Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Siirry sisältöön
Wikipedia
Haku

Laplace-muunnos

Wikipediasta

Laplace-muunnos (Laplacen muunnos) on eräs yleisimmin käytetyistäintegraalimuunnoksista. Muunnoksella on käytännön sovelluksia monillafysiikan osa-alueilla, erityisestielektroniikassa sekä matematiikassatodennäköisyyslaskennassa. Laplace-muunnosta voidaan käyttää myösdifferentiaaliyhtälöidenalkuarvotehtävien ratkaisemiseen.[1]

Mielivaltaisen funktion f(t), joka on määritelty kaikilla t>0, Laplace-muunnos määritellään integraalina:

F(s)=L{f(t)}=∫0−∞e−stf(t)dt{\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)dt},


missä0−=limϵ→+0−ϵ{\displaystyle 0-=\lim _{\epsilon \rightarrow +0}-\epsilon }.[1] Joskus käytetään myös kaksipuolista muotoa:

L{f(t)}=∫−∞∞e−stf(t)dt{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)dt}


Yleisessä tapauksessa muunnoksen argumenttis{\displaystyle s} onkompleksiluku:s=σ1+iσ2{\displaystyle s=\sigma _{1}+i\sigma _{2}}, missäi{\displaystyle i} onimaginääriyksikkö jaσ1,σ2∈R{\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}\in \mathbb {R} }. Laplace-muunnoksen käänteismuunnos tunnetaanBromwichin integraalina. Se on kompleksinen integraali:

f(t)=L−1{F(s)}=12πi∫γ−i∞γ+i∞estF(s)ds{\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma -i\infty }^{\gamma +i\infty }e^{st}F(s)ds}


Laplace-muunnoksen ominaisuuksia

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]
L{af(t)+bg(t)}=aF(s)+bG(s){\displaystyle {\mathcal {L}}\{af(t)+bg(t)\}=aF(s)+bG(s)}


L{f(t)∗g(t)}=F(s)G(s){\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)*g(t)\}=F(s)G(s)}


  • Signaalinkäsittelyssä käytännöllinen onalku- ja loppuarvoteoreema:
limt→0f(t)=lims→∞sF(s){\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}f(t)=\lim _{s\rightarrow \infty }sF(s)}


lims→0sF(s)=limt→∞f(t){\displaystyle \lim _{s\rightarrow 0}sF(s)=\lim _{t\rightarrow \infty }f(t)}


  • Erityisen kiintoisa on funktionderivaatan Laplace-muunnos:
L{dfdt}=sL{f(t)}−f(0){\displaystyle {\mathcal {L}}\{{\frac {df}{dt}}\}=s{\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0)}[2]


Tämän ominaisuuden avulla differentiaaliyhtälö voidaan muuttaa algebralliseksi yhtälöksi, jonka ratkaiseminen on tyypillisesti paljon differentiaaliyhtälöä yksinkertaisempaa.

Yleensä on Laplace-muunnosta käytettäessä kätevää käyttää valmiita muunnoskaavoja, joita on taulukoitu erilaisille funktioille. Seuraavassa on keskeisimpiä:[2],[3]

FunktioLaplace-muunnosRajoitteet
11s{\displaystyle {\frac {1}{s}}}s>0
eax{\displaystyle e^{ax}}1s−a{\displaystyle {\frac {1}{s-a}}}s>max{a,0}{\displaystyle s>\max\{a,0\}}
xn{\displaystyle x^{n}}n!sn+1{\displaystyle {\frac {n!}{s^{n+1}}}}s>0
sin⁡(ax){\displaystyle \sin(ax)}as2+a2{\displaystyle {\frac {a}{s^{2}+a^{2}}}}s>0
cos⁡(ax){\displaystyle \cos(ax)}ss2+a2{\displaystyle {\frac {s}{s^{2}+a^{2}}}}s>0
sinh⁡(ax){\displaystyle \sinh(ax)}as2−a2{\displaystyle {\frac {a}{s^{2}-a^{2}}}}s>0
cosh⁡(ax){\displaystyle \cosh(ax)}ss2−a2{\displaystyle {\frac {s}{s^{2}-a^{2}}}}s>0


Katso myös

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Lähteet

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]
  1. ↑abKekäläinen, P.: ”3. Toisen kertaluvun lineaarinen yhtälö”, Differentiaaliyhtälöt, s. 72. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, matematiikan laitos, 2000. ISBN 951-39-0810-0
  2. ↑abKekäläinen, P.: ”3. Toisen kertaluvun lineaarinen yhtälö”, Differentiaaliyhtälöt, s. 73. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, matematiikan laitos, 2000. ISBN 951-39-0810-0
  3. ↑Valtanen, E.: ”20. Laplace-muunnokset”, Matematiikan ja fysiikan käsikirja, s. 152–153. Genessis-Kirjat Oy, 2007. ISBN 978-952-9867-28-8

Kirjallisuutta

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]
  • Väisälä, Kalle: Matematiikka V: Laplace-muunnos. Espoo: Otakustantamo, 1980 (1965). ISBN 951-671-020-4
  • Oppenheim, Alan V.; Willsky Alan S.; with Nawab, Syed Hamid: Signals and Systems, s. 1–957. Prentice-Hall Signal Processing Series, 1997 (1983). ISBN 0-13-651175-9

Aiheesta muualla

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]
Tämämatematiikkaan liittyvä artikkeli ontynkä. Voit auttaa Wikipediaalaajentamalla artikkelia.
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/w/index.php?title=Laplace-muunnos&oldid=23334965”
Luokat:
Piilotetut luokat:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp