Pascalin kolmio on saanut nimensäranskalaisen matemaatikonBlaise Pascalin mukaan. Pascal itse ei keksinyt Pascalin kolmion käsitettä, sillä jo muinaisetpersialaiset,kiinalaiset,intialaiset jaitalialaiset tunsivat sen.[2][3] Kuitenkin vasta Pascal havaitsi sen käyttökelpoisuuden moninaisissa matemaattisissa ongelmissa.
Pascalin kolmio voidaan muodostaa siten, että ylhäältä alaspäin edettäessä jokainen uuden rivinluku on sen yläpuolella vasemmalla ja oikealla puolella olevien lukujensumma. Jokainen reunalla oleva luku on1. Alla Pascalin kolmion rivit nollasta kymmeneen:
Binomilauseen mukaanbinomin positiivinen kokonaislukupotenssi (a+b)n voidaan kehittääpolynomiksi, jonka kertoimet, kun termit järjestetään a:n alenevien potenssien mukaan, saadaan Pascalin kolmionn+1:nneltä riviltä eli siltä riviltä, jonka toinen luku onn. Esimerkiksi lausekkeen kertoimet ovat 1, 4, 6, 4 ja 1 eli
Näitä Pascalin kolmiosta saatavia kertoimia sanotaanbinomikertoimiksi. Niille käytetään merkintääjoka tarkoittaa termin kerrointa, kun (a+b)n kehitetään polynomiksi. Tämä luku esiintyy Pascalin kolmionn+1:nnellä rivilläk+1:ntenä. Esimerkiksi kolmion 5. rivillä ovat luvut:
ja.
Yleensäkin on aina
ja
.
Binomikertoimet voidaan laskea myöskertomien avulla kaavalla.
Pascalin kolmio voidaan muodostaa edellä kuvatulla tavalla, koskaPascalin säännön mukaan kaikilla arvoillan>1, 0<k<n pätee:.
Pascalin kolmiolla on tärkeä merkitys myöskombinatoriikassa ja sen sovelluksenatodennäköisyyslaskennassa. Minkä tahansan-alkioisenjoukon sellaistenosajoukkojen lukumäärä, jossa onk alkiota, saadaan Pascalin kolmionn+1:nnen rivink+1:nnestä kohdasta. Esimerkiksi nelialkioisella joukolla on 1 sellainen joukko, jossa ei ole yhtään alkiota (tyhjä joukko), 4 yksialkiosta, 6 kaksialkioista ja 4 kolmialkioista osajoukkoa sekä 1 nelialkoinen osajoukko eli alkuperäinen joukko itse.
Luvun 11 neljä ensimmäistä potenssia saadaan Pascalin kolmion neljältä ensimmäiseltä riviltä kirjoittamalla rivillä olevat numerot välittömästi peräkkäin: 112 = 121, 113 = 1331 ja 114 = 14641. Tämä johtuu siitä, että 11 = 10 + 1 ja esimerkiksi (10 + 1)3 = 103 + 3 · 102 + 3 · 10 + 1 = 1331.
Kunkin Pascalin kolmion rivin lukujen summa on kaksi korotettuna rivin järjestysluvun osoittamaan potenssiin. Esimerkiksi kolmannelta riviltä saadaan 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23.
Reunojen jälkeen seuraavilla vinoittain menevillä riveillä ovat kaikkiluonnolliset luvut: 1, 2, 3, 4, 5 ja niin edelleen.
Sisemmälle päin mentäessä seuraavilla vinoittain menevillä riveillä ovatkolmioluvut: 1, 3, 6, 10, 15 ja niin edelleen.
Sisemmälle päin mentäessä seuraavilla vinoittain menevillä riveillä ovattetraedriluvut: 1, 4, 10, 20, 35 ja niin edelleen.
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista. Alkuperäinen artikkeli:en:Pascal's triangle
Pingalan kaavasta johdettu Meru Prastaara (मेरु प्रस्तार) sellaisena kuin sitä käytettiin intialaisissa käsikirjoituksissa. Raghunathin kirjastosta vuodelta 755.Yang Huin kolmioZhu Shijien laatimassa oppikirjassa vuodelta 1303. Siinä ovat Pascalin kolmion luvut kiinalaisillapuikkolaskentamerkeillä kirjoitettuina.Pascalin versio kolmiosta
Pascalin kolmio on saanut nimensäBlaise Pascalin mukaan. Itse kolmio oli kuitenkin tunnettu jo kauan ennen Pascalin aikaa.Intiassa sitä oli sovellettukombinatoriikkaan, jaantiikin Kreikassa sen luvut olivat tulleet esiinkuviolukuja tutkittaessa.[4] Nykyisen nimensä kolmio sai, koska teoksessaanTraité du triangle arithmétique (1654, julkaistu 1665) Pascal esitti sen luvuille monia aikaisemmin tuntemattomia sovelluksia.
Myöhempien kommentaarien perusteella on päätelty, että binomikertoimet ja niiden laskemiseen käytetyn yhteenlaskukaavan () tunsi jo viimeistään toisella vuosisadalla ennen ajanlaskumme alkua intialainenPingala, joka käytti niistä nimitystäMeru-praastara, Merun portaikko".[5][6] Pingalan teoksista on säilynyt vain katkelmia, mutta noin vuonna 505 sitä kommentoinutVarahamihira kuvasi yhteenlaskukaavan selvästi[7], ja yksityiskohtaisemman kuvauksen samasta säännöstä antoiHalayudha noin vuonna 975. Halayudha myös selvensi, mitä hämärät maininnat "Merun portaikosta" tarkoittavat, ja häneltä on peräisin myös varhaisin kuvaus, jossa binomikertoimet on järjestetty taulukoksi kolmion muotoon.[6] Noin vuonna 850jainalainen matemaatikkoMahāvīra esitti binomikertoimille toisenlaisen laskukaavan käyttäen kertolaskua yhtäpitävästi nykyisen kaavan[7] kanssa. Vuonna 1068 matemaatikkoBhattotpala esitti ensimmäisten kuudentoista rivin neljä ensimmistä saraketta. Hän oli tiettävästi myös ensimmäinen, joka samassa yhteydessä esitti sekä yhteen- että kertolaskumenetelmät näiden lukujen laskemiseksi.[7]
Suunnilleen samoihin aikoihin persialainen matemaatikkoAl-Karaji (953–1029) kirjoitti nyttemmin kadonneen kirjan, joka myös sisälsi kuvauksen Pascalin kolmiosta.[8][9][10] Myöhemmin sen esitti persialainen myös runoilijana ja tähtitieteilijänä tunnettuOmar Khayyám (1048–1131), jonka mukaan kolmioIranissa tunnetaankin nimelläKhayyamin kolmio.[11] Hänen aikanaan tunnettiin jo monia kolmioon liittyviä lauseita, muun muassabinomilause. Khayyam käytti luvunn:nnenjuuren määrittämiseen menetelmää, joka perustuu binomikehitelmään ja näin ollen binomikertoimiin.[12]
MyösKiinassa Pascalin kolmion tunsi joJia Xian (1010–1070). Myöhemmin sitä tutkiYang Hui (1238–1298), jonka mukaan se yhä tunnetaan Kiinassa nimelläYang Huin kolmio (kiin.杨辉三角)[13]
Euroopassa binomikertoimet laskiGersonides 1300-luvulla käyttämällä niiden laskemiseen kertolaskukaavaa.[7] Kolmion muotoon järjestettynä ne julkaisi Euroopassa ensimmäisenäPetrus Apianus (1495–1552) liikelaskuja käsittelevän kirjansa kannessa vuonna 1527.[14]Michael Stifel julkaisi osan kolmiosta, toiselta sarakkeelta keskimmäiselle, vuonna 1544 kuvaillen sitäkuviolukujen taulukkona.[7]Italiassa Pascalin kolmio tunnetaanTartaglian kolmiona algebran tutkijaNiccolò Fontana Tartaglian (1500–1577) mukaan, joka julkaisi kolmion kuusi ensimmäistä riviä vuonna 1556.[7] MyösGerolamo Cardano julkaisi kolmion ja sekä yhteen- että kertolaskumenetelmät sen muodostamiseksi vuonna 1570.[7]
Pascalin teosTraité du triangle arithmétique (Tutkielma aritmeettisesta kolmiosta) julkaistiin vuonna 1655. Siinä Pascal kokosi yhteen joukon kolmiota koskevia tuloksia ja käytti niitätodennäköisyyslaskennan probleemojen ratkaisemiseen. Pascalin nimen kolmiolle antoivat ensimmäisinä vuonna 1708Pierre Raymond de Montmort, joka nimitti sitä "herra Pascalin kombinaatiotauluksi" (ransk.Table de M. Pascal pour les combinations), ja vuonna 1730Abraham de Moivre, joka nimitti sitä "Pascalin aritmeettiseksi kolmioksi" (lat.Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM).[15]
mikä kuitenkin pätee vain, kun, sillä vain tässä tapauksessa sarjasuppenee.[16]
Myös tässä sarjassa oleville kertoimille, joissan on negatiivinen, käytetään toisinaan merkintää.
Pascalin kolmio voidaan laajentaa puolitasoksi siten, että siihen sisältyvät myös nämä binomisarjojen kertoimet. Tämä tehdään seuraavasti:
Alkuperäisen kolmion jokaisen rivin loppuun lisätään nollia. Tämä vastaa sitä, että esimerkiksi lausekkeen loppuun voidaan sen arvon muuttumatta lisätä ja niin edelleen. Sääntö, jonka mukaan kolmion jokainen luku on kahden sen yläpuolella olevan luvun summa, pätee selvästi myös tällä alueella, onhan 0+0=0 ja 1+0=1. Taulukko voidaan nyt kirjoittaa seuraavaan muotoon:
1
0
0
0
0
0
...
1
1
0
0
0
0
...
1
2
1
0
0
0
...
1
3
3
1
0
0
...
1
4
6
4
1
0
...
Pascalin kolmion tavanomaisesta asettelusta poiketen tässä kaikki rivit alkavat yllä olevassa taulukossa samalta sarakkeelta. Sen jälkeen taulukon vasemmanpuoleista saraketta jatketaan ylöspäin lisäämällä jokaisen uuden rivin alkuun luku 1:
1
...
1
...
1
...
1
...
1
0
0
0
0
0
...
1
1
0
0
0
0
...
1
2
1
0
0
0
...
1
3
3
1
0
0
...
1
4
6
4
1
0
...
Silloinkin kunn on negatiivinen, pätee:
mikä voidaan kirjoittaa myös muotoon:
Uusille riveille sijoitettavat luvut lasketaan tätä lauseketta käyttäen, rivit alhaalta ylöspäin ja kukin rivi vasemmasta laidasta alkaen. Taulukosta tulee seuraavanlainen:[17][18]
1
−4
10
−20
35
−56
...
1
−3
6
−10
15
−21
...
1
−2
3
−4
5
−6
...
1
−1
1
−1
1
−1
...
1
0
0
0
0
0
...
1
1
0
0
0
0
...
1
2
1
0
0
0
...
1
3
3
1
0
0
...
1
4
6
4
1
0
...
Tällöin todetaan erityisesti, että alkuperäisen kolmion yläpuolelle lisätyillä riveillä toisena, alussa olevan ykkösen jäljessä, ovat negatiiviset kokonaisluvut. Sillä rivillä, jolla toisena on luku -n, onk:ntena aina luku
.
Kullakin näin lisätyllä rivillä on joka toinen luku positiivinen, joka toinen negatiivinen.
↑abcdefgRobin Wilson, John J. Watkins (toim.); A. W. F. Edwards: ”The arithmetical triangle”, Combinatorics: Ancient and Modern, s. 166–180. Oxford University Press, 2013.
↑R. Rashed: ”The Beginnings of Algebra”, The Development of Arabic Mathematics Between Arithmetic and Algebra, s. 63–65. Kluwer Academic Publishers, 1994. Teoksen verkkoversio.
↑Nathan Sidoli, Glen Van Brummelen: From Alexandria, Through Baghdad: Surveys and Studies in the Ancient Greek and Medieval Islamic Mathematical Sciences in Honor of J.L. Berggren, s. 54. Springer Science & Business Media, 2013. ISBN 9783642367366Teoksen verkkoversio.
↑E. Kennedy: Omar Khayyam. The Mathematics Teacher 1958, s. 140–142. National Council of Teachers of Mathematics, 1966. JSTOR:i27957284
↑Julian Coolidge: The story of the binomial theorem. The American Mathematical Monthly, 1949, 56. vsk, nro 3, s. 147–157. doi:10.2307/2305028JSTOR:2305028MR:0028222.
↑David Fowler: The Binomial Coefficient Function. The American Mathematical Monthly, Tammikuu 1996, 103. vsk, nro 1, s. 1–17 (erityisesti sivu 11). doi:10.2307/2975209JSTOR:2975209
↑abLauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 2, s. 137–139. Kirjayhtymä, 1975. ISBN 951-26-0994-0
↑Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: ”Binomial Coefficients”, Concrete Mathematics, 2nd ed. s. 163–164. Addison-Wesley, 1994. ISBN 0-201-55802-5Teoksen verkkoversio. (Arkistoitu – Internet Archive)
