état à quatre composantes où le spin sigma et la quantité de mouvement p sont couplés. L'une des paires encode les états propres du spin hérités du référentiel au repos, dynamiquement ajustés au mouvement. L'autre paire encode leur modification relativiste en reliant les deux paires par l'énergie totale du système[pas clair][réf. souhaitée].

Notes et références

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  1. ↑Jean-EudesAugustin,« Électron », dansEncyclopædia Universalis,vol. 8 :Égypte - Étrusques, Paris, Encyclopædia Universalis,,p. 118.
  2. ↑Etienne Klein,Il était sept fois la révolution, Flammarion,(ISBN 978-2-0813-7559-8), p. 114-115.

Voir aussi

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Articles connexes

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Bibliographie

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Ouvrages de référence

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Bibliothèque virtuelle

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Lien externe

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