Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Siirry sisältöön
Wikipedia
Haku

Suppeneva sarja

Wikipediasta

Sarjan summa määritellään sarjan äärellisten osasummien muodostamanlukujononraja-arvona. Jos tällainen summa löytyy,sarja suppenee. Jos sarja eisuppene, on sehajaantuva sarja. Suppenemisen voi osoittaa määritelmän avulla taisuppenemistesteillä.

Määritelmä

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Sarja∑k=1∞xk=x1+x2+...{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}=x_{1}+x_{2}+...} suppenee, jos sen osasummien jono(Sn)=(Sn)n∈N{\displaystyle \left(S_{n}\right)=\left(S_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}suppenee, ts. jos∃S∈R{\displaystyle \exists S\in \mathbb {R} }s.e.limn→∞Sn=S{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }S_{n}=S}.Tällöin S on sarjan summa ja merkitään

∑k=1∞xk=x1+x2+...=S{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}=x_{1}+x_{2}+...=S}

Sarjan suppenemiseen liittyviä lauseita

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Lause 1.

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Jos∑k=1∞xk{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}} suppenee, niinlimk→∞xk=0{\displaystyle \lim \limits _{k\to \infty }x_{k}=0}

Lause 2.

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Suppenevalle sarjalle erotusta

Rn=S−Sn{\displaystyle R_{n}=S-S_{n}}

sanotaan sarjan n:nneksi jäännöstermiksi.

Lause 3.

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Suppenevalle sarjallelimn→∞Rn=0{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }R_{n}=0}

Lause 4.

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Jos∑k=1∞xk=X{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}=X} ja∑k=1∞yk=Y{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }y_{k}=Y}, sekäa∈R{\displaystyle a\in \mathbb {R} }, niin

a)∑k=1∞(xk+yk)=X+Y{\displaystyle a)\sum _{k=1}^{\infty }(x_{k}+y_{k})=X+Y}
b)∑k=1∞axk=aX{\displaystyle b)\sum _{k=1}^{\infty }ax_{k}=aX}

Lause 5.

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Jos sarja∑k=1∞xk{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}} suppenee ja sarja∑k=1∞yk{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }y_{k}} hajaantuu, niin summasarja∑k=1∞(xk+yk){\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }(x_{k}+y_{k})} hajaantuu.Jos molemmat sarjat∑k=1∞xk{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}} ja∑k=1∞yk{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }y_{k}} hajaantuvat, niin niiden summasarja∑k=1∞(xk+yk){\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }(x_{k}+y_{k})} voi joko a)supeta tai b)hajaantua.

Lause 6. Cauchyn yleinen suppenemiskriterio sarjoille

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Sarja∑k=1∞xk{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}} suppenee⟺ε>0{\displaystyle \Longleftrightarrow \varepsilon >0} kohti∃nε>0∈N{\displaystyle \exists n_{\varepsilon >0}\in \mathbb {N} } s.e.

|xn+1+xn+2+xn+3+...+xn+p|<ε{\displaystyle \vert x_{n+1}+x_{n+2}+x_{n+3}+...+x_{n+p}\vert <\varepsilon }

kaikillap∈N{\displaystyle p\in \mathbb {N} } aina kunn>nε{\displaystyle n>n_{\varepsilon }}

Itseisesti suppeneva sarja

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Määritelmä

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

sarja∑k=1∞xk{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}} suppenee itseisesti, jos sarja∑k=1∞|xk|{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\vert x_{k}\vert } suppenee.

Lause 7.

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Jos∑k=1∞|xk|{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\vert x_{k}\vert } suppenee, niin∑k=1∞xk{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}} suppenee. Tällöin sarjoille pätee

|∑k=1∞xk|⩽∑k=1∞|xk|{\displaystyle \vert \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}\vert \leqslant \sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|}

Lähteet

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten osa 2, 1.-2. painos, Tampereen Kirjapaino-Oy Tamprint, 1978

Jouni Kankaanpää, Lauri Myrbeg, Jussi Väisälä, Hannu Honkasalo: Differentiaali- ja integraalilaskenta I.2

Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/w/index.php?title=Suppeneva_sarja&oldid=18028075”
Luokka:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp