Vektorianalyysi

Operaattori	Merkintä	Kuvaus	Määrittelyjoukon tyyppi	Arvojoukon tyyppi
Gradientti	$\operatorname {grad} (f)=\nabla f$	Skalaarikentän paikallinen muutosnopeus siinä suunnassa, jossa se on suurin	Skalaarikenttä	Vektorikenttä
Roottori (curl)	$\operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F}$	Mittaa vektorikentän pyörteisyyttä kunkin pisteen ympärillä	Vektorikenttä	(Pseudo)vektorikenttä.
Divergenssi	$\operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F}$	Mittaa sitä, missä määrin vektorikentänkenttäviivoja alkaa tai päättyy kunkin pisteen ympärillä.	Vektorikenttä	Skalaarikenttä
Laplacen operaattori vektorikentille	$\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )$	Mittaa vektorikentän tietyssä pisteessä saaman arvon ja sen tätä pistettä ympäröivässä infinitesimaalisessa kuulassa saamien arvojen keskiarvon erotusta.	Vektorikenttä	Vektorikenttä
Laplacen operaattori	$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$	Mittaa skalaarikentän tietyssä pisteessä saaman arvon ja sen tätä pistettä ympäröivässä infinitesimaalisessa kuulassa saamien arvojen keskiarvon erotusta.	Skalaarikenttä	Skalaarikenttä

Operaattori

Merkintä

Kuvaus

Määrittelyjoukon tyyppi

Arvojoukon tyyppi

\operatorname {grad} (f)=\nabla f

Skalaarikentän paikallinen muutosnopeus siinä suunnassa, jossa se on suurin

Skalaarikenttä

Vektorikenttä

Roottori (curl)

\operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F}

Mittaa vektorikentän pyörteisyyttä kunkin pisteen ympärillä

Vektorikenttä

(Pseudo)vektorikenttä.

Divergenssi

\operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F}

Mittaa sitä, missä määrin vektorikentänkenttäviivoja alkaa tai päättyy kunkin pisteen ympärillä.

Vektorikenttä

Skalaarikenttä

Laplacen operaattori vektorikentille

\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )

Mittaa vektorikentän tietyssä pisteessä saaman arvon ja sen tätä pistettä ympäröivässä infinitesimaalisessa kuulassa saamien arvojen keskiarvon erotusta.

Vektorikenttä

Laplacen operaattori

\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f

Mittaa skalaarikentän tietyssä pisteessä saaman arvon ja sen tätä pistettä ympäröivässä infinitesimaalisessa kuulassa saamien arvojen keskiarvon erotusta.

Skalaarikenttä

Teoreeman nimi	Yhtälö	Sanallinen muotoilu
Gradienttilause	$\int _{L[\mathbf {p} \to \mathbf {q} ]\subset \mathbb {R} ^{n}}\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)$	Skalaarikentän gradientinkäyräintegraali käyrän yli on yhtä suuri kuin niiden arvojen erotus, jotka skalaarikenttä saa käyrän päätepisteissä.
Greenin lause	$\int \!\!\!\!\int _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,d\mathbf {A} =\oint _{\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)$	Vektorikentän skalaarisen roottorin integraali tasoalueen yli on yhtä suuri kuin vektorikentän käyräintegraali pintaa rajoittavan käyrän yli, kun se kierretään tasoalueen ympäri vastapäivään.
Stokesin lause	$\int \!\!\!\!\int _{\Sigma \,\subset \mathbb {R} ^{3}}\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$	Vektorikentän roottorin pintaintegraali $\mathbb {R} ^{3}$ :ssa olevan pinnan yli on yhtä suuri kuin vektorikentän käyräintegraali pintaa rajoittavan käyrän yli.
Divergenssilause	$\int \!\!\!\!\int \!\!\!\!\int _{V\,\subset \mathbb {R} ^{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)d\mathbf {V} =$ $\oiint$ $\scriptstyle \partial V$ $\mathbf {F} \;\cdot {d}\mathbf {S}$	Vektorikentän divergenssinavaruusintegraali jonkin kappaleen yli on yhtä suuri kuin kentänvuon integraali kappaleen rajapinnan yli.

Teoreeman nimi

Yhtälö

Sanallinen muotoilu

Gradienttilause

\int _{L[\mathbf {p} \to \mathbf {q} ]\subset \mathbb {R} ^{n}}\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)

Skalaarikentän gradientinkäyräintegraali käyrän yli on yhtä suuri kuin niiden arvojen erotus, jotka skalaarikenttä saa käyrän päätepisteissä.

Greenin lause

\int \!\!\!\!\int _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,d\mathbf {A} =\oint _{\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)

Vektorikentän skalaarisen roottorin integraali tasoalueen yli on yhtä suuri kuin vektorikentän käyräintegraali pintaa rajoittavan käyrän yli, kun se kierretään tasoalueen ympäri vastapäivään.

Stokesin lause