Movatterモバイル変換

[0]ホーム

Siirry sisältöön

Konjunktio (logiikka)

Muokkaa linkkejä

Wikipediasta

Lausetta $\scriptstyle A\land B$ vastaavaVenn-diagrammi

{\displaystyle \scriptstyle A\land B} — Lausetta $\scriptstyle A\land B$ vastaavaVenn-diagrammi

Lausetta $\scriptstyle A\land B\land C$ vastaava Venn-diagrammi

{\displaystyle \scriptstyle A\land B\land C} — Lausetta $\scriptstyle A\land B\land C$ vastaava Venn-diagrammi

Konjunktio onpropositiologiikassa kaksipaikkainenlooginen konnektiivi, joka vastaa yleiskielen sanaaja. Sillä muodostettu yhdistetty lause on tosi, jos molemmat sen yhdistämät lauseet ovat tosia, muussa tapauksessa epätosi. LauseidenA jaB konjunktiolle käytetään merkintää $A\land B$ .

Konjunktioon läheisesti liittyviä käsitteitä muissa yhteyksissä ovat:

joukko-opissa leikkaus
predikaattilogiikassa universaalikvanttori eli kaikki-kvanttori
elektroniikassa konjunktiota vastaaAND-portti.

Merkinnät

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Loogiselle konjunktiolle käytetään kirjallisuudessa useita eri symboleja. Sanan "ja" (engl.and) ohella sille käytetään yleisesti symbolia " $\land$ ",^[1] Esimerkiksi "A $\land$ B " luetaan "A jaB". Tällainen konjunktio on tosi vain jos sekäA ettäB ovat tosia lauseita, muussa tapauksessa se on epätosi.

Kaikki seuraavat ovat konjunktiota:

A\land B

\neg A\land B

A\land \neg B\land \neg C\land D\land \neg E.

Boolen algebrassa konjunktiolle käytetään merkintää $A+B$ .Jan Lukasiewiczin prefiksinotaatiossa disjunktion merkkinä käytetään K-kirjainta, joka on lyhennepuolan kielen sanastakoniunkcja. Tällöin lauseidenp jaq konjunktio merkitään Kpq.^[2]

Eriohjelmointikielissä konjunktiota vastaava operaattori merkitään tavallisimmin joko sanallaand tai kahdellaet-merkillä (&&).

Totuustaulu

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Vasemmalla olevien argumenttien konjunktiot: arvon tosi saavatbitit muodostavatSierpinskin kolmion.

Operaation $~A\land B$ totuustaulu on seuraava:^[1]

LAUSEET		KONJUNKTIO
$A {\displaystyle A}$	$B {\displaystyle B}$	$A\land B$
tosi	tosi	tosi
tosi	epätosi	epätosi
epätosi	tosi	epätosi
epätosi	epätosi	epätosi

Ominaisuudet

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Looginen konjunktio noudattaa laskulakeja, jotka pitkälti ovat analogisia esimerkiksireaalilukujen laskusäännöille. Se onvaihdannainen jaliitännäinen, ja sille pätee myösosittelulaki, kun toisena laskutoimituksena on looginendisjunktio. Konjunktio on lisäksiidempotentti eli minkä tahansa lauseen konjunktiolla itsensä kanssa on sama totuusarvo kuin alkuperäisellä lauseella. Tätä havainnollistavat seuraavat kaaviot:

Vaihdannaisuus

$A\land B$	$\Leftrightarrow$	$B\land A$
	$\Leftrightarrow$

Liitännäisyys

$A {\displaystyle ~A}$	$~~~\land ~~~$	$(B\land C)$	$\Leftrightarrow$			$(A\land B)$	$~~~\land ~~~$	$C {\displaystyle ~C}$
	$~~~\land ~~~$		$\Leftrightarrow$		$\Leftrightarrow$		$~~~\land ~~~$

Osittelulaki loogisen disjunktion suhteen

$A {\displaystyle ~A}$	$\land$	$(B\lor C)$	$\Leftrightarrow$			$(A\land B)$	$\lor$	$(A\land C)$
	$\land$		$\Leftrightarrow$		$\Leftrightarrow$		$\lor$

muita

liitännäisyyseksklusiivisen diskunktion suhteen:

$A {\displaystyle ~A}$	$\land$	$(B\oplus C)$	$\Leftrightarrow$			$(A\land B)$	$\oplus$	$(A\land C)$
	$\land$		$\Leftrightarrow$		$\Leftrightarrow$		$\oplus$

liitännäisyys materiaalisennonimplikaation suhteen:

$A {\displaystyle ~A}$	$\land$	$(B\nrightarrow C)$	$\Leftrightarrow$			$(A\land B)$	$\nrightarrow$	$(A\land C)$
	$\land$		$\Leftrightarrow$		$\Leftrightarrow$		$\nrightarrow$

liitännäisyys itsensä kanssa:

$A {\displaystyle ~A}$	$\land$	$(B\land C)$	$\Leftrightarrow$			$(A\land B)$	$\land$	$(A\land C)$
	$\land$		$\Leftrightarrow$		$\Leftrightarrow$		$\land$

Idempotenssi

$A {\displaystyle ~A~}$	$~\land ~$	$A {\displaystyle ~A~}$	$\Leftrightarrow$	$A {\displaystyle A~}$
	$~\land ~$		$\Leftrightarrow$

Monotonisuus

$A\rightarrow B$	$\Rightarrow$			$(A\land C)$	$\rightarrow$	$(B\land C)$
	$\Rightarrow$		$\Leftrightarrow$		$\rightarrow$

Totuuden säilyttävä validiteetti

Kun kaikki konjunktiolla yhdistettävät lauseet ovat tosia, konjunktio on tosi.

$A\land B$	$\Rightarrow$	$A\lor B$
	$\Rightarrow$
		(kokeiltava)

Epätotuuden säilyttävä validiteetti

Kun kaikki konjunktiolla yhdistettävät lauseet ovat epätosia, disjunktio on epätosi.

$A\land B$	$\Rightarrow$	$A\land B$
	$\Rightarrow$
(kokeiltava)

Walshin spektri: (1, -1, 1, -1)

Epälineaarisuus: 1 (funktio ontaivutettu)

Jos totuusarvoille käytetäänbinäärilukumerkintöjä 1 (tosi) ja 0 (epätosi), looginen konjunktio toimii samoin kuin näiden lukujen normaali kertolasku.

Sovellukset tietotekniikassa

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Useimmissaohjelmointikielissä on konjunktiota vastaava operaattori. Se merkitään monissaohjelmointikielissävaratulla sanallaand, mutta esimerkiksiC:ssä ja siihen pohjautuvissa ohjelmointikielissä kahdellaet-merkillä (&&).

Useimmissa ohjelmointikielissä looginen konjunktio antaa tulokseksi ainaboolean-tyyppisen muuttujan, jolla on vain kaksi mahdollista arvoa: tosi (1) tai epätosi (0). Monissavahvasti tyypitetyissä kielissä konjunktio voidaan sitä paitsi suorittaa vain, jos molemmat sillä yhdistettävätoperanditkin ovat boolean-tyyppisiä. Joissakin heikosti tyypitetyissä kielissä, esimerkiksiC:ssä, konjunktio voidaan kuitenkin suorittaa silloinkin, kun operandit ovat esimerkiksi kokonais- tai reaalilukutyyppisiä; tällöin tuloksena on 0 (epätosi), jos ainakin jompikumpi operandi on nolla, mulloin tuloksena on 1 (tosi). Tällöin siis operandien kaikkien muiden arvon kuin nollan katsotaan vastaavan totuusarvoa tosi.

Konjunktiota vastaavalooginen portti onAND-portti.

Biteittäinen operaatio

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Joissakin ohjelmointikielissä on määritelty myösbiteittäinen konjunktio'. Tällöin operandit,jotka voivat olla esimerkiksibinäärisiä kokonaislukuja, käydään läpi bitti bitiltäja suoritetaan konjunktio-operaatiot kummankin operandin vastaavien bittien välillä. Tuloksena saadaanmuuttuja, jossa kunkin bitin arvo riippuu operandien bittien arvoista seuraavasti:

0and 0 = 0
0and 1 = 0
1and 0 = 0
1and 1 = 1

Käymällä bitit läpi esimerkiksi binääriluvuista 11001010 ja 10100011 saadaan tulokseksi 10000010.

Biteittäinen konjunktio on käytettävissä muun muassaC-kielessä, jossa se merkitään yhdellä et-merkillä (&).

Biteittäisellä konjunktiolla voidaan muun muassa selvittää, minkä annetussa bittijonossa on jonkin tietyn bitin arvo. Esimerkiksi laskutoimitus10011101 AND 00001000antaa tulokseksi bittijonon 00001000, joka osoittaa, että vasemmanpuoleisen luvun viidennen bitin arvo on 1.

Leikkaus

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Konjunktiota vastaava operaatiojoukko-opissa onleikkaus. Kahden joukon leikkaus määritelläänkin konjunktion avulla: $a\in A\cap B$ , jos ja vain jos $a\in A\land a\in B$ . Toisin sanoen alkioa kuuluu joukkojenA jaB leikkaukseen, jos ja vain jos se kuuluu molempiin näistä joukoista, Tämän vuoksi joukko-opillinen leikkaus noudattaa pitkälti samoja sääntöjä kuin konjunktiokin: sillekin pätevät vaihdanta-, liitäntä-, osittelu- jade Morganin lait.

Luonnolliset kielet

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Matemaattisessa logiikassa määritellyt käsitteet ovat merkitykseltäänerilaisia kuin luonnollisen kielen sanat yleensä ovat. Suomen kielessä loogista konjunktiota vastaa lähinnä sanakieliopillinen konjunktioja. Tätä sanaa, samoin kuin sen vastineita useissa muissakin kielissä, käytetään kuitenkin myös tavoilla, jotka eivät vastaa loogisen konjunktion käsitettä. Toisinaan sillä ilmaistaan seurausta tai uhkausta, esimerkiksi: "vielä yksi sana, ja minä lähden", jonkin asian jatkamista huomattavan kauan, esimerkiksi "miettii ja miettii", tai sitä käytetään yhdistämään jonkin luvun tai määrän pienempää yksikköä suurempaan, esimerkiksi "kello 12 ja 50" (=12.50) taiTuhannen ja yhden yön tarinat.^[3]

Katso myös

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Lähteet

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

↑^a ^b”Conjunction”, Encyclopedia of Mathematics. Springer, The European Mathematical Society. ISBN 978-1-55608-010-4 Teoksen verkkoversio.
↑Jósef Maria Bochenski: A Précis of Mathematical Logic. (Otto Bird kääntänyt englanniksi ranskalaiista ja saksalaisista laitoksista) Dordrecht: D. Reidel, 1959.
↑”Ja”, Nykysuomen sanakirja, 1. osa (A-K), 11. painos, s. 697. Suomalaisen kirjallisuuden seura, WSOY, 1989. ISBN 951-0-09105-7

Aiheesta muualla

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Conjunction MathWorld. Viitattu 9.4.2015.

Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli:en:Logical conjunction

Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/w/index.php?title=Konjunktio_(logiikka)&oldid=22787737”

Luokka:

Logiikka

Piilotettu luokka:

Käännetyt artikkelit

[8]ページ先頭