Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Siirry sisältöön
Wikipedia
Haku

Neliöluku

Wikipediasta

Neliöluku onpositiivinenkokonaisluku, jonka osoittamasta määrästä pisteitä voidaan muodostaaneliön muotoinen kuvio.[1]

Neliöluvut voidaan määrittää lausekkeellan2{\displaystyle n^{2}}, jossan on positiivinen kokonaisluku. Esimerkiksi9 on neliöluku, koska32=9.{\displaystyle 3^{2}=9.}[1] Kaksi­kymmentä ensimmäistä neliölukua ovat1,4,9,16,25,36,49,64,81,100, 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361 ja 400[2].

Kuvassa näkyvä punainen lisäys on kreikkalaisittain nimeltäängnomon ja sitä vastaa neliöluvussaNn{\displaystyle N_{n}}pariton luku2n−1.{\displaystyle 2n-1.}

Neliöluvut ovatkolmiolukujen jälkeen yksinkertaisin ryhmämonikulmiolukuja, jotka ovat pisteillä muodostettujensäännöllisten monikulmioiden lukuja[3]. Monikulmioluvut ovat osakuviolukujen ryhmää.

Määritelmä

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

NeliöluvutNn{\displaystyle N_{n}} saadaanaritmeettisena summana, jossa lasketaann{\displaystyle n} peräkkäistä paritonta lukua yhteen:

Nn=∑k=1n(2k−1)=1+3+5+7+⋯+(2n−1)=n2.{\displaystyle N_{n}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)=1+3+5+7+\dotsb +(2n-1)=n^{2}.}[1]

Tämä voidaan tulkita summaksi, jossa ensimmäisenä lukuna on pienin neliölukuN1=1{\displaystyle N_{1}=1} ja sitten siihen lisätään gnomoneitagn=2n+1{\displaystyle g_{n}=2n+1}

Nn=N1+g1+g2+⋯+gn−1.{\displaystyle N_{n}=N_{1}+g_{1}+g_{2}+\dots +g_{n-1}.}

Neliölukujoukonkomplementti eli ei-neliölukujen joukko voidaan muodostaa lausekeenan=n+⌊12+n⌋{\displaystyle a_{n}=n+\left\lfloor {\frac {1}{2}}+{\sqrt {n}}\right\rfloor } avulla, missä käytetäänlattiafunktioita. Lausekkeesta saadaan luvut 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, ... , joista puuttuvat neliöluvut.[1]

Yhteyksiä matematiikkaan

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Neliölukujen ominaisuuksia

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Seuraavan neliöluvun voi muodostaa rekursiivisesti edellisen neliöluvun avulla seuraavasti.

0+1=1{\displaystyle 0+\color {blue}1\color {black}=1}1+3=4{\displaystyle 1+\color {blue}3\color {black}=4}4+5=9{\displaystyle 4+\color {blue}5\color {black}=9}9+7=16{\displaystyle 9+\color {blue}7\color {black}=16}

Rekursiivisesti ilmaistuna seuraava neliöluku onNn+1=Nn+(2n−1)=n2+(2n−1)=n2+n+1=(n+1)2.{\displaystyle N_{n+1}=N_{n}+(2n-1)=n^{2}+(2n-1)=n^{2}+n+1=(n+1)^{2}.}[1]

Kytkentä muihin kuviolukuihin

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Neliöluvut voidaan aina esittää kahden kolmioluvun avulla

Nn=Tn+Tn−1=12n(n+1)+12(n−1)n=n2{\displaystyle N_{n}=T_{n}+T_{n-1}={\frac {1}{2}}n(n+1)+{\frac {1}{2}}(n-1)n=n^{2}}[1]

Yhteyksiä muuhun matematiikkaan

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Jos lukun{\displaystyle n} parillinen luku, niin luvutn−1{\displaystyle n-1} jan+1{\displaystyle n+1} ovatperäkkäiset parittomat luvut. Vastaavasti, josn{\displaystyle n} on pariton luku, niin luvut ovatperäkkäiset parilliset luvut. Peräkkäisten parillisten (parittomien) lukujen tulo yhdellä lisättynä on neliöluku eli

Nn=(n−1)(n+1)+1=(n2−1)+1=n2.{\displaystyle N_{n}=(n-1)(n+1)+1=(n^{2}-1)+1=n^{2}.}[1]

Jokainen luonnollinen luku voidaan esittää korkeintan neljän neliöluvun summana. Tällaisia tapauksia ovat esimerkiksi3=12+12+12,{\displaystyle 3=1^{2}+1^{2}+1^{2},}4=22,{\displaystyle 4=2^{2},}5=22+12{\displaystyle 5=2^{2}+1^{2}} ja7=22+12+12+12.{\displaystyle 7=2^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}.} Samoin jokainen luku voidaan esittää korkeintaan kolmen etumerkillisen neliöluvun summana eli esimerkiksi3=22−12,{\displaystyle 3=2^{2}-1^{2},}5=22+12{\displaystyle 5=2^{2}+1^{2}} ja7=32−12−12.{\displaystyle 7=3^{2}-1^{2}-1^{2}.}[1]

Neljänparittoman luvun neliöiden summa voidaan lausua myös neljänparillisen luvun neliöitten summana.[1]

Alkulukup{\displaystyle p}, joka voidaan lausua muodossap=4n+1{\displaystyle p=4n+1}, voidaan esittää kahden luvunneliön summana. Esimerkiksi luku 29 on tällainen luku, koska29=4⋅7+1=22+52.{\displaystyle 29=4\cdot 7+1=2^{2}+5^{2}.}[4]

Historiaa

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Muun muassapythagoralaiset 500 eaa. tutkivat lukujen ominaisuuksia ja niihin liittyvää mystiikkaa. Kolmioluvut, neliöluvut ja muut monikulmioluvut olivat keskeinen osa lukujen oppirakennelmaa.[5] EuroopassaPierre de Fermat tutki muiden töidensä oheella myös pythagoralaisten matematiikkaa. Hänen todistusmenetelmänsä selittivät monia kuviolukujen ominaisuuksia ja kasvanut kiinnostus lukuihin kiteytyilukuteoriassa, joka voidaan katsoa syntyneen tästä harrastuksesta.[6]

Fermat esitti kirjeenvaihdossaan teoreeman, ettäjokainen luonnollinen luku voidaan esittää n:n n-kulmioluvun summana. Teoreeman todisti yleisellä tasolla ensimmäisenäAugustin-Louis Cauchy.[7]

Katso myös

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Lähteet

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]
  • Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osat I–II. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-150-0 jaISBN 951-884-158-6

Viitteet

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]
  1. ↑abcdefghiWeisstein, Eric W.: Square Number (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. ↑OEIS:Trangular number
  3. ↑Weisstein, Eric W.: Polygonal Number (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. ↑Boyer, s. 499
  5. ↑Boyer, s. 93–95
  6. ↑Boyer, s. 498–501
  7. ↑Boyer, s. 726
Kuvioluvut
Monikulmioluvut
Muita tasokuviolukuja:
Pyramidiluvut
Muut monitahokasluvut
Monikulmiolukuja koskevia tuloksia
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/w/index.php?title=Neliöluku&oldid=22944421”
Luokka:
Piilotetut luokat:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp