Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Siirry sisältöön
Wikipedia
Haku

L’Hôpitalin sääntö

Wikipediasta
Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä.
Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliintarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä neohjeen mukaan.
Tarkennus:Vain yksi lähde
Guillaume de l’Hôpital, jonka mukaan l’Hôpitalin sääntö on nimetty.
Johann Bernoulli, jonka uskotaan kehittäneen l’Hôpitalin säännön.

L’Hôpitalin sääntö (joskus muodossal’Hospitalin) on 1600-luvun lopulla kehitetty, ranskalaisen matemaatikonGuillaume de l’Hôpitalin mukaan nimettymatemaattinen menetelmä, jossaepämääräistä muotoa oleviaraja-arvoja laskettaessa käytetään apunaderivaattaa. L’Hôpital julkaisi säännön vuonna 1696 kirjassaanAnalyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes. L’Hôpitalin säännön on itse asiassa kehittänyt l’Hôpitalin opettaja, sveitsiläinen matemaatikkoJohann Bernoulli[1]. L’Hôpital ja Bernoulli kirjoittivat sopimuksen, jonka mukaan l’Hôpital sai korvausta vastaan käyttää Bernoullin matemaattisia tuloksia vapaasti omissa nimissään.Ylioppilastutkintolautakunta ei lähtökohtaisesti salli menetelmän käyttöä suomalaisessaylioppilaskokeessa, jollei sitä ole koesuorituksessa perustellen johdettu.[2]

Olkootfunktiotf{\displaystyle f} jag{\displaystyle g}derivoituvia (ja täten myösjatkuvia) välilläA∖{a}{\displaystyle A\smallsetminus \{a\}}, missäA{\displaystyle A} on avoin väli, joka sisältää pisteena{\displaystyle a}, mikälia{\displaystyle a} ei ole∞{\displaystyle \infty } eikä−∞{\displaystyle -\infty }. Siisa{\displaystyle a} voi olla tässä muotoab,b+,b−,∞{\displaystyle b,b+,b-,\infty } tai−∞{\displaystyle -\infty } (epäoleelliset raja-arvot), jossab+{\displaystyle b+} jab−{\displaystyle b-} tarkoittavatfunktion toispuoleisia raja-arvoja pisteessäb{\displaystyle b}. Oletetaan lisäksi, että

limx→af(x)=limx→ag(x)=0{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=0} tai
limx→a|g(x)|=∞{\displaystyle \lim _{x\to a}|g(x)|=\infty } ja
limx→af′(x)g′(x){\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}} on olemassa (äärellisenä tai äärettömänä) ja
g′(x)≠0{\displaystyle g'(x)\neq 0} kaikillex∈A∖{a}{\displaystyle x\in A\smallsetminus \{a\}}.

Nyt l’Hôpitalin säännön mukaan seuraava on tosi: näiden funktioiden osamäärän raja-arvoL{\displaystyle L} kohdassaa{\displaystyle a} on sama kuin funktioiden derivaattojen osamäärän raja-arvo samassa kohdassa. Matemaattisin merkinnöin ilmaistuna saamme jälkimmäisestä lauseesta

limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)=L.{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.}

Sääntöä voidaan soveltaa useita kertoja peräkkäin, mutta säännön soveltamisen ehdot on tarkastettava tällöin joka sovelluskerralla uudelleen. Sääntö muun muassa helpottaa raja-arvojen laskemista, kun funktioiden derivaattojen raja-arvot on helpompi laskea kuin itse funktioiden, etenkin kun derivaattojen arvot pisteessäa{\displaystyle \scriptstyle a} poikkeavat nollasta. Sääntö voidaan laajentaa myös koskemaan toispuoleisia sekä äärettömiä raja-arvoja.

l’Hôpitalin säännön todistus

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Todistetaan l’Hôpitalin sääntödifferentiaalilaskennan väliarvolauseen avulla.

Määritelläänf(a)=g(a)=0{\displaystyle f(a)=g(a)=0}, jolloin funktiotf{\displaystyle f} jag{\displaystyle g} ovat jatkuvia pisteessäa{\displaystyle a}. Valitaan nyt pistex{\displaystyle x} niin läheltä pistettäa{\displaystyle a}, että funktiotf{\displaystyle f} jag{\displaystyle g} toteuttavatdifferentiaalilaskennan väliarvolauseen oletukset välillä[a,x]{\displaystyle [a,x]} (tai[x,a]{\displaystyle [x,a]}, josx<a{\displaystyle x<a}).

Nyt saadaan

f′(ξ)g(x)=g′(ξ)f(x),{\displaystyle f'(\xi )g(x)=g'(\xi )f(x),}

missäξ∈(a,x){\displaystyle \xi \in (a,x)} (taiξ∈(x,a){\displaystyle \xi \in (x,a)}, josx<a{\displaystyle x<a}).Lisäksig′(x)≠0{\displaystyle g'(x)\neq 0} jossain pisteena{\displaystyle a} ympäristössä (x≠a{\displaystyle x\neq a}). Differentiaalilaskennan väliarvolauseen mukaan

f′(ξ)g′(ξ)=f(x)−f(a)g(x)−g(a)=f(x)g(x),{\displaystyle {\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}={\frac {f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}={\frac {f(x)}{g(x)}},}

kun|x−a|≠0{\displaystyle |x-a|\neq 0} on tarpeeksi pieni.Kun nytx→a{\displaystyle x\to a}, niin myösξ→a{\displaystyle \xi \to a}, joten väite seuraa yllä olevasta yhtälöstä.Sama on voimassa myös toispuoleisten raja-arvojen tapauksessa.

Merkitäänt=1x{\displaystyle t={\frac {1}{x}}}, jolloin todistus menee vastaavasti kuin tapauksessa 1.Tällöin

limx→±∞f(x)g(x)=limx→0±f(1t)g(1t)=limx→0±f′(1t)(−1t2)g′(1t)(−1t2)=limx→±∞f′(x)g′(x).{\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to 0\pm }{\frac {f({\frac {1}{t}})}{g({\frac {1}{t}})}}=\lim _{x\to 0\pm }{\frac {f'({\frac {1}{t}})(-{\frac {1}{t^{2}}})}{g'({\frac {1}{t}})(-{\frac {1}{t^{2}}})}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.}

Todistus tapauksessalimx→∞g(x)→∞{\displaystyle \displaystyle {\lim _{x\to \infty }{g(x)\to \infty }}}

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Olkoot funktiotf{\displaystyle f} jag{\displaystyle g} derivoituvia välillä(a,∞){\displaystyle (a,\infty )},limx→∞g(x)→∞{\displaystyle \displaystyle {\lim _{x\to \infty }{g(x)\to \infty }}} jalimx→∞f′(x)g′(x)=L∈R{\displaystyle \displaystyle {\lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L\in \mathbb {R} }}. Täten jollakinb1≥a{\displaystyle b_{1}\geq a} päteeg(x)>0{\displaystyle g(x)>0} jag′(x)≠0{\displaystyle g'(x)\neq 0}, kunx>b1{\displaystyle x>b_{1}}. Koskalimx→∞g(x)=∞{\displaystyle \displaystyle {\lim _{x\to \infty }{g(x)}=\infty }}, niing(x){\displaystyle g(x)} on aidosti kasvava, kunx>b1{\displaystyle x>b_{1}}.

Olkoonε>0{\displaystyle \varepsilon >0}. On olemassab2>b1{\displaystyle b_{2}>b_{1}} siten, että

|f′(z)g′(z)−L|<ε2, kun z>b2.{\displaystyle \left|{\frac {f'(z)}{g'(z)}}-L\right|<{\frac {\varepsilon }{2}},\ {\text{kun}}\ z>b_{2}.}

Koskag(z){\displaystyle g(z)} on aidosti kasvava, kunz>b2{\displaystyle z>b_{2}}, niing(x)−g(y)>0{\displaystyle g(x)-g(y)>0}, kunx>y>b2{\displaystyle x>y>b_{2}}.Cauchyn yleisen väliarvolauseen nojalla

|f(x)−f(y)g(x)−g(y)−L|<ε2, kun x>y>b2.{\displaystyle \left|{\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}-L\right|<{\frac {\varepsilon }{2}},\ {\text{kun}}\ x>y>b_{2}.}

Täten

(1−g(y)g(x))(L−ε2)+f(y)g(x){\displaystyle \left(1-{\frac {g(y)}{g(x)}}\right)\left(L-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)+{\frac {f(y)}{g(x)}}}<f(x)g(x){\displaystyle <{\frac {f(x)}{g(x)}}}<(1−g(y)g(x))(L+ε2)+f(y)g(x),{\displaystyle <\left(1-{\frac {g(y)}{g(x)}}\right)\left(L+{\frac {\varepsilon }{2}}\right)+{\frac {f(y)}{g(x)}},}kun x>y>b2.{\displaystyle {\text{kun}}\ x>y>b_{2}.}

Kuny{\displaystyle y} on kiinnitetty, niin

(1−g(y)g(x))(L−ε2)+f(y)g(x)→L−ε2,{\displaystyle \left(1-{\frac {g(y)}{g(x)}}\right)\left(L-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)+{\frac {f(y)}{g(x)}}\to L-{\frac {\varepsilon }{2}},}kun x→∞{\displaystyle {\text{kun}}\ x\to \infty }

ja

(1−g(y)g(x))(L+ε2)+f(y)g(x)→L+ε2,{\displaystyle \left(1-{\frac {g(y)}{g(x)}}\right)\left(L+{\frac {\varepsilon }{2}}\right)+{\frac {f(y)}{g(x)}}\to L+{\frac {\varepsilon }{2}},}kun x→∞.{\displaystyle {\text{kun}}\ x\to \infty .}

Täten on olemassab3>y{\displaystyle b_{3}>y} siten, että

L−ε<(1−g(y)g(x))(L−ε2)+f(y)g(x),{\displaystyle L-\varepsilon <\left(1-{\frac {g(y)}{g(x)}}\right)\left(L-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)+{\frac {f(y)}{g(x)}},}kun x>b3.{\displaystyle {\text{kun}}\ x>b_{3}.}

On myös olemassab4>b3{\displaystyle b_{4}>b_{3}} siten, että

(1−g(y)g(x))(L+ε2)+f(y)g(x)<L+ε,{\displaystyle \left(1-{\frac {g(y)}{g(x)}}\right)\left(L+{\frac {\varepsilon }{2}}\right)+{\frac {f(y)}{g(x)}}<L+\varepsilon ,}kun x>b4.{\displaystyle {\text{kun}}\ x>b_{4}.}

Tällöin

L−ε<f(x)g(x)<L+ε, kun x>b4{\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {f(x)}{g(x)}}<L+\varepsilon ,\ {\text{kun}}\ x>b_{4}}

eli

|f(x)g(x)−L|<ε, kun x>b4.{\displaystyle \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-L\right|<\varepsilon ,\ {\text{kun}}\ x>b_{4}.}

Siislimx→∞f(x)g(x)=L=limx→∞f′(x)g′(x){\displaystyle \displaystyle {\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=L=\lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}}.◻{\displaystyle \square }

Esimerkkejä l’Hôpitalin säännön käytöstä

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Käytetään merkintää == osoittamaan l’Hôpitalin säännön soveltamista esimerkeissä.

limx→0sin⁡xx==limx→0D(sin⁡x)D(x)=limx→0cos⁡x1=1.{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}==\lim _{x\to 0}{\frac {D(\sin x)}{D(x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x}{1}}=1.}
Vaikka tämä raja-arvo onkin oiva esimerkki lauseen käytöstä, se sisältääkehäpäätelmän. Tätä tulosta käytetäänsinifunktion derivoimissäännön johdossa, joten l’Hôpitalin sääntö ei ole todistusvoimainen kyseisen raja-arvon kohdalla. Lauseen käytön kuvaamisessa se on kuitenkin klassinen esimerkki.
  • Esimerkki tilanteesta, jossa osamäärä on epämääräistä muotoa0/0{\displaystyle 0/0}. L’Hôpitalin säännön soveltaminen ensimmäisen kerran antaa yhä epämääräistä muotoa olevan raja-arvon. Tämä saadaan kuitenkin lasketuksi soveltamalla sääntöä yhteensä kolme kertaa:
limx→02sin⁡x−sin⁡2xx−sin⁡x==limx→0D(2sin⁡x−sin⁡2x)D(x−sin⁡x)=limx→02cos⁡x−2cos⁡2x1−cos⁡x==limx→0D(2cos⁡x−2cos⁡2x)D(1−cos⁡x)=limx→0−2sin⁡x+4sin⁡2xsin⁡x==limx→0D(−2sin⁡x+4sin⁡2x)D(sin⁡x)=limx→0−2cos⁡x+8cos⁡2xcos⁡x=−2+81=6.{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {2\sin x-\sin 2x}{x-\sin x}}&==\lim _{x\to 0}{\frac {D(2\sin x-\sin 2x)}{D(x-\sin x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos x-2\cos 2x}{1-\cos x}}\\&==\lim _{x\to 0}{\frac {D(2\cos x-2\cos 2x)}{D(1-\cos x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {-2\sin x+4\sin 2x}{\sin x}}\\&==\lim _{x\to 0}{\frac {D(-2\sin x+4\sin 2x)}{D(\sin x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {-2\cos x+8\cos 2x}{\cos x}}={\frac {-2+8}{1}}=6.\end{aligned}}}
limx→∞xne−x=limx→∞xnex==limx→∞D(xn)D(ex)=limx→∞nxn−1ex=nlimx→∞xn−1ex==nlimx→∞D(xn−1)D(ex)=n(n−1)limx→∞xn−2ex==...==n!limx→∞1ex=0.{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to \infty }x^{n}e^{-x}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}}}&==\lim _{x\to \infty }{\frac {D(x^{n})}{D(e^{x})}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {nx^{n-1}}{e^{x}}}=n\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n-1}}{e^{x}}}\\&==n\lim _{x\to \infty }{\frac {D(x^{n-1})}{D(e^{x})}}=n(n-1)\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n-2}}{e^{x}}}\\&==...==n!\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{e^{x}}}=0.\end{aligned}}}

Ongelmatapauksia

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]
  • Ennen l’Hôpitalin säännön käyttämistä on tärkeää tarkistaa, että osamäärä on varmasti epämääräistä muotoa. Tämä unohtuu helposti, jos l’Hôpitalin sääntöä käytetään raja-arvoa laskettaessa useita kertoja peräkkäin. Lasketaan raja-arvo
limx→0sin⁡(x)x+x2==limx→0cos⁡(x)1+2x==limx→0−sin⁡(x)2=0.{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x+x^{2}}}==\lim _{x\to 0}{\frac {\cos(x)}{1+2x}}==\lim _{x\to 0}{\frac {-\sin(x)}{2}}=0.}
Tämä on väärin, sillälimx→0cos⁡(x)1+2x{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\cos(x)}{1+2x}}} ei ole epämääräistä muotoa, joten siihen ei voi soveltaa l’Hôpitalin sääntöä.
Oikea tapa:
limx→0sin⁡(x)x+x2==limx→0cos⁡(x)1+2x=limx→0cos⁡(x)limx→0(1+2x)=11=1.{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x+x^{2}}}==\lim _{x\to 0}{\frac {\cos(x)}{1+2x}}={\frac {\lim _{x\to 0}\cos(x)}{\lim _{x\to 0}\left(1+2x\right)}}={\frac {1}{1}}=1.}
  • Joskus l’Hôpitalin säännön käyttäminen johtaa takaisin alkuperäiseen muotoon:
limx→∞ex+e−xex−e−x==limx→∞D(ex+e−x)D(ex−e−x)=limx→∞ex−e−xex+e−x==limx→∞D(ex−e−x)D(ex+e−x)=limx→∞ex+e−xex−e−x==limx→∞D(ex+e−x)D(ex−e−x)=….{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}&==\lim _{x\to \infty }{\frac {D(e^{x}+e^{-x})}{D(e^{x}-e^{-x})}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}\\&==\lim _{x\to \infty }{\frac {D(e^{x}-e^{-x})}{D(e^{x}+e^{-x})}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}\\&==\lim _{x\to \infty }{\frac {D(e^{x}+e^{-x})}{D(e^{x}-e^{-x})}}=\dots .\end{aligned}}}
Tämän tilanteen voi välttää sijoittamallay=ex{\displaystyle y=e^{x}}, missäy→∞{\displaystyle y\to \infty }, kunx→∞{\displaystyle x\to \infty }. Nyt raja-arvon laskeminen on helppoa:
limx→∞ex+e−xex−e−x=limy→∞y+y−1y−y−1==limy→∞D(y+y−1)D(y−y−1)=limy→∞1−y−21+y−2=11=1.{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {y+y^{-1}}{y-y^{-1}}}==\lim _{y\to \infty }{\frac {D(y+y^{-1})}{D(y-y^{-1})}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {1-y^{-2}}{1+y^{-2}}}={\frac {1}{1}}=1.}
  • Toinen esimerkki tapauksesta, jossa l’Hôpitalin säännön käyttäminen ei johda mihinkään:
limx→∞2+x2x==limx→∞D(2+x2)D(x)=limx→∞x2+x2==limx→∞D(x)D(2+x2)=limx→∞2+x2x==limx→∞D(2+x2)D(x)=….{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {2+x^{2}}}{x}}&==\lim _{x\to \infty }{\frac {D({\sqrt {2+x^{2}}})}{D(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{\sqrt {2+x^{2}}}}\\&==\lim _{x\to \infty }{\frac {D(x)}{D({\sqrt {2+x^{2}}})}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {2+x^{2}}}{x}}\\&==\lim _{x\to \infty }{\frac {D({\sqrt {2+x^{2}}})}{D(x)}}=\dots .\end{aligned}}}
Parempi tapa on sieventää lauseketta. Nyt ei tarvitse käyttää l’Hôpitalin sääntöä ja saadaan helposti:
limx→∞2+x2x=limx→∞2x2+1=0+1=1.{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {2+x^{2}}}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\sqrt {{\frac {2}{x^{2}}}+1}}={\sqrt {0+1}}=1.}


Lähteet

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]
  1. ↑Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II, s. 592–594. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6
  2. ↑Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi peda.net. Arkistoitu 6.6.2023. Viitattu 6.6.2023.
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/w/index.php?title=L’Hôpitalin_sääntö&oldid=23257636”
Luokka:
Piilotetut luokat:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp