.svg)
Penrosen laatat ovat tapa peittäätaso jaksottomasti pienellä joukolla erilaisiamonikulmioita. Ne ovat saaneet nimensä tällaisialaatoituksia 1970-luvulla tutkineen matemaatikkoRoger Penrosen mukaan.[1]
Jaksottomalla peittämisellä tarkoitetaan sitä, ettei minkään samanlaisen pienen laattaryhmän suurempi ympäristö ole missään muualla aivan samanlainen vertailukohtansa kanssa. Toinen tapa havainnollistaa jaksottomuutta on piirtää alueen yli satunnaisesti asemoitu suora ja todeta suoralla olevia laattoja tarkastelemalla, ettei siinä esiinny toistamiseen samaa kuviota missään kohtaa suoraa.[1]
Taso voidaan peittää Penrosen laatoilla monilla tavoilla. Kaikki tällaiset tavat ovat jaksottomia, mutta ne saattavat ollasymmetrisiä jonkin akselin suhteen tai niillä voi olla viisinkertainenrotaatiosymmetria, kuten oheisessa kuvassa. Jaksottomuus merkitsee sitä, että Penrosen laatoituksella ei olesiirtosymmetriaa. Toisin sanoen tasolta ei voida valita kahta sellaista kohtaa, että kummastakin mitattuna olisi aina samalla etäisyydellä ja samassa suunnassa samanlaiset ja samassa asennossa olevat laatat. Penrosen laattoja voidaan pitääkvasikiteen kaksiulotteisena vastineena.[1]
Penrosen laatat ovat yksinkertaisimpia esimerkkejä tason jakamisesta osiin epäjaksollisesti.[2][3][4] Yleisesti laatoituksella tarkoitetaan tason jakoa osiin, jotka eivät osittainkaan peitä toisiansa eivätkä jätä väliinsä aukkoja. Yleensä edellytetään myös, että käytetään vain äärellistä määrää erilaisia muotoja. Tunnetuimmat laatoitukset, esimerkiksi tason jako neliöiksi tai tasasivuisiksi kolmioiksi, ovat jaksollisia. Toisin sanoen on olemassa sellainen etäisyys, jonka verran tiettyyn suuntaan siirryttäessä laatoitus toistuu aina samanlaisena. Tätä etäisyyttä sanotaan laatoituksenjaksoksi. Jos tällaista jaksoa ei ole, laatoitusta sanotaan jaksottomaksi.[5]
Kysymys jaksottomista laatoituksista sai osakseen uutta mielenkiintoa 1960-luvulla, kun loogikkoHao Wang havaitsi yhteyden niiden ja päätöksenteko-ongelmien kanssa.[7] Hän käsitteli erityisesti neliömäsiä laattoja, joiden sivut olivat väritettyjä. Tällaisia sanotaan nykyäänWangin dominoiksi. Wang esitti kysymyksen: "Millä edellytyksellä taso voidaan peittää annetulla joukolla tällaisia laattoja siten, että vierekkäisten laattojen samanväriset reunat aina koskettavat toisiaan?" Hän osoitti, että jos ongelmaa ei voida ratkaistarekursiivisesti, on olemassa keino peittää taso jaksottomasti Wangin dominoilla. Tuohon aikaan tämä vaikutti kuitenkin epäuskottavalta, minkä vuoksi Wang esittikonjektuurin, ettei sellainen laatoitus ole mahdollinen.
Wangin oppilasRobert Berger todisti kuitenkin väitöskirjassaan vuonna 1964, että ongelmaa ei voitu ratkaista rekursiivisesti, joten Wangin konjektuuri on epätosi.[8] Hän pystyikin muodostamaan jaksottoman laatoituksen 20426 Wangin dominosta.[9] Myöhemmin hän osoitti, että siihen riitti 104 sellaista laattaa.[10] Vuonna 1968Donald Knuth osoitti, että 92 laattaakin riittää.[11] Alkuperäisissä Wangin dominoissa ehtona oli, että Wangin dominoiden vierekkäisissä laatoissa samanväristen sivujen on kosketettava toisiaan. Tämä ehto voidaan myös korvata oletuksella, että laattojen reunat ovat eri tavoin kaarevia tavallistenpalapelin palojen tapaan.[12] Vuonna 1971Raphael Robinson osoitti tällä tavoin eräässä tutkielmassaan, että jo kuudesta erimuotoisesta laatasta voidaan muodostaa jaksoton laatoitus.[13][14]
.svg)
Ensimmäinen Penrosen laatoitus, jonkaRoger Penrose esitti vuonna 1974 (P1 alla olevassa kuvassa), on myös jaksoton ja muodostuu kuudesta eri muotoisesta laatasta.[16] Se ei muodostu neliöistä, vaan erilaisistaviisikulmioista.Säännöllisillä viisikulmioilla ei koko tasoa voi peittää jättämättä väliin aukkoja, mutta jo vuonna1619Johannes Kepler osoitti teoksessaanHarmonices Mundi, että nämä aukot voidaan täyttääpentagrammeilla,kymmenkulmioilla tai niitä muistuttavilla monikulmioilla.[17] Penrose kehitti tätä ajatusta osoittamalla, että tällä tavoin laatoitus voitiin muodostaa jaksottomaksi, mikä täydensi Keplerin äärellisenAa-mallin[18]. Tähän hän sai vaikutteita myös eräistäAlbert Dürerin teoksista.[19]
Myöhemmin Penrose osoitti, että erilaisten laattojen lukumäärä voitiin vähentää kahteen, jolloin saatiin kaksi erilaista laatoitusta P2 ja P3 alla olevassa kuvassa.[20] Näistä jälkimmäisen,suunnikkaista muodostuvan laatoituksen, keksi hänestä riippumattaRobert Ammann vuonna 1976.[21] Penrose jaJohn H. Conway tutkivat tällaisten laatoitusten ominaisuuksia, ja heidän tutkimustuloksensa julkaisiMartin Gardner tammikuun 1977Scientific American-lehdessäMathematical Games-palstalla.[22]
.svg)
Erityyppiset Penrosen laatat, P1–P3, on jäljempänä kuvattu kukin erikseen, mutta niillä on joukko yhtäläisyyksiä. Kaikissa laatat on muodostettu osista, joista voidaan muodostaa myös säännöllinen viisikulmio, minkä vuoksi niihin liittyy läheisestikultainen leikkaus.[22] Lisäksi nämä laatoitukset voidaan kukin konstruoida toistensa avulla.
Alkuperäinen Penrosen laatoitus muodostuu viisikulmiosta sekä kolmenlaisista muista erimuotoisista laatoista: viisisarakaraisista tähdistä (pentagrammeista), ”veneistä” sekä ”timanteista” eli ohuistasuunnikkaista. Sen varmistamiseksi, että laatoituksesta tulee jaksoton, käytettiin tiettyjä sääntöjä sille, miten erilaiset laatat saavat koskettaa toisiaan. Eri viisikulmioille on kolme eri sääntöä ja tällöin eri sääntöjä noudattavat viisikulmiot voidaan tehdä erivärisiksi, kuten oheisessa kuvassa.[23][24]
Penrosen toinen laatoitus koostuu kahdenlaisistanelikulmioista, joita nimitetäänleijoiksi januoliksi. Nämä voidaan yhdistää suorakulmioksi, mutta käytettyjen sääntöjen mukaan niin ei saa tehdä, sillä suunnikkaista muodostettu laatoitus olisi jaksollinen. Sekä leija että nuoli voidaan toisaalta käsittää muodostetuksi kahdesta kolmiosta, joita sanotaanRobinsonin kolmioiksi niitä vuonna 1975 tutkineen Robinsonin mukaan.[25]
Kolmas Penrosen laatoitus muodostuu kahdenlaisistasuunnikkaista. Niistä kuitenkin voidaan muodostaa myös jaksollinen laatoitus, minkä vuoksi on noudatettava tiettyjä rajoittavia sääntöjä, jotta tuloksena olisi jaksoton laatoitus.
Laatoituksessa käytetään kahdenlaisia suunnikkaita, jotka molemmat voidaan myös jakaa kahdeksi Robinsonin kolmioksi.
Laattojen eri sivut oletetaan kuitenkin erilaisiksi, ja ne sijoitellaan siten, että vierekkäisten laattojen on noudatettava tiettyjä sääntöjä. Nämä säännöt voidaan kuvata eri tavoin, kuten käy ilmi oheisesta kuvasta. Esimerkiksi niiden sivuille merkittyjen kaarien on vastattava toisiaan väriltään ja asennoltaan tai niiden sivuille tehtyjen lovien on sovittava yhteen.
Kaikkiaan näiden laattojen kulmat voidaan asettaa 54 eri tavalla vierekkäin siten, että samassa kärkipisteessä toisensa kohtaavien laattojen väliin ei jää aukkoja. Näistä vain seitsemän tapaa on laatoituksen sääntöjen mukaan sallittuja, joskin yksi niistä voidaan toteuttaa kahdella eri tavalla.[26]
 | Tämä artikkeli tai sen osa on tuotu vieraskielisestä lähteestä ja käännös on keskeneräinen. Voit auttaa Wikipediaatekemällä käännöksen loppuun. |
Penrosen leija- ja nuolilaatoitus voidaan yksinkertaisimmin konstruoida deflaatioksi nimitetyllä menetelmällä.[27][28] Lähtökohdaksi otetaan tietty äärellisen kokoinen laatoitus, jota nimitetään "aksioomaksi", ja siitä muodostetaan tiettyjen sääntöjen mukaan joukko peräkkäisiä laatoituksia, joita nimitetään "sukupolviksi". Yksinkertaisimmassa tapauksessa "aksiooma" käsittää vain yhden laatan. Siirryttäessä seuraavaan "sukupolveen" jokainen laatta korvataan yhdellä tai useammalla uudella laatalla, jotka peittävät alkuperäisen laatan kokonaan. Täten uudet laatat ovatyhdenmuotoisia alkuperäisten kanssa, mutta kooltaan pienempiä. Kun tämä toistetaan riittävän monta kertaa, saadaan lopulta laatoitus, joka sisältää sellaisen osan, joka on yhdenmuotoinen alkuperäisen "aksiooman" kanssa eikä ulotu kuvion reunoille. Tämä valitaan sitten uudeksi "aksioomaksi", ja koko prosessi toistetaan, jolloin saadaan kerta kerralta laajempi laatoitus, kunnes se lopulta peittää koko tason.
Tämä on esimerkki peräkkäisistä sukupolvista lähdettäessä neljästä erilaisesta "aksioomasta". "Auringon" ja "tähden" tapauksessa alkuperäisen kanssa yhdenmuotoinen pienempi laatoitus saadaan jo toisessa sukupolvessa, "auringon" tapauksessa myös kolmannessa.
| Nimi | Sukupolvi 0 (aksiooma) | Sukupolvi 1 | Sukupolvi 2 | Sukupolvi 3 |
|---|---|---|---|---|
| Leijan puolikas |  |  |  |  |
| Nuolen puolikas |  |  |  |  |
| Aurinko |  |  |  |  |
| Tähti |  |  |  |  |
Moniin Penrosen laattojen ominaisuuksiin liittyy läheisestikultainen leikkaus ja sen suhdeluku (noin 1,618). Tämä johtuu siitä, että laatoitus on lokaalisti viisinkertaisesti symmetrinen ja säännöllisessä viisikulmiossa halkaisijan ja sivun suhde on φ. Tämä on myös pidemmän ja lyhemmän sivun suhde molemmissa Robinsonin kolmioissa. Tästä seuraa, että leija- ja nuolilaatoissa pidemmän ja lyhyemmän sivun suhde on myös φ, samoin näiden laattojen pinta-alojen suhde, sivun ja lyhemmän lävistäjän suhde ohuessa suunnikaslaatassa sekä pidemmän lävistäjän ja sivun suhde paksussa suunnikaslaatassa.[29][30]
Deflaatioprosessissa leija jaetaan kahdeksi leijaksi ja yhdeksi nuoleksi, nuoli taas nuoleksi ja leijaksi. Leijojen ja nuolten lukumäärä prosessinn:nnessä sukupolvessa voidaan laskeamatriisin n:nnen potenssin avulla:
missäFn onFibonaccin lukujonon n:s luku. Nuolten ja leijojen lukumäärien suhde missä tahansa riittävän laajassa Penrosen P2-laatoituksessa on tämän vuoksi lähellä kultaisen leikkauksen suhdelukua φ.[31] Vastaava tulos pätee myös paksujen ja ohuiden suunnikkaiden lukumäärälle P3-laatoituksessa..[32]
Vuonna 1996, saksalainen matemaatikkoPetra Gummelt osoitti, että taso voidaan peittää yhtenevillä säännöllisillä kymmenkulmioilla, jos niiden sallitaan (Penrosen laatoituksesta poiketen) mennä osittain päällekkäin siten, että vain kahden muotoiset vierekkäisille kymmenkulmioille yhteiset alueet sallitaan.[34] Kymmenkulmio jaetaan osiin, jotka väritetään tiettyjen sääntöjen mukaan, ja vain värityksen kanssa yhteen sopivien osien eri kymmenkulmioissa sallitaan mennä päällekkäin. Jos kymmenkulmio jaetaan tietyllä tavalla "nuoliksi" ja "leijoiksi", kuviointi muuttuu Penrosen laatoituksen P2 kaltaiseksi. Myös laatoitus P3 voidaan muodostaa sijoittamalla paksu suunnikas kymmenkulmion sisään, jolloin jäljelle jäävä osa peittyy ohuilla suunnikkailla.
Näitä pidetään realistisina malleina sille, mitenkvasikiteet kasvavat: osittain päällekkäiset kymmenkulmiot ovat "kvasiyksikkökoppeja", jotka vastaavat tavallistenkiteidenyksikkökoppeja, ja tällaisissa rakenteissa atomit pyrkivät pakkautumaan mahdollisimman tiheästi.[33][35][36]
Laatoitusten esteettinen arvo on ollut kauan tunnustettu. Penrosen laatat herättävätkin yhä suurta mielenkiintoa, joka kohdistuu suurelta osin pikemmkin niiden muodostamaan näkövaikutelmaan kuin niiden matemaattisiin ominaisuuksiin. Niiden onkin todettu muistuttavan Lähi-idässä käytettyägirih-koristekuvuointia,[37][38][39] jaPeter Lu jaPaul Steinhardt ovat todenneet, että Penrosen laatoituskin esiintyy jo keskiaikaisessa islamilaisessa taiteessa.[40]
Drop Cityn taiteilija Clark Richert käytti Penrosen suunnikkaita eräässä teoksessaan vuonna 1970. TaidehistorioitsijaMartin Kemp on todennut, että myösAlbrecht Dürer on laatinut samankaltaisia sommitelmia näistä suunnikkaista.[41]
