Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Siirry sisältöön
Wikipedia
Haku

Evoluutta

Wikipediasta
Paraabelin käyrällä olevan kaarevuuden määrä voidaan ilmaista graafisesti ympyrällä, jolla on kauttaltaan sama kaarevuus. Kuvassa paraabeli ja ympyrä sivuavat toisensa "sisäisesti", jolloin ympyrän keskipiste jää paraabelin "sisäpuolelle". Tällaisten kaarevuusympyröiden keskipisteet muodostavat käyrän evoluutan.
Käyrän (kuvassa ellpisin) evoluutta on sen normaalien verhokäyrä.

Evoluutta onkäyränkaarevuuskeskipisteiden muodostama ura. Yhtäpitävästi se voidaan määritellä käyrännormaalienverhokäyräksi. Alkuperäistä käyrää kutsutaanevolventiksi. Käyrän evoluutan määrääminen on eräsdifferentiaalilaskennan sovellus.[1]

Käyrän tai yleisemminalimoniston evoluutta on sen normaalikuvauksen polttopisteiden joukko. Normaalikuvaus muodostetaan seuraavasti: OlkoonM sileä, säännöllinen alimonisto avaruudessaRn{\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}. Liitetään jokaiseenM:n pisteeseenp ja siitä alkavaan, pintaanM nähden kohtisuoraan vektoriinv pistep +v. Näin saatuaLagrangen kuvausta sanotaan normaalikuvaukseksi, ja sen polttopisteet muodostavat joukonM evoluutan.[2]

Jos käyrän evoluutta tunnetaan, itse käyrä voidaan piirtää asettamalla nuora evoluutalle ja kiinnittämällä se pisteeseen G. Pisteeseen A asetettu piirrin piirtää alkuperäisen käyrän, evolventin.

Historia

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Kartioleikkausten evoluuttoja käsitteli joApollonius Pergeläinen (noin 250 eKr.) teoksensaKonika (Kartioleikkauksista) V kirjassa.[3]. Laajemmin evoluuttoja tutki 1600-luvullaChristiaan Huygens, ja toisinaan ansion evoluuttojen teorian perustamisesta katsotaankin kuuluvan hänelle.[1] Huygens kehitti evoluuttojen teorian selvittääkseen, onko olemassatautokroninen käyrä, toisin sanoen käyrä, jonka minkä tahansa pisteelle asetulta kappaleelta kuluisi yhtä pitkä aika, ennen kuin ne ovat vierineet käyrän alimpaan kohtaan. Tällaiseksi osoittautuisykloidi[4], joka on siitä erikoinen, että myös sen evoluutta on muodoltaan sykloidi[5]. Tämä seikka auttoi häntä konstruioimaan heilurin, jonka heilahdusaika pysyy mahdollisimman tarkoin vakiona[4]. Evoluuttoja tutkimalla Huyghens johti myös monia tuloksia, jotka myöhemmin voitiin todistaa myösdifferentiaali- ja integraalilaskennan avulla.[6]<r

Parametrimuodossa esitetyn käyrän evoluutta

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Jos käyrällä on parametriesitys (x, y) = (f(t), g(t)), sen kuhunkin pisteeseen liittyvän kaarevuuskeskipisteen koordinaatit ovat

(f(t)−Rsin⁡τ,g(t)+Rcos⁡τ){\displaystyle (f(t)-R\sin {\tau },g(t)+R\cos {\tau })}

missäR on käyrän kaarevuussäde,

R=(f′(t)2+g′(t)2)32f′(t)g″(t)−f″(t)g(t){\displaystyle R={\frac {(f'(t)^{2}+g'(t)^{2})^{\frac {3}{2}}}{f'(t)g''(t)-f''(t)g(t)}}}

jaτ{\displaystyle \tau } on käyrän tangenttivektorin

T→=x→′|x→′|=(f′(t)f′(t)2+g′(t)2,g′(t)f′(t)2+g′(t)2){\displaystyle {\vec {T}}={\frac {{\vec {x}}'}{|{\vec {x}}'|}}=({\frac {f'(t)}{\sqrt {f'(t)^{2}+g'(t)^{2}}}},{\frac {g'(t)}{\sqrt {f'(t)^{2}+g'(t)^{2}}}})}

ja x-akselin välinen kulma. Tällöin oncos⁡τ=T→⋅x→{\displaystyle \cos {\tau }={\vec {T}}\cdot {\vec {x}}} jasin⁡τ=T→⋅y→{\displaystyle \sin {\tau }={\vec {T}}\cdot {\vec {y}}}. Tässäf′(t){\displaystyle f'(t)} jag′(t){\displaystyle g'(t)} tarkoittavat funktioidenf jag derivaattojat:n suhteen:f′(t)=dxdt{\displaystyle f'(t)={\frac {dx}{dt}}} jag′(t)=dydt{\displaystyle g'(t)={\frac {dy}{dt}}}.

Yhdistämällä nämä saadaan käyrän evoluutalle parametriesitys:

x=f(t)−(f′(t)2+(g′(t)2)g′(t)f′(t)g″(t)−f″(t)g′(t){\displaystyle x=f(t)-{\frac {(f'(t)^{2}+(g'(t)^{2})g'(t)}{f'(t)g''(t)-f''(t)g'(t)}}}

y=g(t)+(f′(t)2+(g′(t)2)f′(t)f′(t)g″(t)−f″(t)g′(t){\displaystyle y=g(t)+{\frac {(f'(t)^{2}+(g'(t)^{2})f'(t)}{f'(t)g''(t)-f''(t)g'(t)}}}[7]

Erityisesti jos käyrä on jonkin funktiony=f(x){\displaystyle y=f(x)} kuvaaja, jolloinx=t{\displaystyle x=t},x′(t)=1{\displaystyle x'(t)=1} jax″(t)=0{\displaystyle x''(t)=0}, lauseke yksinkertaistuu muotoon

x=t−(1+(y′(t)2))y′(t)y″(t){\displaystyle x=t-{\frac {(1+(y'(t)^{2}))y'(t)}{y''(t)}}}

y=t+(1+(y′(t)2y″(t){\displaystyle y=t+{\frac {(1+(y'(t)^{2}}{y''(t)}}}.[8]


Evoluutan ominaisuuksia

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]
Käännös suomeksi
Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli:en:Evolute
Käyrän pisteeseen P piirretty normaali on sen evoluutan tangentti alkuperäisen käyrän kaarevuuskeskipisteessä C.

Seuraavassa käytetään säännölliselle käyrälle parametriesitystäx→=c→(t),t∈[t1,t2]{\displaystyle {\vec {x}}={\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]}, jolloin sen evoluutta voidaan esittää muodossaE→(t)=c→(t)+ρ(t)n→(t){\displaystyle {\vec {E}}(t)={\vec {c}}(t)+\rho (t){\vec {n}}(t)}, missäρ(t){\displaystyle \rho (t)} on käyrän kaarevuussäde ja \vec n(t)</math> sitä vastaan kohtisuora yksikkövektori.

Säännöllisen käyrän ominaisuuksia tutkittaessa on edullista käyttää parametrina senkaaren pituuttas{\displaystyle s}, koska silloin|c→′|=1{\textstyle \left|{\vec {c}}'\right|=1} jan→′=−c→′/ρ{\textstyle {\vec {n}}'=-{\vec {c}}'/\rho }. Silloin evoluutanE→=c→+ρn→{\textstyle {\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}} tangenttivektoriksi saadaan

E→′=c→′+ρ′n→+ρn→′=ρ′n→ .{\displaystyle {\vec {E}}'={\vec {c}}'+\rho '{\vec {n}}+\rho {\vec {n}}'=\rho '{\vec {n}}\ .}

Tästä yhtälöstä seuraavat seuraavat evoluutan ominaisuudet:

  • Pisteissä, joissaρ′=0{\displaystyle \rho '=0}, evoluutta ei olesäännöllinen. Tämä merkitsee, että pisteitä, joissa käyrän kaarevuus saa lokaalin maksimi- tai minimiarvon, vastaa evoluutalla kärkipiste, kuten jäljempänä olevat kuvatparaabelin,ellipsin,sykloidin janefroidin evoluutoista osoittavat.
  • Jos jokin evoluutan kaari ei sisällä tällaista kärkipistettä, kaaren pituus on yhä suuri kuin kaarevuussäteiden erotus sen päätepisteistä. Tämän seikan avulla voidaan helposti todistaa oskuloivia ympyröitä koskevaTaitin-Kneserin lause.[9]
  • Käyrän normaalit pisteissä, jossa sillä on nollasta poikkeava kaarevuus, ovat sen evoluutan tangentteja. Sen sijaan käyrän normaalit pisteissä, joissa sen kaarevuus on nolla, ovat sen evoluutanasymptootteja. Näin ollen evoluutta on samalla käyrän normaalien verhokäyrä.
  • Paralleelisilla käyrillä eli käyrillä, joiden välinen etäisyys on vakio, on sama evoluutta.

Todistus: Käyrällä, jonka etäisyys annetusta käyrästä ond{\displaystyle d}, on parametriesitysc→d=c→+dn→{\displaystyle {\vec {c}}_{d}={\vec {c}}+d{\vec {n}}} ja kaarevuussädeρd=ρ−d{\displaystyle \rho _{d}=\rho -d} Niinä sen evoluutta onE→d=c→d+ρdn→=c→+dn→+(ρ−d)n→=c→+ρn→=E→.{\displaystyle {\vec {E}}_{d}={\vec {c}}_{d}+\rho _{d}{\vec {n}}={\vec {c}}+d{\vec {n}}+(\rho -d){\vec {n}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}={\vec {E}}\;.}

Esimerkkejä

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Paraabelin evoluutta

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Paraabelille, jolla on parametriesitys(t,t2){\displaystyle (t,t^{2})}, saadaan edellä esitettyjen kaavojen avulla evoluutan parametriesitykseksi:X=⋯=−4t3{\displaystyle X=\cdots =-4t^{3}}Y=⋯=12+3t2,{\displaystyle Y=\cdots ={\frac {1}{2}}+3t^{2}\,,}Niinpä sen evoluutta onpuolikuutioinen paraabeli (engl.semicubical parabola[10], jonka yhtälö ony=12+3(x4)23{\displaystyle y={\frac {1}{2}}+3({\frac {x}{4}})^{\frac {2}{3}}}

Ellipsin evoluutta

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]
Ellipsi ja sen evoluutta (punainen)

Ellipsillä on parametriesitysacos⁡t,bsin⁡t{\displaystyle a\cos t,b\sin t} Sen evoluutalle saadaan parametriesitys[11]X=⋯=a2−b2acos3⁡t{\displaystyle X=\cdots ={\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}\cos ^{3}t}Y=⋯=b2−a2bsin3⁡t.{\displaystyle Y=\cdots ={\frac {b^{2}-a^{2}}{b}}\sin ^{3}t\;.}Evoluutta on epäsymmetrinenastroidi.Eliminoimalla parametri 't saadaan käyrälle yhtälö(aX)23+(bY)23=(a2−b2)23 .{\displaystyle (aX)^{\tfrac {2}{3}}+(bY)^{\tfrac {2}{3}}=(a^{2}-b^{2})^{\tfrac {2}{3}}\ .}

Sykloidin evoluutta

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]
Sykloiodi (sininen), sen oskuloiva ympyrä (punainen) ja evoluutta (vihreä).

Sykloidilla on parametriesitys(r(t−sin⁡t),r(1−cos⁡t)){\displaystyle (r(t-\sin t),r(1-\cos t))}. Sen evoluutalle saadaan parametriesitys[12]

X=⋯=r(t+sin⁡t){\displaystyle X=\cdots =r(t+\sin t)}Y=⋯=r(cos⁡t−1){\displaystyle Y=\cdots =r(\cos t-1)}.Sykloidin evoluutta on siis toinen alkuperäisen kanssa yhtenevä sykloidi, joka saadaan alkuperäisestäyhdensuuntaissiirrolla.

Joidenkin käyrien evoluuttoja

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]
Suuren nefroidin (sininen) evoluutta on toinen, pienempi nefroidi.

Kuten edellä todettiin, paraabelin evoluutta on puolikuutioinen paraabeli, ellipsin evoluutta astroidi ja sykloidin evoluutta sykloidi. Ympyrän evoluutta käsittää vain sen keskipisteen. Suoralla ei varsinaisesti ole evoluuttaa, mutta sen evoluutan voidaan sanoa olevan äärettömän kaukainenideaalipiste.

Nefroidin evoluutta on toinen, alkuperäistä puolet pienempi nefroidi. Astroidin evoluutta on kaksi kertaa alkuperäisen kokoinen nefroidi.Kardioidin evoluutta on kardioidi, joka on kooltaan kolmasosa alkuperäisestä.Deltoidin evoluutta on kolme kertaa alkuperäisen kokoinen deltoidi.Logaritmisen spiraalin evoluutta on toinen logaritminen spiraali, joka eräissä tapauksissa yhtyy alkuperäisiin spiraaleihin.Traktrix-käyrän evoluutta onketjuviiva.[13]

Lähteet

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]
  1. ↑abJaakko Forsman, J. A. Wecksell, I. Havu, Hannes Salovaara: ”Evoluutta”, Pieni tietosanakirja, 1. osa (A - Isonzo), s. 851. Otava, 1925. Teoksen verkkoversio.
  2. ↑V. I. Arnold, A. N. Varchenko, S. M. Zade: The Classification of Critical Poionts, Cautsics and Wave Fronts: Singularities of Differentiable Maps, Vol 1. Birkhäuser, 1985. ISBN 0-8176-3187-9
  3. ↑Apollonius of Perga History of Mathematics, Biographies. Viitattu 2.12.2023.
  4. ↑abTautochrone Problem Wolfram MathWorld. Eric W. Weisstein. Viitattu 2.12.2023.
  5. ↑Cycloid Wolfram MathWorld. Eric W. Weisstein. Viitattu 2.12.2023.
  6. ↑Joella G. Yoder: Unrolling Time: Christiaan Huygens and the Mathematization of Nature. Cambridge University Press, 2004.
  7. ↑Evolute ((Lähde koko osiolle tähän saakka)) Wolfram MathWorld. Eric W. Weisstein. Viitattu 2.12.2023.
  8. ↑Frank Ayres Jr.; Elliott Mendelson: ”Curvature”, Schaum's outline of Theory and Problems of Differential and Integral Calculus (3rd Ed.), s. 149. McGraw-Hill, 1992. ISBN 0071125310
  9. ↑Étienne Ghys, Sergei Tabachnikov, Vladen Timorin: Osculating curves: around the Tait-Kneser theorem. The Mathematical Intelligencer, 2013, 35. vsk, nro 1, s. 61–66. doi:10.1007/s00283-012-9336-6 MR:3041992 arXiv:1207.5662
  10. ↑Samanlaisia sanoja: parabola ((lähde suomenkieliselle termille)) fi.opentran.net. Viitattu 2.12.2023.
  11. ↑R. Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Band 1, s. 268. Springer-Verlag, 1955.
  12. ↑Weisstein, Eric W: Cycloid Evolute MathWorld. Wolfram Research. Viitattu 2.12.2023. (englanniksi)
  13. ↑Evolute Wolfram MathWorld. Eric W. Weisstein. Viitattu 2.12.2023.
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/w/index.php?title=Evoluutta&oldid=22869723”
Luokka:
Piilotettu luokka:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp