Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Siirry sisältöön
Wikipedia
Haku

Binomilause

Wikipediasta

Alkeisalgebrassabinomilause kuvaabinomin potenssin algebrallisen kehittämisen. Lauseen mukaan on mahdollista kehittää (x + y)n summaksi, jossa termit ovat muotoa axbyc, siten ettäeksponentit b ja c ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja ja b + c = n. Lisäksi jokaisen termin kerroin a on tietty positiivinen kokonaisluku, joka riippuu n:stä ja b:stä. Kun eksponentti on 0, onx taiy jätetty pois kehitelmästä. Esimerkiksi:

Pascalin kolmion viisi ensimmäistä riviä. Kolmiossa alapuolella oleva luku on kahden sen yläpuolella olevan luvun summa.
(x+y)1=x+y{\displaystyle (x+y)^{1}=x+y}
(x+y)2=x2+2xy+y2{\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3{\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}}
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4{\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}}
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5{\displaystyle (x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}}

Kerroin a termissä xbyc tunnetaanbinomikertoimena(nb){\displaystyle {\tbinom {n}{b}}} tai(nc){\displaystyle {\tbinom {n}{c}}} (näillä kahdella on sama arvo). Nämä kertoimet voidaan laskea kaavasta

(nb)=n!b!⋅(n−b)!{\displaystyle {n \choose b}={\frac {n!}{b!\cdot (n-b)!}}}

missäb! tarkoittaa luvunbkertomaa.

Binomikertoimet voidaan myös järjestääPascalin kolmioksi. Samat luvut esiintyvät myöskombinatoriikassa, jossa(nb){\displaystyle {\tbinom {n}{b}}} osoittaa, kuinka monta b-alkioistaosajoukkoan alkion joukolla on.

Historiaa

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Binomikaava ja kolmion muotoon järjestetyt binomikertoimet liitetään usein vainBlaise Pascaliin, joka kuvaili ne 1600-luvulla, mutta jo monet häntä edeltävät matemaatikot tiesivät ne. 300-luvulla eaa. kreikkalainen matemaatikkoEukleides Aleksandrialainen mainitsi erikoistapauksen binomilauseesta (a+b) eksponentille 2 kuten myös 200-luvun eaa. intialainen matemaatikkoPingala korkeammille kertaluvuille. Tuttu binomilause ja niin kutsuttuPascalin kolmio olivat tunnettuja 900-luvulla intialaiselle matemaatikolleHalayudhalle ja persialaiselle matemaatikolleAl-Karajille, ja 1200-luvun kiinalaiselle matemaatikolleYang Huille, jotka kaikki saivat samoja tuloksia.Al-Karaji antoi myösmatemaattisen todistuksen sekä binomilauseesta että Pascalin kolmiosta käyttäenmatemaattista induktiota.

Lauseen väite

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Lauseen mukaan on mahdollista kehittää mikä tahansa potenssi (x + y):n summaksi, joka on muotoa

(x+y)n=(n0)xny0+(n1)xn−1y1+(n2)xn−2y2+⋯+(nn−1)x1yn−1+(nn)x0yn,{\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},}

missä jokainen(nk){\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} on tietty positiivinen kokonaisluku, joka tunnetaanbinomikertoimena. Tämä kaava liittyy myösbinomikaavaan taibinomikuvaukseen. Käytettäessä summamerkintää se voidaan kirjoittaa

(x+y)n=∑k=0n(nk)xn−kyk=∑k=0n(nk)xkyn−k.{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.}

Viimeinen lauseke seuraa edellisestä ja on symmetrinenx :n jay :n ensimmäisen lausekkeen kanssa, ja verrattaessa kertoimiin huomataan, että binomikertoimien jono kaavassa on myös symmetrinen.

Esimerkkejä

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]
Pascalin kolmio

Tavallisin esimerkki binomilauseesta onx + y:nneliö:

(x+y)2=x2+2xy+y2.{\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.\!}

Binomikertoimet 1, 2, 1 tässä lausekkeessa vastaavat Pascalin kolmion kolmatta riviä. Korkeampien potenssien kertoimetx + y:lle vastaavat kolmion seuraavia rivejä :

(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3,(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4,(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5,(x+y)6=x6+6x5y+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6xy5+y6,(x+y)7=x7+7x6y+21x5y2+35x4y3+35x3y4+21x2y5+7xy6+y7.{\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7}.\end{aligned}}}

Huomaa, että

  1. x:n potenssi alenee, kunnes se on 0 (ei yhtään x:ä), alkaen arvosta n ( n potenssissa(x+y)n.){\displaystyle (x+y)^{n}.)}
  2. y:n potenssi kasvaa 0:sta (ei yhtään y:tä), kunnes se on n (myös n potenssissa(x+y)n.){\displaystyle (x+y)^{n}.)}
  3. Pascalin kolmion n:s rivi on sama kuin auki kerrotun binomin kertoimet. (Huomaa, että kärki on rivi 0.)

Todistuksia

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Kombinatorinen todistus

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Esimerkki

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

xy2n kerroin

(x+y)3=(x+y)(x+y)(x+y)=xxx+xxy+xyx+xyy_+yxx+yxy_+yyx_+yyy=x3+3x2y+3xy2_+y3.{\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=(x+y)(x+y)(x+y)\\&=xxx+xxy+xyx+{\underline {xyy}}+yxx+{\underline {yxy}}+{\underline {yyx}}+yyy\\&=x^{3}+3x^{2}y+{\underline {3xy^{2}}}+y^{3}.\end{aligned}}\,}

on(32)=3{\displaystyle {\tbinom {3}{2}}=3} koska on kolme kolmen kirjaimen pituistax,y jonoa, joissa on tarkalleen kaksiy'tä, nimittäin,

xyy,yxy,yyx,{\displaystyle xyy,\;yxy,\;yyx,}

vastaten kolmea kaksialkioista osajoukkoa joukosta { 1, 2, 3 }, nimittäin,

{2,3},{1,3},{1,2},{\displaystyle \{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\},}

missä jokaisessa osajoukossa eritelläänyn paikka vastaavassa jonossa.

Yleinen tapaus

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Kun kehitetään auki (x + y)n niin se tuottaa 2n tulojen summaa, jotka ovat muotoae1e2 ... en missä jokainenei onx taiy. Kun järjestellään termejä uudelleen, niin huomataan, että jokainen tulo on muotoaxn−kykk:n arvoilla 0:stan:ään. Kunk tunnetaan, saadaan seuraavista kaikista lauseista sama arvo:

  • alkioiden lukumääräxn − kyk:n alkioiden kehitelmässä
  • n-alkioisten jonojen lukumääräx:ää jay:tä, joissay on tarkalleenk kertaa
  • k-alkioisten osajoukkojen lukumäärä joukosta {1, 2, ..., n}
  • (nk){\displaystyle {n \choose k}}

Tämä todistaa binomilauseen.

Binomisarja

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Jos eksponenttin ei ole positiivinen kokonaisluku eikä nolla, ei lauseketta(1+x)n{\displaystyle (1+x)^{n}} voida kehittääpolynomiksi.Yleistetyn binomilauseen mukaan sille on kuitenkin olemassasarjakehitelmä:

(1+x)α=∑k=0∞α(α−1)(α−2)⋯(α−k+1)k!xk=1+αx+α(α−1)2!x2+⋯,{\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}x^{k}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\cdots ,\end{aligned}}},

missä yleensä pätee kuitenkin vain,|x|<1{\displaystyle |x|<1} (ja eräissä tapauksissa silloinkin, kun|x|=1{\displaystyle |x|=1}), jolloin sarja suppenee. Tässä kertoimilleα(α−1)(α−2)⋯(α−k+1)k!{\displaystyle {\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}} käytetään myös merkintää(αk){\displaystyle \alpha \choose k}. Tätä sarjaa sanotaanbinomisarjaksi.

Erikoistapauksessa, kunn on positiivinen kokonaisluku, sarjan kertoimetn+1:nnestä lähtien ovat kaikki nollia, jolloin tuloksena saadaan algebran binomilause.

Lähteet

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/w/index.php?title=Binomilause&oldid=22736564”
Luokat:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp