Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

پرش به محتوا
ویکی‌پدیادانشنامهٔ آزاد
جستجو

پایه (جبر خطی)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
یک بردار مشابه را می‌توان در دو پایه متفاوت نمایش داد (پیکان‌های ارغوانی و قرمز).

درریاضیات،زیرمجموعه‌‌ای مانندB={v1,⋯,vn}{\displaystyle {\mathcal {B}}=\{v_{1},\cdots ,v_{n}\}} ازبردارهای یکفضای برداریV{\displaystyle V} راپایهٔV{\displaystyle V} می‌نامیم[۱] (بهانگلیسی:basis) اگر بتوان هر عنصری ازV{\displaystyle V} را به صورتترکیب خطی یکتا از عناصرB{\displaystyle {\mathcal {B}}} نوشت. به عناصرB{\displaystyle {\mathcal {B}}}بردارهای پایه گفته می‌شود. ضرایب این ترکیب خطیمختصات آن بردار نسبت به پایهٔB{\displaystyle {\mathcal {B}}} نامیده می‌شوند.

یک فضای برداری می‌تواند چندین پایه داشته باشد. با این حال همه پایه‌ها تعداد عناصرشان یکسان خواهد بود که به آنبعد فضای برداری گفته می‌شود.

تعریف

[ویرایش]

زیرمجموعهٔB={v1,⋯,vn}{\displaystyle {\mathcal {B}}=\{v_{1},\cdots ,v_{n}\}} از بردارهایفضای برداریV{\displaystyle V} را پایهٔV{\displaystyle V} می‌نامیم اگر دو خاصیت زیر را داشته باشد:[۲]

از این خواص نتیجه می‌شود که می‌توان هر عنصری ازV{\displaystyle V} را به صورت یکترکیب خطی یکتا از عناصرB{\displaystyle {\mathcal {B}}} نوشت. در نتیجه این دو تعریف با یکدیگر معادل اند.

نتایج و قضایا

[ویرایش]

قضیه مجموعه مولد

[ویرایش]

اگرS{\displaystyle S} یکمجموعهٔ مولد برای فضایV≠{0}{\displaystyle V\neq \{0\}} باشد (ولی لزوماً مستقل خطی نباشد)، زیرمجموعه‌ای ازS{\displaystyle S} وجود دارد که پایهٔV{\displaystyle V} باشد.[۲] چنین زیرمجموعه‌ای را می‌توان با چند عمل حذف به شرح زیر پیدا کرد:

اگرS{\displaystyle S} مستقل خطی نباشد یعنی عنصری مانندvk{\displaystyle v_{k}} در آن وجود دارد که می‌توان آن را به صورت ترکیب خطی عناصر دیگر نوشت. در این صورت با حذف این عنصر، مجموعهٔS∖{vk}{\displaystyle S\backslash \{v_{k}\}} هنوز مولدV{\displaystyle V} خواهد بود.

با توجه به این قضیه می‌توان نتیجه گرفت که یک پایه کوچک‌ترین مولدV{\displaystyle V} است. چون اگر یک بردار دیگر را حذف کنیم، بردار محذوف ترکیب خطی از بردارهای دیگر نخواهد بود و در نتیجه دیگر مولدV{\displaystyle V} نخواهد بود.

قضیه مجموعه مستقل خطی

[ویرایش]

اگرS{\displaystyle S} یکمجموعهٔ مستقل خطی در فضایV≠{0}{\displaystyle V\neq \{0\}} باشد (ولی لزوماً مولد نباشد)، مجموعهٔ بزرگترS⊆B{\displaystyle S\subseteq {\mathcal {B}}} وجود دارد که پایهٔV{\displaystyle V} باشد.[۳]

چنین مجموعه‌ای را می‌توان با چند عمل گسترش پیدا کرد. به خاطر عمل گسترش و حذف در قضیهٔ قبل به این دو قضیه «قضیهٔ استخراج پایه» و «قضیهٔ توسعه به پایه» نیز می‌گویند.

با توجه به این قضیه می‌توان نتیجه گرفت که یک پایه همچنین بزرگترین مجموعهٔ مستقل خطی ممکن است. چون اگر یک بردار دیگر به آن اضافه کنیم، طبق تعریف می‌توان این بردار را به صورت ترکیب خطی بردارهای قبلی نوشت.[۲] در نتیجهٔ این دو قضیه، این دو تعریف با تعریف اصلی معادل اند.

قضیه پایه

[ویرایش]

پایهٔ یک فضای برداری یکتا نیست ولی تمام پایه‌های آن به تعداد برابری عضو خواهند داشت. اگر پایه‌های یک فضای برداریV{\displaystyle V} به تعدادn{\displaystyle n} عضو داشته باشند آن فضا راn{\displaystyle n}-بعدی می‌نامیم. بعد یک فضای برداری را باdim⁡(V){\displaystyle \operatorname {dim} (V)} نمایش می‌دهیم. طبق تعریف قراردادیdim⁡({0})=0{\displaystyle \operatorname {dim} (\{0\})=0}.[۲]

اگرH{\displaystyle H} زیرفضایV{\displaystyle V} باشدdim⁡(H)⩽dim⁡(V){\displaystyle \operatorname {dim} (H)\leqslant \operatorname {dim} (V)}.

قضیهٔ پایه بیان می‌کند که اگرdim⁡(V)=n>0{\displaystyle \operatorname {dim} (V)=n>0}‌ باشد، هر زیرمجموعهٔ مستقل خطی وn{\displaystyle n} عضوی از اعضایV{\displaystyle V} پایهٔV{\displaystyle V} است. همچنین هر زیرمجموعهٔ مولدV{\displaystyle V} وn{\displaystyle n} عضوی از اعضایV{\displaystyle V} پایهٔV{\displaystyle V} است.[۲]

هیچ زیرمجموعه‌ای ازV{\displaystyle V} با تعداد اعضای بیشتر ازn{\displaystyle n} مستقل خطی نخواهد بود و هیچ زیرمجموعه‌ای ازV{\displaystyle V} با تعداد اعضای کمتر ازn{\displaystyle n} مولدV{\displaystyle V} نخواهد بود.

دستگاه مختصات

[ویرایش]
همچنین ببینید:دستگاه مختصات

طبقتعریف، یک فضای برداری با نام فرضیU{\displaystyle U} به صورتU=(V,+,⋅){\displaystyle U=(V,+,\cdot )} تعریف می‌شود که در آنV{\displaystyle V} مجموعهٔ تمام بردارهای فضایU{\displaystyle U} است. توجه کنید که در بیشتر موارد خود فضا (U{\displaystyle U}) نامگذاری نمی‌شود و به جایش برای اشاره به آن از عبارت «فضایV{\displaystyle V}» استفاده می‌کنیم.

دستگاه مختصاتی دکارتی محیطی برای نگاشتبردارهای اقلیدسی به یکn{\displaystyle n}-تایی مرتب فراهم می‌کند. هر چند هر فضای برداریn{\displaystyle n}-بعدی لزوماًاقلیدسی نیست، می‌توان رفتار تقریباً مشابهی با آن داشت.

اگرB={v1,⋯,vn}{\displaystyle {\mathcal {B}}=\{v_{1},\cdots ,v_{n}\}} پایهٔ فضایV{\displaystyle V} باشد، هر بردارu∈V{\displaystyle u\in V} را می‌توان به صورت یکترکیب خطی یکتا از عناصرB{\displaystyle {\mathcal {B}}} نوشت:u=c1v1+⋯+cnvn{\displaystyle u=c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n}v_{n}}

ضرایب این ترکیب خطی رامختصاتِ بردارu{\displaystyle u} (نسبت به پایهٔB{\displaystyle {\mathcal {B}}}) می‌نامیم:c1,⋯,cn{\displaystyle c_{1},\cdots ,c_{n}}

نمایش این ضرایب در یکn{\displaystyle n}-تایی مرتب رابردار مختصاتیِu{\displaystyle u} (نسبت به پایهٔB{\displaystyle {\mathcal {B}}}) می‌نامیم و آن را با[u]B{\displaystyle [u]_{\mathcal {B}}} نمایش می‌دهیم:[۲][u]B=(c1,⋯,cn){\displaystyle [u]_{\mathcal {B}}=(c_{1},\cdots ,c_{n})}

تابعنمایش استانداردِV{\displaystyle V} (نسبت به پایهٔB{\displaystyle {\mathcal {B}}}) به صورتϕB(u)=[u]B{\displaystyle \phi _{\mathcal {B}}(u)=[u]_{\mathcal {B}}} تعریف می‌شود.تبدیل خطیϕB:u↦[u]B{\displaystyle \phi _{\mathcal {B}}:u\mapsto [u]_{\mathcal {B}}}نگاشت مختصاتیV{\displaystyle V} بهFn{\displaystyle F^{n}} (نسبت به پایهٔB{\displaystyle {\mathcal {B}}}) است (ϕB:V→Fn{\displaystyle \phi _{\mathcal {B}}:V\rightarrow F^{n}}).[۲]

به «فضایFn{\displaystyle F^{n}}»فضای مختصاتیِV{\displaystyle V} می‌گوییم.میدانF{\displaystyle F} معمولاًاعداد حقیقی فرض می‌شود:F=R{\displaystyle F=\mathbb {R} }[۳]

ϕB(c1v1+⋯+cnvn)=(c1,⋯,cn)=[u]B{\displaystyle \phi _{\mathcal {B}}(c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n}v_{n})=(c_{1},\cdots ,c_{n})=[u]_{\mathcal {B}}}

φB(c1,⋯,cn)=ϕB−1(c1,⋯,cn)=c1v1+⋯+cnvn=u{\displaystyle \varphi _{\mathcal {B}}(c_{1},\cdots ,c_{n})=\phi _{\mathcal {B}}^{-1}(c_{1},\cdots ,c_{n})=c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n}v_{n}=u}

مثال

[ویرایش]

اگرV=P2{\displaystyle V={\mathcal {P}}_{2}} مجموعهٔ تمام چندجمله‌ای‌های با درجهٔ حداکثر ۲ باشد وB={x2,x,1}{\displaystyle {\mathcal {B}}=\{x^{2},x,1\}} باشد،2x2+3x+4{\displaystyle 2x^{2}+3x+4} یک بردار بامختصات2,3,4{\displaystyle 2,3,4} در فضایV{\displaystyle V} است وبردار مختصاتی آن[2x2+3x+4]B=(2,3,4){\displaystyle [2x^{2}+3x+4]_{\mathcal {B}}=(2,3,4)}، یکبردار اقلیدسی درفضای سه‌بعدی خواهد بود.تابع نمایش استانداردϕB(ax2+bx+c)=(a,b,c){\displaystyle \phi _{\mathcal {B}}(ax^{2}+bx+c)=(a,b,c)} را یکنگاشت مختصاتی می‌نامیم.

پایه استاندارد

[ویرایش]
هر برداری مانندa{\displaystyle a} در فضای سه‌بعدی را می‌توان به صورت ترکیب خطی یکتا از پایه‌های استانداردi^,j^,k^{\displaystyle {\hat {i}},{\hat {j}},{\hat {k}}} نوشت:a=ax+ay+az{\displaystyle a=a_{x}+a_{y}+a_{z}}

درفضای اقلیدسی دوبعدی دوبردار پایهٔ استانداردi^=(1,0){\displaystyle {\hat {i}}=(1,0)} وj^=(0,1){\displaystyle {\hat {j}}=(0,1)} پایهٔ استاندارد فضا را تشکیل می‌دهند.

در فضای اقلیدسی سه‌بعدی سه بردار پایهٔ استانداردi^=(1,0,0){\displaystyle {\hat {i}}=(1,0,0)} وj^=(0,1,0){\displaystyle {\hat {j}}=(0,1,0)} وj^=(0,0,1){\displaystyle {\hat {j}}=(0,0,1)} پایهٔ استاندارد فضا را تشکیل می‌دهند.

درفضای اقلیدسیn{\displaystyle n}بعدی پایهٔ استاندارد فضا متشکل ازn{\displaystyle n} بردار پایهe1=(1,0,⋯,0){\displaystyle e_{1}=(1,0,\cdots ,0)} و ... وen=(0,⋯,0,1){\displaystyle e_{n}=(0,\cdots ,0,1)} است.[۲]

پایه‌های استانداردیکه و بر یکدیگرعمود (یا یکامتعامد) هستند.

با داشتن یک پایهٔ دلخواه از یک فضای برداری، به کمکالگوریتم گرام اشمیت می‌توان یک پایهٔ یکامتعامد برای آن فضا پیدا کرد.

جستارهای وابسته

[ویرایش]

منابع

[ویرایش]
  1. ↑«پایه» [ریاضی] هم‌ارزِ «basis, base»؛ منبع:گروه واژه‌گزینی.دفتر ششم. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان.تهران: انتشاراتفرهنگستان زبان و ادب فارسی.شابک ۹۷۸-۹۶۴-۷۵۳۱-۸۵-۶ (ذیل سرواژهٔپایه3)
  2. ↑۲٫۰۲٫۱۲٫۲۲٫۳۲٫۴۲٫۵۲٫۶۲٫۷Linear Algebra and Its Applications. ج. sixth edition جلد. به کوشش David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald.
  3. ↑۳٫۰۳٫۱۳٫۲Linear algebra done right. ج. Third Edition جلد. به کوشش Sheldon Axler.
  4. ↑Halmos, Paul Richard (1987).Finite-Dimensional Vector Spaces (4th ed.). New York: Springer. p. 10.ISBN 978-0-387-90093-3.
  • Strang, Gilbert (۱۹ ژوئیه ۲۰۰۵), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole,ISBN978-0-03-010567-8
مفاهیم عمومی
Three dimensional Euclidean space
جبر برداری
جبر چندخطی
ماتریس
ساختارهایجبر مجرد
جبر خطی عددی
قلمرو
ریاضیات
نمادگذاری
تعاریف
تانسورها
عمل
تجریدهای
مرتبط
تانسورهای مهم
ریاضیات
فیزیک
ریاضیدانان
برگرفته از «https://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=پایه_(جبر_خطی)&oldid=40522422»
رده‌ها:
رده‌های پنهان:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp