Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Siirry sisältöön
Wikipedia
Haku

Bosen–Einsteinin statistiikka

Wikipediasta

Bosen–Einsteinin statistiikka (BE-statistiikka) onstatistisessa fysiikassa jakaumalaki, joka osoittaa samanlaatuistenbosonien energiatilojen jakaumantermodynaamisessa tasapainotilassa. Bosonit ovatalkeishiukkasia, jotka toisin kuinfermionit eivät noudataPaulin kieltosääntöä ja joita näin ollen voi olla rajoittamaton määrä samassa energiatilassa. Sellaisia ovat esimerkiksifotonit ja erilaisetmesonit.

Bosen–Einsteinin jakauman johti ensimmäisenäfotoneilleSatyendra Nath Bose vuonna 1920, ja sen yleistiatomeilleAlbert Einstein vuonna 1924.

Eri statistiikkojen vertailua

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Statistisessa fysiikassa käytetään kolmea erilaista jakaumaa:

Maxwellin–Bolzmannin statistiikkaa sovelletaanmolekyyleihinklassisessatermodynamiikassa.Kvanttiteoria on kuitenkin osoittanut, ettei se sovellu minkään alkeishiukkasen energiajakauman kuvaamiseen muutoin kuin tietyissä tapauksissa likimääräisesti.

Bosen–Einsteinin statistiikka soveltuu bosoneille kuten fotoneille ja mesoneille. Fermin–Diracin statistiikka soveltuu fermioneille kutenelektroneille japrotoneille, joitaPaulin kieltosäännön mukaan ei voi olla useampi kuin yksi samassa kvanttitilassa.

Kaikkia kolmea statistiikkaa voidaan vertauksellisesti kuvailla olettamalla, että tietty määrä (p) palloja on sijoitettava tiettyyn määrään (n) laatikkoja. Pallot vastaavat tällöin hiukkasia, laatikot energiatiloja.[1]

Fermin–Diracin statistiikassa oletetaan tällöin, että kuhunkin laatikkoon mahtuu vain yksi pallo, kun taas kummassakin muussa statistiikassa laatikoiden vetoisuus on rajoittamaton. Maxwellin–Bolzmannin statistiikkaa johdettaessa kuitenkin oletetaan, että ainakin periaatteessa pallot voidaan yksilöidä, kun taas Bosen–Einsteinin statistikassa tämä oletetaan periaatteessakin mahdottomaksi, minkä vuoksi jakaumia johdettaessasymmetriset alkeistapaukset muodostetaan eri tavalla. Jos laatikoiden välisiä kuviteltuja rajaseiniä merkitään pystyviivoilla (|), niin Maxwellin–Boltzmannin jakaumassa kutakin alkeistapausta esittää tapa, jolla tietty määrä eri kirjaimia voidaan sijoittaa näiden viivojen väliin. Tällaisia tapoja on kaikkiaannp{\displaystyle n^{p}}. Sitä vastoin Bosen–Einsteinin jakaumassa kutakin alkeistapausta esittää merkkijono, jossa onn-1 pystyviivaa jap ympyrää. Voidaan osoittaa, että tällaisten tapojen lukumäärä on(n+p−1)!(n−1)!p{\displaystyle {\frac {(n+p-1)!(n-1)!}{p}}}.[1]

Yksinkertainen esimerkki

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Oletetaan, että kolme palloa on sijoitettava kolmeen laatikkoon. Maxwellin–Boltzmannin statistiikassa näitä palloja voidaan kuvata kirjaimillaa,b jac, jolloin mahdolliset 33 = 27 erilaista tapaa ovat seuraavat:

|abc|   |   |         |bc |a  |   |         |bc |   |a  ||ab |c  |   |         |b  |ac |   |         |b  |c  |a  ||ab |   |c  |         |b  |a  |c  |         |b  |   |ac ||ac |b  |   |         |c  |ab |   |         |c  |b  |a  ||ac |   |b  |         |c  |a  |b  |         |c  |   |ab ||a  |bc |   |         |   |abc|   |         |   |bc |a  ||a  |b  |c  |         |   |ab |c  |         |   |b  |ac ||a  |c  |b  |         |   |ac |b  |         |   |c  |ab ||a  |   |bc |         |   |a  |bc |         |   |   |abc|

Sitä vastoin Bosen–Einsteinin statistiikassa on olemassa vain seuraavat 10 tapaa:

|ooo|   |   |         |o  |   |oo ||oo |o  |   |         |   |ooo|   ||oo |   |o  |         |   |oo |o  ||o  |oo |   |         |   |o  |oo ||o  |o  |o  |         |   |   |ooo|

Huomataan, että edellisessä tapauksessatodennäköisyys sille, että kaikki pallot ovat samassa laatikossa, on 3/27 = 1/9 = 0,111, jälkimmäisessä sen sijaan 3/10 = 0,3 siis merkittävästi suurempi. Toisaalta todennäköisyys, että kaikki pallot ovat eri laatikoissa, on edellisessä tapauksessa 6/27 = 2/9 = 0,222, jälkimmäisessä taas 1/10 = 0,1, siis edellistä pienempi.

Yleensäkin hiukkaset ovat Bosen–Einsteinin statistiikassa suuremmalla todennäköisyydellä samassa energiatilassa kuin ne olisivat Maxwellin–Bolzmannin jakauman mukaan. Täten näyttää siltä kuin samanlaatuiset bosonit vetäisivät toisiaan puoleensa, päinvastoin kuin fermionit. Todellista vetovoimaa niiden välillä ei kuitenkaan ole, vaan tämä ero perustuu kvanttimekaanistenaaltofunktioiden ominaisuuksiin. Ero näiden statistiikkojen välillä käy kuitenkin merkityksettömäksi silloin, kun mahdollisten energiatilojen lukumäärä on hyvin suuri verrattuna hiukkasten lukumäärään, jolloin energiankvantittumista ei tarvitse ottaa huomioon.

Hyvin matalissa lämpötiloissa on kuitenkin molekyyleillekin sovellettava joko Fermin–Diracin tai Bosen–Einsteinin statistiikkaa riippuen molekyylinspinistä. Tästä syystä joidenkin aineiden kaikki molekyylit sijoittuvat matalissa lämpötiloissa alimmille energiatiloille muodostaenBosen–Einsteinin kondensaatin.

Jakaumalaki

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Kun sekä hiukkasten että energiatilojen lukumäärä ovat suuria lukuja, hiukkasten todennäköinen lukumäärä energiatilassai on Bosen–Einsteinin statistiikassa:

ni=gie(εi−μ)/kT−1{\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/kT}-1}}}

missäεi>μ{\displaystyle \varepsilon _{i}>\mu } ja:

ni  on tilassai olevien hiukkasten lukumäärä
gi  on tilanidegeneraatio
εi  on tilanienergia
μ onkemiallinen potentiaali
k onBoltzmannin vakio
T on absoluuttinenlämpötila

Josεi−μ{\displaystyle \varepsilon _{i}-\mu } on paljon pienempi kuinkT{\displaystyle kT}, tämä voidaan pyöristää muotoon

ni=g−ie(εi−μ)/kt=(g−i)e(−εi−μ)/kt{\displaystyle n_{i}={\frac {g-i}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/kt}}}=(g-i)e^{(-\varepsilon _{i}-\mu )/kt}},

mikä on sama kuin Maxwellin–Boltzmannin jakaumalaki.

Historia

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Max Planck esitti jo vuonna 1900lain, joka osoittaamustan kappaleen lähettämänsähkömagneettisen säteilyn taajuusjakaumanlämpötilan funktiona. Tämän jakauman teoreettinen selitys osoittautui kuitenkin hankalaksi, ja jo samana vuonna Planck esitti, että kappale voi lähettää säteilyenergiaa vain tietyn kokoisina määrinä kerrallaan,kvantteina. MyöhemminAlbert Einstein kehitti teoriaa edelleen ja esitti, että säteilyn voidaan olettaa koostuvan hiukkasmaisistafotoneista. Vielä tämän jälkeenkään ei jakaumalain teoreettinen johto ollut tyydyttävä, mihin Dhakan yliopiston professoriSatyendra Nath Bose kiinnitti huomiota 1920-luvun alussa. Hän osoitti kuitenkin, että tämä jakaumalaki voidaan johtaa, kun oletetaan, ettei hiukkasia voida yksilöidä ja että niille ei ole olemassa lukumääränsäilymislakia. Tällöin Planckin laki saadaan suoraan sovellettaessa Bosen jakaumalakia fotoneille.

Bosella oli kuitenkin vaikeuksia saada tutkimuksensa julkaistuksi. Vasta kun hän lähetti asiaa koskeneen kirjeen Einsteinille, tämä ymmärsi sen merkittävyyden, ja tutkimus julkaistiin.[2][3]

Bosen–Einsteinin jakaumalain johto

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Oletetaan, että on olemassa joukko energiatasoja, jotka on merkitty indeksinumeroillai{\displaystyle \displaystyle i}. Kunkin energiatilan energia onεi{\displaystyle \displaystyle \varepsilon _{i}}, ja siinä onni{\displaystyle \displaystyle n_{i}} hiukkasta. Oletetaan edelleen, että kukin tila jakautuu vielägi{\displaystyle \displaystyle g_{i}}erilliseen alatasoon, joista jokaisella on yhtä suuri energia, mutta jotka jollakin muulla tavalla eroavat toisistaan. Näillä eri alatasoilla olevilla hiukkasilla voi esimerkiksi olla eri suuriliikemäärä mutta sama määrä energiaa. Tasooni{\displaystyle \displaystyle i} liittyvien tilojen lukumääräägi{\displaystyle \displaystyle g_{i}} sanotaan tämän energiatason "degeneraatioksi". Kullakin tällaisella alatasollakin voi olla kuinka monta hiukkasta tahansa.

Olkoonw(n,g){\displaystyle \displaystyle w(n,g)} niiden tapojen lukumäärä, joillan{\displaystyle \displaystyle n} hiukkasta voidaan sijoittaa näille yhteensäg{\displaystyle \displaystyle g} energiatason alatasolle. Kun hiukkasia ei voida yksilöidä, on vain yksi tapa sijoittaan{\displaystyle \displaystyle n} hiukkasta yhdelle alatasolle, minkä vuoksiw(n,1)=1{\displaystyle \displaystyle w(n,1)=1}. (Tässä kohdin jakauman johto eroaa Maxwellin-Bolzmannin jakaumasta). Voidaan helposti nähdä, että tällöin on(n+1){\displaystyle \displaystyle (n+1)} tapaa jakaan{\displaystyle \displaystyle n} kahden alatason kesken, minkä vuoksi voidaan kirjoittaa:

w(n,2)=(n+1)!n!1!.{\displaystyle w(n,2)={\frac {(n+1)!}{n!1!}}.}

Samaan tapaan jatkamalla voidaan osoittaa, että niiden tapojen lukumäärä, joillan{\displaystyle \displaystyle n} hiukkasta voidaan jakaa kolmen alatason kesken, on

w(n,3)=w(n,2)+w(n−1,2)+⋯+w(1,2)+w(0,2){\displaystyle w(n,3)=w(n,2)+w(n-1,2)+\cdots +w(1,2)+w(0,2)}

ja edelleen

w(n,3)=∑k=0nw(n−k,2)=∑k=0n(n−k+1)!(n−k)!1!=(n+2)!n!2!{\displaystyle w(n,3)=\sum _{k=0}^{n}w(n-k,2)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n-k+1)!}{(n-k)!1!}}={\frac {(n+2)!}{n!2!}}}

Tämä seuraabinomikertoimia koskevasta kaavasta:

∑k=0n(k+a)!k!a!=(n+a+1)!n!(a+1)!.{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {(k+a)!}{k!a!}}={\frac {(n+a+1)!}{n!(a+1)!}}.}

Kun jatketaan samoin, saadaan edelleenw(n,g){\displaystyle \displaystyle w(n,g)}

w(n,g)=(n+g−1)!n!(g−1)!.{\displaystyle w(n,g)={\frac {(n+g-1)!}{n!(g-1)!}}.}

Niinpä niiden tapojen lukumäärä, joilla hiukkaset voivat jakautua eri energiatasojen kesken, saadaan kertomalla eri energiatasoja vastaavat lukumäärät keskenään:

W=∏iw(ni,gi)=∏i(ni+gi−1)!ni!(gi−1)!≈∏i(ni+gi)!ni!(gi)!{\displaystyle W=\prod _{i}w(n_{i},g_{i})=\prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i}-1)!}{n_{i}!(g_{i}-1)!}}\approx \prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i})!}{n_{i}!(g_{i})!}}}

kun oletetaan, ettägi≫1{\displaystyle g_{i}\gg 1}.

Systeemi on termodynaamisessa tasapainotilassa, kunW:llä on suurin mahdollinen arvo. Tämä vastaa jakaumaa, jonka todennäköisyys on suurin. Jos oletetaan, että hiukkasten kokonaismäärä ja yhteenlaskettu energia tunnetaan, suureetW{\displaystyle \displaystyle W} jaln⁡(W){\displaystyle \displaystyle \ln(W)} saavat maksiminsa samallaNi{\displaystyle \displaystyle N_{i}}:n arvolla, joista se on matemaattisesti helpompi johtaa jälkimmäiselle. Voidaan rajoittua ratkaisuihin, jotka saadaanLagrangen kertoimien avulla:

f(ni)=ln⁡(W)+α(N−∑ni)+β(E−∑niεi){\displaystyle f(n_{i})=\ln(W)+\alpha (N-\sum n_{i})+\beta (E-\sum n_{i}\varepsilon _{i})}

Jos oletetaan, ettägi{\displaystyle g_{i}} on hyvin suuri luku, voidaankertomalle laskea likiarvoStirlingin kaavalla:

(ln⁡(x!)≈xln⁡(x)−x){\displaystyle \left(\ln(x!)\approx x\ln(x)-x\right)},

jolloin saadaan

f(ni)=∑i(ni+gi)ln⁡(ni+gi)−niln⁡(ni)−giln⁡(gi)+α(N−∑ni)+β(E−∑niεi).{\displaystyle f(n_{i})=\sum _{i}(n_{i}+g_{i})\ln(n_{i}+g_{i})-n_{i}\ln(n_{i})-g_{i}\ln(g_{i})+\alpha \left(N-\sum n_{i}\right)+\beta \left(E-\sum n_{i}\varepsilon _{i}\right).}

Tämän maksimi saadaan ottamalla siitäderivaattani{\displaystyle \displaystyle n_{i}}:n suhteen ja etsimällä derivaatallenollakohta. Tällöin saadaan Bosen–Einsteinin statistiikan mukainen lukumäärä:

ni=gieα+βεi−1.{\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}-1}}.}

Termodynamiikan avulla voidaan osoittaa, että tässä kaavassa esiintyvät parametritα{\displaystyle \alpha } jaβ{\displaystyle \beta } vastaavat systeemiin liittyviä fysikaalisia suureita seuraavasti:

α=−μkT{\displaystyle \displaystyle \alpha =-{\frac {\mu }{kT}}} ja
β=1kT{\displaystyle \displaystyle \beta ={\frac {1}{kT}}},

missäk{\displaystyle \displaystyle k} onBoltzmannin vakio,T{\displaystyle \displaystyle T} absoluuttinenlämpötila jaμ{\displaystyle \mu } systeeminkemiallinen potentiaali. Näin ollen kaava voidaan lopulta kirjoittaa muotoon

ni=gie(εi−μ)/kT−1.{\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/kT}-1}}.}

Katso myös

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Lähteet

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]
  • Annett, James F.: Superconductivity, Superfluids and Condensates. New York: Oxford University Press, 2004. ISBN 0198507550
  • Carter, Ashley H.: Classical and Statistical Thermodynamics. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2001. ISBN 0137792085
  • Griffiths, David J.: Introduction to Quantum Mechanics. 2nd painos. Upper Saddle River, NJ: Pearson, Prentice Hall, 2005. ISBN 0131911759

Viitteet

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]
  1. ↑abPekka Tuominen, Pekka Norlamo: Todennäköisyyslaskenta, osa 1, s. 70–76, Limes ry 1978,ISBN 951-745-023-0
  2. ↑Hey, Anthony J. G. & Walters, Patrick: The New Quantum Universe, s. 139–141. London: Cambridge University Press, 2003. ISBN 0521564573
  3. ↑Rigden, John S.: Einstein 1905: The Standard of Greatness, s. 143, 144. Massachusetts: Harvard University Press, 2005. ISBN 0674015444

Aiheesta muualla

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/w/index.php?title=Bosen–Einsteinin_statistiikka&oldid=23054232”
Luokat:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp