Movatterモバイル変換

پرش به محتوا

عدد صحیح

ویرایش پیوندها

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

نمادزاهلِن، اغلب برای نمایش مجموعهٔ اعداد صحیح استفاده می‌شود. (فهرست نمادهای ریاضی را ببینید)

عدد صحیح یاعدد درست،عددی است که می‌تواند بدونجزء کسری نوشته شود. برای مثال، ۲۱، ۴، ۰، و ۴− عدد صحیح هستند، در حالی که ۹٫۷۵، و√۲ عدد صحیح نیستند؛مجموعه اعداد صحیح از صفر (۰)،اعداد طبیعی مثبت (۱،۲،۳، ...)، که همچنیناعداد شمارشی نیز گفته می‌شوند، ووارون جمعیشان (اعداد صحیح منفی، یعنی،۱−، ۲−، ۳−، ...) تشکیل شده‌است.

این مجموعه شامل اعدادمثبت وصفر و اعدادمنفی است. درریاضیات، معمولاً اینمجموعه را با Z یا $\mathbb {Z}$ (یونی کد U+2124 ℤ) (ابتدای کلمهٔ آلمانی Zahlen ([ˈtsa:lən] به معنی اعداد) نشان می‌دهند..^[۱]^[۲]^[۳]^[۴]همانند مجموعهٔ اعداد طبیعی، مجموعهٔ اعداد صحیح نیز یکمجموعهٔ نامتناهی‌ست.

شاخه‌ای ازریاضیات که به مطالعهٔ اعداد صحیح می‌پردازد،نظریهٔ اعداد نام دارد.در واقع می‌توان گفت اعداد طبیعی و حسابی زیر مجموعه اعداد صحیح هستند؛ و اعداد صحیح هم زیر مجموعه اعداد گویا هستند.

خواص جبری

همانند اعداد طبیعی، $\mathbb {Z}$ نیز نسبت به دو عملجمع وضرب بسته‌است. این بدان معناست کهحاصل جمع وحاصل ضرب دو عدد صحیح، خود، یک عدد صحیح است. برخلاف مجموعهٔ اعداد طبیعی، از آنجا که اعداد صحیح منفی، و به ویژه، عدد صفر هم به $\mathbb {Z}$ تعلق دارند، این مجموعه، نسبت به عملتفریق نیز بسته‌است. اما $\mathbb {Z}$ تحت عمل تقسیم بسته نیست، زیراخارج قسمت تقسیم دو عدد صحیح، لزوماً عددی صحیح نخواهد بود و به کسرهایی که از تقسیم دو عدد صحیح حاصل آمده باشد،اعداد گویا گفته می‌شود.

برخی از خواصّ اساسی مربوط به عملیّات جمع و ضرب در جدول زیر گنجانیده شده‌است (در اینجا b ,a، و c اعداد صحیح دل‌خواه هستند):

	جمع	ضرب
بسته بودن:	a +b یک عدد صحیح است	a ×b یک عدد صحیح است
شرکت‌پذیری:	a + (b +c) = (a +b) +c	a × (b ×c) = (a ×b) ×c
تعویض‌پذیری:	a +b =b +a	a ×b =b ×a
وجود یکعنصر واحد:	a + 0 =a	a × ۱ =a
وجود یکعنصر عکس:	a + (−a) = ۰
توزیع‌پذیری:	a × (b +c) = (a ×b) + (a ×c)
نبودمقسوم علیه‌های صفر:		اگرab = ۰، آنگاهa = ۰ یاb = ۰

مطابق جدول بالا، خواصّبسته بودن،شرکت‌پذیری وجابه‌جایی (یا تعویض‌پذیری) نسبت به هر دو عمل ضرب و جمع، وجودعضو همانی (واحد، یا یکّه) نسبت به جمع و ضرب، وجود عضو معکوس فقط نسبت به عمل جمع، و خاصیّتتوزیع‌پذیری ضرب نسبت به جمع از اهمیت برخوردارند.

در مبحثجبر مجرد، پنج خاصیّت اوّل در مورد جمع، نشان می‌دهد که مجموعهٔ $\mathbb {Z}$ به همراه عمل جمع یکگروه آبلی است. امّا، از آن جا که $\mathbb {Z}$ نسبت به ضربعضو وارون (یا معکوس) ندارد، مجموعهٔ اعداد صحیح، به همراه عمل ضرب،گروه نمی‌سازد.

مجموعهٔ ویژگی‌های ذکر شده حاکی از این است که $\mathbb {Z}$ ، به همراه عملیّات ضرب و جمع، یکحلقه است. امّا به دلیل نداشتن وارون ضربی،میدان نیست. مجموعهٔاعداد گویا را باید کوچک‌ترین میدانی دانست که اعداد صحیح را در بر می‌گیرد.

اگرچه تقسیم معمولی در اعداد صحیح تعریف شده نیست، خاصیّت مهمّی در مورد تقسیم وجود دارد که بهالگوریتم تقسیم مشهور است؛ یعنی به ازاء هر دو عدد صحیح و دل‌خواه a و b) b مخالف صفر)، q و r منحصر به فردی متعلق به مجموعهٔ اعداد صحیح وجود دارد، به طوری که: a = q × b + r که در این‌جا، q خارج قسمت و r باقی‌مانده تقسیم a بر b است. این کار اساسالگوریتم اقلیدس برای محاسبهٔبزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک را تشکیل می‌دهد.

همچنین درجبر مجرد، بر اساس خواصی که در بالا ذکر شد، $\mathbb {Z}$ یکدامنه اقلیدسی است و در نتیجه $\mathbb {Z}$ دامنه ایده‌آل اصلی می‌باشد و هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک را می‌توان به‌طور یکتا به حاصل‌ضرباعداد اوّل تجزیه کرد (قضیه اساسی علم حساب).

کاردینال $\mathbb {Z}$

کاردینال (تعداد از اعضای مجموعه) مجموعهٔ $\mathbb {Z}$ ، برابرالف-صفر است. این یعنی که تعداد اعضای این مجموعه با تعداد اعضای مجموعه‌های $\mathbb {N}$ ، $\mathbb {W}$ و $\mathbb {Q}$ برابر است.

جستارهای وابسته

طبقه‌بندی اعداد

:\;\mathbb {C}

:\;\mathbb {R}

:\;\mathbb {Q}

:\;\mathbb {Z}

:\;\mathbb {N}

اعداد اول

اعداد مرکب

اعداد صحیح منفی

مختوم

ساده

مرکب

اعداد گنگ جبری

ترافرازنده

منابع

درویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔعدد صحیح موجود است.

↑"Compendium of Mathematical Symbols".Math Vault(به انگلیسی). 2020-03-01. Retrieved2020-08-11.
↑Weisstein, Eric W."Integer".mathworld.wolfram.com(به انگلیسی). Retrieved2020-08-11.
↑Miller, Jeff (2010-08-29)."Earliest Uses of Symbols of Number Theory". Archived fromthe original on 2010-01-31. Retrieved2010-09-20.
↑Peter Jephson Cameron (1998).Introduction to Algebra. Oxford University Press. p. 4.ISBN 978-0-19-850195-4.Archived from the original on 2016-12-08. Retrieved2016-02-15.

اریک تمپل بل،ریاضی‌دانان نامی. New York: Simon & Schuster, 1986. (Hardcover;شابک ‎۰−۶۷۱−۴۶۴۰۰−۰)/(Paperback;شابک ‎۰-۶۷۱-۶۲۸۱۸-۶)
Herstein, I.N. ,Topics in Algebra, Wiley; 2 edition (۲۰ ژوئن ۱۹۷۵),شابک ‎۰-۴۷۱-۰۱۰۹۰-۱.
ساندرز مک لین، andGarrett Birkhoff;Algebra, American Mathematical Society; 3rd edition (1999).شابک ‎۰-۸۲۱۸-۱۶۴۶-۲.
Mathworld

ن ب و دستگاهاعداد
مجموعه‌های شمارا	اعداد طبیعی( $\mathbb {N}$ ) اعداد صحیح( $\mathbb {Z}$ ) اعداد گویا( $\mathbb {Q}$ ) اعداد ترسیم پذیر اعداد جبری( $\mathbb {A}$ ) دوره (نظریه اعداد) Computable number Definable real number Arithmetical numbers Gaussian integer
جبرهای ترکیبی	جبر تقسیم:اعداد حقیقی( $\mathbb {R}$ ) اعداد مختلط( $\mathbb {C}$ ) چهارگان‌ها( $\mathbb {H}$ ) هشتگان‌ها( $\mathbb {O}$ )
انواع دوقسمتی	over $\mathbb {R}$ : Split-complex number Split-quaternion Split-octonion روی $\mathbb {C}$ : Bicomplex number Biquaternion Bioctonion
اعدادابرمختلط دیگر	Dual number Dual quaternion Dual-complex number Hyperbolic quaternion شانزدهگان‌ها ( $\mathbb {S}$ ) Split-biquaternion Multicomplex number Geometric algebra Algebra of physical space Spacetime algebra
انواع دیگر	اعداد اصلی اعداد گنگ اعداد فازی اعداد ابرحقیقی Levi-Civita field Surreal numbers اعداد ترافرازنده اعداد ترتیبی عدد پی-ادیک (p-adic solenoids) Supernatural numbers Superreal numbers
عدد List

برگرفته از «https://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=عدد_صحیح&oldid=42920448»

رده‌های پنهان:

[8]ページ先頭

©2009-2025 Movatter.jp