Movatterモバイル変換

Alkeismatriisi

Wikipediasta

Matematiikassaalkeismatriisi on yksinkertainen matriisi, joka saadaanyksikkömatriisista yhdelläalkeisrivitoimituksella - jokainen alkeisrivitoimitus pystytäänkin ilmoittamaan jonkin alkeismatriisin avulla. Alkeismatriisien ominaisuuksien ansiosta pystytään käsittelemään säännöllisiä matriiseja.

Määritelmä

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

m×m -matriisiE on alkeismatriisi, jos se saadaan yksikkömatriisistaI_m yhdellä alkeisrivitoimituksellaK, jossaK on I, II tai III. AlkeismatriisinE sanotaan tällöin olevan tyyppiäK.

I. Kahden rivin paikat vaihdetaan.
II. Rivi kerrotaan nollasta eriävällä luvulla.
III. Riviin lisätään toisen rivin monikerta.

Esimerkki

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

E_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}\quad

jossa yksikkömatriisin 2. ja 3. rivi on vaihdettu keskenään.

E_{2}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&3\end{bmatrix}}\quad

jossa yksikkömatriisin 3. rivi on kerrottu vakiolla 3.

E_{3}={\begin{bmatrix}1&0&4\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\quad

jossa yksikkömatriisin 3. riviä on kerrottu luvulla 4 ja lisätty se sitten 1. riviin.

Ominaisuuksia

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

1. Oletetaan, että alkeismatriisiE on tyyppiä K. Kun tällä alkeismatriisilla kerrotaan jokin matriisiA on tulos sama kuin, josA:lle tehtäisiin rivitoimitusK. (K = I, II tai III)

Esimerkki

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Suoritetaan matriisille

A={\begin{bmatrix}2&1&0&5\\4&3&3&2\\8&-2&1&0\\7&3&2&1\end{bmatrix}}\quad

rivitoimitus I alkeismatriisin E avulla. A:n 1. ja 2. rivi vaihdetaan siis seuraavasti:

EA={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&1&0&5\\4&3&3&2\\8&-2&1&0\\7&3&2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4&3&3&2\\2&1&0&5\\8&-2&1&0\\7&3&2&1\end{bmatrix}}\quad

Myös rivitoimitukset II ja III voitaisi esittää alkeismatriisien avulla.

2. Jos äärellisellä määrällä alkeismatriiseja kerrotaan jotakin matriisiaB ja saadaan tuloksi matriisiA, matriisitA jaB ovat riviekvivalentteja.

3. AlkeismatriisiE on säännöllinen ja senkäänteismatriisiE^-1 on samaa tyyppiäK kuinE.

Käyttö

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Alkeismatriisien ominaisuuksia hyödynnetään, kun todistetaan matriisiensäännöllisyysehtoa.

Säännöllisyysehto

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

MatriisiA on säännöllinen, jos ja vain josA ja sitä vastaava yksikkömatriisi ovat riviekvivalentteja.

Kirjallisuutta

[muokkaa |muokkaa wikitekstiä]

Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry.. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf)

Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/w/index.php?title=Alkeismatriisi&oldid=23080306”

Luokka:

Matriisit

[8]ページ先頭