Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Siirry sisältöön
Wikipedia
Haku

Eulerin identiteetti

Wikipediasta
Eulerin identiteettiä havainnollistava kuva. Lukuaeiπ{\displaystyle e^{i\pi }} vastaa kehän piste(−1,0){\displaystyle (-1,0)}, silläeiφ,0≤φ<2π{\displaystyle e^{i\varphi },0\leq \varphi <2\pi } on yksikköympyrän parametrisointi kompleksitasossa.
Eksponenttifunktioez{\displaystyle e^{z}} funktion(1+z/N)N{\displaystyle (1+z/N)^{N}}raja-arvona, kunN{\displaystyle N} lähestyy ääretöntä. AnimaatiossaN{\displaystyle N} saa arvoja välillä 1 − 100. KunN{\displaystyle N} suurenee,(1+iπ/N)N{\displaystyle (1+i\pi /N)^{N}} lähestyy arvoa −1.

Eulerin identiteetti onkompleksianalyysissäEulerin lauseella saatu yhtälö

eiπ+1=0,{\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,\!,}

jossa

e{\displaystyle e\,\!} onNeperin luku,
i{\displaystyle i\,\!} onimaginaariyksikkö ja
π{\displaystyle \pi \,\!} onpii.

Eulerin identiteettiä on kutsuttu matematiikankauneimmaksi kaavaksi,[1] koska se sitoo toisiinsa useat nykymatematiikan tärkeät luvut: Neperin luvun, piin, imaginaariyksikön ja perusluvut1:n ja0:n. Yhtälössä esiintyvät myös matematiikan kolme tärkeää laskutoimitusta:yhteenlasku,kertolasku japotenssiin korottaminen. Se yhdistäämatemaattisen analyysin,geometrian jakompleksiluvut. Kaavassa on myösyhtälöissä esiintyvä tapa kirjoittaa yhtäläisyysmerkin oikealle puolelle nolla.

Määrittäminen

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Eulerin lause on seuraavanlainen:

eix=cos⁡x+isin⁡x.{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.\,\!}

Lause on pätevä kaikillereaaliluvuille x. Kulma x onradiaaneina.

Jos nyt asetetaan

x=π{\displaystyle x=\pi \,\!},

niin

eiπ=cos⁡π+isin⁡π.{\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .\,\!}


Koska

cos⁡π=−1{\displaystyle \cos \pi =-1\,\!}

ja

sin⁡π=0,{\displaystyle \sin \pi =0,\,\!}

seuraa, että

eiπ=−1,{\displaystyle e^{i\pi }=-1,\,\!}

josta saadaan Eulerin identiteetti

eiπ+1=0.{\displaystyle e^{i\pi }+1=0.\,\!}

Q.E.D.

Lähteet

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]
  1. ↑Mathematics: Why the brain sees maths as beauty 13 February 2014. BBC. Viitattu 24.3.2014.

Aiheesta muualla

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]
  • Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II, s. 618–653. ("Luku 21, Eulerin aika") Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/w/index.php?title=Eulerin_identiteetti&oldid=20473371”
Luokka:
Piilotetut luokat:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp