Pour les articles homonymes, voirEFE .
Équation sur un mur àLeyde . Rμν = 0vide et en l'absence deconstante cosmologique , sur lerevers d'unepièce commémorative suisse (« Centenaire de la naissance d'Albert Einstein » , 5 CHF,1979 ). L’équation d'Einstein [ 1] équation de champ d'Einstein [ 2] Einstein field equation ouEFE ), publiée parAlbert Einstein , pour la première fois le25 novembre 1915 [ 3] équation aux dérivées partielles de larelativité générale . C'est une équation dynamique qui décrit comment la matière et l'énergie modifient la géométrie de l'espace-temps . Cettecourbure de la géométrie autour d'une source de matière est alors interprétée comme lechamp gravitationnel de cette source. Le mouvement des objets dans ce champ est décrit très précisément par l'équation de sagéodésique .
Larelativité générale est lathéorie métrique de la gravitation qui satisfait leprincipe d'équivalence fort[ N 1] champ de gravitation [ 6] , [ N 2] [ N 3] équation fondamentale de la relativité générale[ 11] , [ 13] , [ 15] [ 16] équation de Poisson [ 17] loi de Newton [ 18] tensorielle [ 9] , [ 12] , [ 15] , [ N 4] tenseurs [ 22] tenseur d'Einstein [ 22] tenseur énergie-impulsion [ 22] proportionnalité [ 22] équations différentielles [ 23] aux dérivées partielles hautement[ 24] , [ 25] [ 26]
John A. Wheeler (1911 -2008 ) la présente ainsi[ 27]
« Spacetime tells matter how to move ; matter tells spacetime how to curve. »
— John A. Wheeler et Kenneth W. Ford,Geons, black holes, and quantum foam : a life in physics[ 28]
« L'espace-temps dit à la matière comment se mouvoir ; la matière dit à l'espace-temps comment se courber. »
— Tim Folger,Une brève histoire du voyage dans le temps[ 29]
ou[ 30]
« Spacetime grips mass, telling it how to move ; and mass grips spacetime, telling it how to curve. »
— Edwin F. Taylor et John A. Wheeler,Spacetime physics.
« L'espace-temps tient la masse, lui disant comment se mouvoir ; et la masse tient l'espace-temps, lui disant comment se courber. »
— Spacetime physics.
Sonéponyme estAlbert Einstein (1879 -1955 ) qui la présente, pour la première fois, le jeudi[ 31] 25 novembre 1915 Académie royale des sciences de Prusse àBerlin . L'Académie publie la communication d'Einstein le jeudi suivant,2 décembre Comptes rendus [ 32]
Einstein généralisera l'équation en y ajoutant un terme, appeléconstante cosmologique 8 février 1917 et publié le15 du même mois[ 32]
En notation symbolique et avec conventions classiques de signes MTW[ 33] [ 34] , [ 35]
G + Λ g = κ T {\displaystyle \mathbf {G} +\Lambda \mathbf {g} =\kappa \mathbf {T} } avec[ 36]
G = R − 1 2 R g {\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {R} -{\frac {1}{2}}R\mathbf {g} } g {\displaystyle g} G {\displaystyle G} [ 37] T {\displaystyle T} [ 37]
Λ {\displaystyle \Lambda } κ {\displaystyle \kappa } constantes [ 34] Λ {\displaystyle \Lambda } constante cosmologique [ 37] [ 34] κ {\displaystyle \kappa } couplage du champ gravitationnel avec les systèmes non-gravitationnels[ 34]
L'équation de champ d'Einstein est généralement écrite de la manière suivante[ 38]
où :
R μ ν {\displaystyle R_{\mu \nu }} tenseur de Ricci [ 39] −2 ) ;R {\displaystyle R} courbure scalaire [ 39] −2 ) ;g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} tenseur métrique [ 39] Λ {\displaystyle \Lambda } constante cosmologique [ 39] −2 ) ;T μ ν {\displaystyle T_{\mu \nu }} tenseur énergie-impulsion [ 39] κ {\displaystyle \kappa } [ 40] constante de couplage [ 41] dimensionnée [ 42] , [ 43] , [ 44] constante gravitationnelle de couplage d'Einstein [ 45] constante gravitationnelle d'Einstein [ 46] , [ 47] constante d'Einstein [ 48] , [ 49] , [ 50] , [ 51] κ = 8 π G c 4 {\displaystyle \kappa ={\frac {8{\pi }G}{c^{4}}}} −43 m J−1 (ou N−1 ), dans leSystème international d'unités SI ),avec :
L'équation d'Einstein peut se réécrire comme suit[ 52]
R μ ν = κ ( T μ ν − 1 n − 2 T g μ ν ) + 2 n − 2 Λ g μ ν {\displaystyle R_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{n-2}}Tg_{\mu \nu }\right)+{\frac {2}{n-2}}\Lambda g_{\mu \nu }} où :
Ainsi, pourn = 4 {\displaystyle n=4} [ 53]
R μ ν = κ ( T μ ν − 1 2 T g μ ν ) + Λ g μ ν {\displaystyle R_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Tg_{\mu \nu }\right)+\Lambda g_{\mu \nu }} Cette équation équivalente peut être plus pratique dans certains cas, par exemple lorsqu'on s'intéresse à la limite de champ gravitationnel faible et qu'on peut remplacer g par la Métrique de Minkowski sans perte significative de précision.
Dans le vide( T μ ν = 0 ) {\displaystyle (T_{\mu \nu }=0)} [ 54]
R μ ν = 2 n − 2 Λ g μ ν {\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {2}{n-2}}\Lambda g_{\mu \nu }} avecn ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3}
Dans le vide et l'absence de constante cosmologique( Λ = 0 ) {\displaystyle (\Lambda =0)} [ 55]
G μ ν = 0 {\displaystyle G_{\mu \nu }=0} R μ ν = 0 {\displaystyle R_{\mu \nu }=0} La dimension des composantes des tenseurs n'est pas prédéfinie. Considérons que les coordonnéesx μ {\displaystyle x^{\mu }} homogènes à unelongueur [ 56] [ x μ ] = L {\displaystyle [x^{\mu }]={\mathsf {L}}} g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} sans dimension [ 56] , [ 57] [ g μ ν ] = 1 {\displaystyle [g_{\mu \nu }]=1} connexion de Levi-Civita sont homogènes à l'inverse d'une longueur :L − 1 {\displaystyle {\mathsf {L}}^{-1}} [ 56] R μ ν {\displaystyle R_{\mu \nu }} R {\displaystyle R} homogènes à l'inverse du carré d'une longueur[ 57] [ R μ ν ] = [ R ] = L − 2 {\displaystyle [R_{\mu \nu }]=[R]={\mathsf {L}}^{-2}} G μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }} [ G μ ν ] = L − 2 {\displaystyle [G_{\mu \nu }]={\mathsf {L}}^{-2}} T μ ν {\displaystyle T_{\mu \nu }} énergie volumique [ 57] , [ 58] [ T μ ν ] = L − 1 M T − 2 {\displaystyle [T_{\mu \nu }]={\mathsf {L}}^{-1}{\mathsf {M}}{\mathsf {T}}^{-2}} κ {\displaystyle \kappa } force [ 58] , [ 59] [ κ ] = L − 1 M − 1 T 2 {\displaystyle [\kappa ]={\mathsf {L}}^{-1}{\mathsf {M}}^{-1}{\mathsf {T}}^{2}}
La constanteκ {\displaystyle \kappa } limite newtonienne , à l'équation de Poisson [ 35] , [ 60]
En considérant que la constanteκ {\displaystyle \kappa }
κ = 8 π G c 4 {\displaystyle \kappa =8\pi {\frac {G}{c^{4}}}} G {\displaystyle G} c {\displaystyle c} Il existe, dans la littérature, plusieurs conventions[ 61]
κ = { 8 π G c 4 si [ κ ] = M − 1 L − 1 T 2 = E − 1 L ⇐ si [ g ] = L 2 et [ T ] = E T 8 π G c 2 si [ κ ] = M − 1 L = E − 1 L 3 T − 2 ⇐ si [ g ] = L 2 et [ T ] = M T ou si [ g ] = T 2 et [ T ] = E T 8 π G si [ κ ] = M − 1 L 3 T − 2 = E − 1 L 5 T − 4 ⇐ si [ g ] = T 2 et [ T ] = M T . {\displaystyle \kappa =\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {8\pi G}{c^{4}}}&{\mbox{si }}\left[\kappa \right]={\mathsf {M^{-1}L^{-1}T^{2}=E^{-1}L}}\Leftarrow {\mbox{si }}\left[g\right]={\mathsf {L^{2}}}{\mbox{ et }}\left[T\right]={\mathsf {ET}}\\\displaystyle {\frac {8\pi G}{c^{2}}}&{\mbox{si }}\left[\kappa \right]={\mathsf {M^{-1}L=E^{-1}L^{3}T^{-2}}}\Leftarrow {\mbox{si }}\left[g\right]={\mathsf {L^{2}}}{\mbox{ et }}\left[T\right]={\mathsf {MT}}{\mbox{ ou si }}\left[g\right]={\mathsf {T^{2}}}{\mbox{ et }}\left[T\right]={\mathsf {ET}}\\8\pi G&{\mbox{si }}\left[\kappa \right]={\mathsf {M^{-1}L^{3}T^{-2}=E^{-1}L^{5}T^{-4}}}\Leftarrow {\mbox{si }}\left[g\right]={\mathsf {T^{2}}}{\mbox{ et }}\left[T\right]={\mathsf {MT}}.\end{array}}\right.} Le nombreN {\displaystyle N} [ 62] , [ 63] [ 62] , [ 64] N = 1 2 n ( n − 1 ) = [ 1 2 n ( n + 1 ) ] − n {\displaystyle N={\frac {1}{2}}\;n\left(n-1\right)=\left[{\frac {1}{2}}n\left(n+1\right)\right]-n} n {\displaystyle n} [ 65] , [ 66] , [ 67]
L'équation d'Einstein est une équation dans l'espace des tenseurs (covariants) symétriques de degré 2 sur une variété de dimension 4. Elle peut donc s'exprimer à l'aide de (4*5)/2 = 10 équations scalaires une fois qu'unsystème de coordonnées locales a été choisi. Par ailleurs, la première identité de Bianchi, qui est une équation dans l'espace des formes à valeurs vectorielles, peut s'exprimer à l'aide de 4 équations scalaires dans ce même système. L'équation d'Einstein comporte donc 10 - 4 = 6 équations indépendantes[ réf. souhaitée]
L'équation de champ d'Einstein est comprise comme une équation permettant de connaître letenseur métrique g a b {\displaystyle g_{ab}} tenseur énergie-impulsion . Malgré son aspect simple, elle est en réalité relativement complexe, notamment du fait que le tenseur de Ricci et la courbure scalaire dépendent de la métrique.
Λ {\displaystyle \Lambda } constante cosmologique , a été introduite par Einstein pour permettre des solutions statiques aumodèle cosmologique issu de son équation initiale. Par la suite, il a qualifié cette introduction de « plus grande erreur de sa vie ».
En définissant letenseur d'Einstein
G μ ν = R μ ν − 1 2 R g μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu }} qui est untenseur symétrique derang 2 dépendant de la métriqueet si l'on considère queΛ {\displaystyle \Lambda }
G μ ν = 8 π G c 4 T μ ν . {\displaystyle G_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }.} En travaillant dans lesystème d'unités géométriques , oùG =c = 1, on a :
G μ ν = 8 π T μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,} La partie de gauche représente la courbure de l'espace-temps telle qu'elle est déterminée par la métrique et l'expression de droite représente le contenu masse/énergie de l'espace-temps. Cette équation peut alors être interprétée comme un ensemble d'équations décrivant comment la courbure de l'espace-temps est reliée au contenu masse/énergie de l'univers.
Ces équations, ainsi que l'équation de la géodésique, forment le cœur de la formulation mathématique de larelativité générale .
Le théorème de Lovelock, dû àDavid Lovelock , établit que l'équation d'Einstein est l'unique équation du champ qui :
est construite à partir du tenseur métrique ; n'est pas supérieure au deuxième ordre dans les dérivées ; est locale ; est dérivée d'une action[ 68] L'équation d'Einstein est aussi l'unique équation non-linéaire du mouvement pour particule sans masse de spin 2[ 69]
Une importante conséquence de l'équation d'Einstein est la conservation locale de l'énergie et du moment. Ce résultat apparaît en utilisant l'identité différentielle de Bianchi pour obtenir :
∇ ν G μ ν = G μ ν ; ν = 0 {\displaystyle \nabla _{\nu }G^{\mu \nu }=G^{\mu \nu }{}_{;\nu }=0} ce qui, en utilisant l'équation d'Einstein, donne :
∇ ν T μ ν = T μ ν ; ν = 0 {\displaystyle \nabla _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=0} qui exprime la conservation locale du tenseur énergie-impulsion.
L'équation d'Einstein donne lieu à 10 équations aux dérivées partielles non linéaires pour les composants métriques. Cette caractéristique de non-linéarité distingue la relativité générale de l'ensemble des autres théories physiques. Par exemple, leséquations de Maxwell de l'électromagnétisme sont linéaires par rapport auxchamps électriques et magnétiques (c'est-à-dire que la somme de deux solutions est aussi une solution). Un autre exemple est celui de l'équation de Schrödinger enmécanique quantique où l'équation est linéaire par rapport à la fonction d'onde.
L'approximation des champs faibles et des mouvements lents permet de retrouver l'équation de Poisson de la gravitation de Newton :
∇ 2 Φ = 4 π G ρ {\displaystyle \nabla {^{2}}\Phi =4\pi {G}{\rho }} où :
Il est possible de modifier l'équation des champs d'Einstein en introduisant un terme proportionnel à la métrique :
R μ ν − 1 2 R g μ ν + Λ g μ ν = 8 π T μ ν {\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi }T_{\mu \nu }} (on précisera que cette équation est vraie dans unsystème d'unités géométriques tel queG =c = 1G /c 4 )Tμν . La constanteΛ {\displaystyle \Lambda } constante cosmologique .
Cette constante cosmologique était à l'origine introduite par Einstein pour obtenir de son équation un univers statique (c'est-à-dire un univers qui ne soit pas en expansion ou en contraction). Cet effort fut un échec pour deux raisons : l'univers statique décrit par cette théorie était instable, et les observations des galaxies distantes parHubble une décennie plus tard confirmèrent que notre univers n'est en fait pas statique mais en expansion.Λ {\displaystyle \Lambda } « la plus grande erreur de sa vie » .
Bien que la motivation d'Einstein pour l'introduction de cette constante ait été erronée, sa présence dans l’équation n'est pas inconsistante. En effet, récemment les techniques astronomiques améliorées ont permis d'affirmer qu'une valeur non nulle deΛ {\displaystyle \Lambda } énergie du vide non nulle.
Les solutions de l'équation d'Einstein sont lestenseurs métriques de l'espace-temps. Elles sont souvent appelées « métriques ». Elles décrivent la structure de l'espace-temps en incluant le mouvement inertiel des objets. En raison du caractère hautement non linéaire des équations, il n'existe pas de solution analytique générale pour une distribution quelconque de matière[ 24] , [ 25] [ 24] , [ 25] [ 25]
L'étude des solutions exactes des équations de champs d'Einstein est l'une des activités de lacosmologie . Elle a mené à la prédiction de l'existence detrous noirs et aux divers modèles de l'évolution de l'univers.
En relativité générale, levide est une région de l'espace-temps dans laquelle letenseur énergie-impulsion T μ ν {\displaystyle T_{\mu \nu }} T μ ν = 0 {\displaystyle T_{\mu \nu }=0} [ 70] , [ 71] constante cosmologique [ 71] R μ ν = 0 {\displaystyle R_{\mu \nu }=0} [ 72] , [ 71]
Loin de toute source gravitationnelle, l'espace plat est une solution de cette équation, et lamétrique de Minkowski s'applique. Cette dernière est la forme classique qu'on trouve dans le cadre de larelativité restreinte et les distances se mesurent à l'aide de la métrique :
d s 2 = c 2 d t 2 − d x 2 − d y 2 − d z 2 . {\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}\ .} On voit alors qu'on a :
( g μ ν ) = [ 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ] {\displaystyle (g_{\mu \nu })={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\ } Lamétrique de Schwarzschild permet de décrire la déformation de l'espace-temps dans le vide autour d'une masse sphérique unique (par exemple une étoile). On a alors, pour( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) = ( c t , r , θ , ϕ ) {\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,r,\theta ,\phi )}
( g μ ν ) = [ 1 − 2 G M r c 2 0 0 0 0 − 1 1 − 2 G M r c 2 0 0 0 0 − r 2 0 0 0 0 − r 2 sin 2 θ ] {\displaystyle (g_{\mu \nu })={\begin{bmatrix}1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}&0&0&0\\0&-{\frac {1}{1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}}}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\ } Lamétrique de Kerr , pour sa part, décrit la déformation de l'espace-temps dans le vide autour d'un trou noir en rotation (en l'absence de champs électromagnétiques). Elle est l'œuvre en 1963 deRoy Kerr , mathématicien néo-zélandais. Contrairement à la métrique de Schwarzschild qui peut s'appliquer autour de tout corps sphérique et statique, la métrique de Kerr est spécifique aux trous noirs seulement et ne peut s'appliquer à d'autres corps en rotation. En prenant à nouveau un référentiel sphérique de l'espace-temps( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) = ( t , r , θ , ϕ ) {\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(t,r,\theta ,\phi )}
( g μ ν ) = [ ( 1 − 2 M r Σ ) 0 0 4 a M r sin 2 θ Σ 0 − Σ Δ 0 0 0 0 − Σ 0 4 a M r sin 2 θ Σ 0 0 − ( r 2 + a 2 + 2 a 2 M r sin 2 θ Σ ) sin 2 θ ] {\displaystyle (g_{\mu \nu })={\begin{bmatrix}\left(1-{\frac {2Mr}{\Sigma }}\right)&0&0&{\frac {4aMr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\ \\0&-{\frac {\Sigma }{\Delta }}&0&0\\0&0&-\Sigma &0\\{\frac {4aMr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}&0&0&-\left(r^{2}+a^{2}+{\frac {2a^{2}Mr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\right)\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\ } avec :
Σ = r 2 + a 2 cos 2 θ {\displaystyle \Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta \ } Δ = r 2 − 2 M r + a 2 {\displaystyle \Delta =r^{2}-2Mr+a^{2}\ }
Lamétrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker permet de décrire un espace-temps de géométriehomogène etisotrope .
↑ L'unique autre théorie que la relativité générale à satisfaire le principe d'équivalence fort est la théorie de Nordstrom[ 4] [ 5] [ 5] ↑ Les théories métriques de la gravitation se différencient les unes des autres par leur équation du champ de gravitation : toute autre théorie métrique de la gravitation que la relativité générale a pour équation du champ de gravitation une autre équation de celle d'Einstein[ 7] , [ 8] ↑ L'équation d'Einstein[ 9] , [ 10] , [ 11] , [ 12] , [ 13] [ 14] ↑ En conséquence, l'équation est aussi connue comme l'équation tensorielle d'Einstein [ 19] , [ 20] , [ 21] ↑ ÉricGourgoulhon ,Relativité générale , Paris,Observatoire de Paris , universitésParis- VI Paris- VII Paris- XI École normale supérieure , 2013-2014↑ RogerPenrose (trad. de l'anglais, traduit de l'anglais par Céline Laroche),À la découverte des lois de l'Univers : La prodigieuse histoire des mathématiques et de la physique , Paris, O. 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