Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Siirry sisältöön
Wikipedia
Haku

Tasasivuinen kolmio

Wikipediasta

Tasasivuinen kolmio ongeometriassakolmio, jonka kaikkisivut ovat yhtä pitkiä. Tasasivuinen kolmio on yksinkertaisinsäännöllinen monikulmio, mikä vuoksi sillä on lukuisia erikoisominaisuuksia ja käyttötapoja.[1] Se on myöstasakylkinen kolmio.

Yleiset ominaisuudet

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]
Tasasivuisessa kolmiossa sivuta{\displaystyle a},b{\displaystyle b} jac{\displaystyle c} ovat yhtäpitkät. Kolmion korkeusjanoillaha{\displaystyle h_{a}},hb{\displaystyle h_{b}} jahc{\displaystyle h_{c}} on yhtä aikaa myös sivunpuolittajan, kulmanpuolittajan ja keskinormalin ominaisuudet.

Kulmanpuolittaja, keskijana, korkeusjana, keskinormaali ja 60° kulmat

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Tasasivuisen kolmion kaikkien kulmien voidaan osoittaa olevan 60°. Koska tasasivuinen kolmio on määritelmän mukaan myöstasakylkinen kolmio, jossa huipuksi valitun kulman molemmat kyljet ovat yhtäpitkät. Jos tasasivuinen kolmio taitetaan kahtia viemällä yhtäpitkät kyljet päällekkäin, saadaan kaksiyhtenevää kolmiota. Tasasivuisessa kolmiossa taitos muodostaa janan, joka on samalla kertaakulmanpuolittaja,sivunpuolittaja eli mediaani,korkeusjana jakeskinormaali. Taitoksen geometriasta johtuu myös, että tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret. Edellinen tarkastelu voidaan suorittaa myös tasasivuisen kolmion kahdelle muulle kulmalle ja todeta, että kussakin tilanteessa kantakulmat ovat pareittein samankokoiset. Koska kaikkien kulmien summa tulee olla 180° ja ne ovat keskenään yhtä suuret, on niiden oltava 60°.[1][2]

Janan pituus voidaan laskea edellä kuvatusta kolmion puolikkaastaPythagoraan lauseen avulla, koska jana on yhtä aikaa sekä sivun puolittaja että korkeusjana. Silloin kolmion hypotenuusa on tasasivuisen kolmion sivun pituusa{\displaystyle a}, toinen kateetti kannan puolikkaan pituus12a{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}a}, josta korkeusjanan pituush{\displaystyle h} voidaan laskea

h=a2−(12a)2=32a.{\displaystyle h={\sqrt {a^{2}-\left({\tfrac {1}{2}}a\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}a.}[1]

Voidaan vielä todeta, ettei millään muulla kuin tasasivuisella kolmiolla ole kaikki kolme kulmanpuolittajaa, keskijanaa, korkeusjanaa ja keskinormaalia yhtäpitkät.

Muistikolmio

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]
Korkeusjana on tasasivuisessa kolmiossa samalla kulmanpuolittaja, joka jakaa huippukulman puoliksi.

Tasasivuisen kolmion korkeusjana on samalla kulmanpuolittaja, joka jakaa huippukulman puoliksi. Korkeusjanan avulla saadaan kulmat 30° ja 60° esille, ja Pythagoraan lauseen avulla voidaan päätellä mitat 1, 2 ja3.{\displaystyle {\sqrt {3}}.}

Kolmion sisälle ja ulos piirretyt ympyrät

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat toisensa pisteessä, joka on samallakolmion sisälle piirretyn ympyrän keskipiste. Koska tasasivuisessa kolmiossa kulmanpuolittajalla on myös sivunpuolittajan ominaisuudet, on ympyrän keskipiste myös sen painopiste. Ympyrän säde on edellä mainittur.{\displaystyle r.}[3]

Kolmion keskinormaalit leikkaavat toisensa pisteessä, joka on samalla kolmion ulkopuolelle piirretyn ympyrän keskipiste. Tasasivuisessa kolmiossa tämä on samalla sekä kolmion sisälle että sen ulkopuolelle piirretyn ympyrän keskipiste. Ulkopuolisen ympyrän säde on edellä mainittuR.{\displaystyle R.}[4]

Merkilliset pisteet

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Kolmion merkilliset pisteet ovat neljä pistettä, jotka muodostuvat kukin kolmen suoran leikkauksessa. Sivujen keskinormaalit leikkaavat yhdessä pisteessä, samoin tekevät kulmien puolittajat toisessa pisteessä, kolmion korkeussuorat ja kolmion sivujen keskijanat omissa pisteissään. Merkillisiksi nämä pisteet tekevät sen siekan, että oli kolmio millainen hyvänsä, leikkauspiste syntyy itsestään.[5]

Kolmion sisään piirretyn ympyrän säde onr{\displaystyle r} ja kolmion ulkopuolelle piiretynR{\displaystyle R}.

Kolmion sivunpuolittajat leikkaavat toisensa kolmion sisäpisteessä, jota kutsutaan tämän vuoksi painopisteeksi. Jos kolmiota tuetaan kynänkärjellä altapäin sen painopisteestä, jää se tasapainoon kallistumatta mihinkään suuntaan. Sivunpuolittajat leikkaavat toisensa aina suhteessa1:2{\displaystyle 1:2}, jolloin lyhyempi osar{\displaystyle r} on sivua vasten ja pitempi osaR{\displaystyle R} kärjen puolella. Tasasivuisen kolmion sivunpuolittajan osien pituudet ovat

r=1332a=36a{\displaystyle r={\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {3}}{2}}a={\frac {\sqrt {3}}{6}}a}[1][6]

ja

R=2332a=33a,{\displaystyle R={\frac {2}{3}}{\frac {\sqrt {3}}{2}}a={\frac {\sqrt {3}}{3}}a,}[1][6]

jolloin

R=2r=23h,{\displaystyle R=2r={\tfrac {2}{3}}h,}r=12R=13h{\displaystyle r={\tfrac {1}{2}}R={\tfrac {1}{3}}h} jaR+r=h.{\displaystyle R+r=h.}[6]

Johtuen tasasivuisen kolmion yksinkertaisesta symmetriasta, sijaitsevat kolmion merkilliset pisteet eli korkeusjanojen leikkauspiste ortokeskus, kulmanpuolittajien leikkauspiste, keskinormaalien leikkauspiste ja painopiste poikkeuksellisesti samassa paikassa.

Yhdenmuotoisuus

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Tasasivuisilla kolmioilla on aina 60° kulmat, vaikka ne olisivat eri kokoisia. Tämän vuoksi ne ovat keskenäänyhdenmuotoisia.[1]

Laskukaavoja ja tunnettuja teoreemoja

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Pinta-alaA=a234.{\displaystyle A={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}.}[6]Sivun pituus voidaan sanoa pinta-alan avullas=2A234.{\displaystyle s={\frac {2{\sqrt[{2}]{A}}}{\sqrt[{4}]{3}}}.}

Tasasivuisen kolmion korkeus saadaan kertomalla sen sivun pituus luvulla32{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}, joka on noin 0,866. Sen pinta-ala on yhtä suuri kuin sen sivun neliö kerrottuna luvulla34{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}}, joka on noin 0,433.

Vivianin lause

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Vivianin lauseen mukaan tasasivuisen kolmion sivujen etäisyydet kolmion sisällä olevastapisteestä ovat yhteenlaskettuna sama kuin kolmion korkeus.[7]

Geometrinen konstruointi

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]
Tasasivuisen kolmion piirtäminen vain viivainta ja harppia käyttäen.

Jos paperilta osoitetaan piste, voidaan sen ympäri piirtää ympyrä millä säteellä hyvänsä. Viivaimella vedetään ympyrälle keskipisteen kautta halkaisija. Nyt voidaan piirtää halkaisijalle keskinormaali halkaisijan päätepisteistä piirettyjen kaarien avulla. Tälle keskinormaalille, joka on jana keskipisteestä ympyrän kaarelle, voidaan myös piirtää keskinormaali vastaavalla tavalla. Tästä keskinormaalista ympyrä erottaa janan, joka on tasasivuisen kolmion yksi sivu. Sivun vastainen kärki löytyy halkaisijan keskinormaalilta ympyrän kehältä keskipisteen toiselta puolelta.[8]

Lähteet

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Viitteet

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]
  1. ↑abcdefWeisstein, Eric W.: Equilateral Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. ↑Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s. 25–26
  3. ↑Weisstein, Eric W.: Incircle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. ↑Weisstein, Eric W.: Circumcircle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. ↑Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s. 81
  6. ↑abcdSeppänen, Raimo et al., MAOL, s. 28–29
  7. ↑Weisstein, Eric W.: Viviani's Theorem (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  8. ↑Weisstein, Eric W.: Geometric Construction (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

Aiheesta muualla

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheestaTasasivuinen kolmio.
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tasasivuinen_kolmio&oldid=21495246”
Luokka:
Piilotettu luokka:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp