 | Tähän artikkeliin tai sen osaan onmerkitty lähteitä, mutta niihin ei viitata. Älä poista mallinetta ennen kuin viitteet on lisätty. Voit auttaa Wikipediaalisäämällä artikkelille asianmukaisiaviitteitä. Lähteettömät tiedot voidaankyseenalaistaa tai poistaa. |
MatematiikassaWilsonin lauseen mukaanp onalkuluku, jos ja vain jos
Lauseen keksi ensimmäisenäIbn al-Haytham (tunnetaan myös nimelläAlhazen), mutta se on nimettyJohn Wilsonin mukaan, joka keksi tuloksen yli 700 vuotta myöhemmin.Edward Waring julkaisi tuloksen vuonna 1770, vaikka hän ja Wilson eivät kyenneet todistamaan lausetta.Joseph Louis Lagrange antoi ensimmäisen todistuksen vuonna 1773.Gottfried Leibniz tunsi myös tuloksen vuosikymmenen aikaisemmin, mutta ei koskaan julkaissut todistusta.
Josp on pariton alkuluku, joukkoG = (Z/pZ)× = {1, 2, ...p − 1} muodostaa multiplikatiivisen ryhmänmodulop suhteen. Tällöin kaikillaG:n alkioillaa on olemassa yksikäsitteinen käänteisalkiob, jolleab ≡ 1 (modp) ja joka on siis myösG:n alkio. Josa ≡b (modp), ona2 ≡ 1 (modp), jolloina2 − 1 = (a + 1)(a − 1) ≡ 0 (modp), ja koskap on alkuluku, on oltavaa ≡ 1 tai −1 (modp), jotena = 1 taia =p − 1.
Toisin sanoen 1 jap − 1 ovat itsensä käänteisalkioita, mutta kaikille muilleG:n alkioille on olemassa toinen käänteisalkio, joten ryhmittelemällä tulon tekijät huomataan, että tuloksi tulee −1. Josp = 2, on helppo nähdä, että Wilsonin lause on voimassa.
Toisaalta olkoon kongruenssirelaatio voimassayhdistetylle luvullen. Tällöinn:llä on aito tekijäd, 1 <d <n. Selvästid jakaa (n − 1)!. Mutta kongruenssin perusteellad jakaa myös luvun (n − 1)! + 1, jotend jakaa ykkösen, mikä on ristiriita.