گمان می‌رود که این مقالهناقض حق تکثیر باشد، اما بدون داشتنمنبع امکان تشخیص قطعی این موضوع وجود ندارد. اگر می‌توان نشان داد که این مقاله حق نشر را زیر پا گذاشته است، لطفاً مقاله را درویکی‌پدیا:مشکلات حق تکثیر فهرست کنید. اگر مطمئنید که مقاله ناقض حق تکثیرنیست، شواهدی را در این زمینه در همین صفحهٔ بحث فراهم آورید. خواهشمندیم این برچسب را بدون گفتگو برندارید.
بینهایت یابی‌پایان مفهومی انتزاعی است که در رشته‌های گوناگونریاضیات (با تعابیر گوناگون) به‌کار می‌رود و معمولاً به‌معنای «فراتر از هر مقدار» است و برای توصیف مقادیر بیش از هر عدد یا غیرقابل اندازه‌گیری به کار می‌رود. معمولاً نشانهٔ بینهایت درریاضیات ∞ است.[۱]
بینهایت از واژه لاتینfinites به معنی نامحدود گرفته شده (علامت) چیزی است که «محدود» نیست، که در آن هیچ محدودیت فضایی و زمانی وجود ندارد.
درآنالیز حقیقی بینهایت به معنای حدیبیکران است. یعنی متغیر فراتر از هر مقدار در نظرگرفته شده رشد می‌کند.
درآنالیز مختلط نیز همین علامت با همین نام به‌کار می‌رود. در این رشتهیعنی قدر مطلق متغیر مختلط (که آن را با نشان می‌دهند) بیش از هر مقدار در نظر گرفته شده رشد می‌کند.
بینهایت دارای دو مفهومفیزیکی وریاضی است که کاملاً با یکدیگر متفاوتند. مفهومفیزیکی بینهایت، دارای تعریف دقیقی نیست و در جای‌های مختلف دارای تعاریف متفاوت است. به عنوان مثال، می‌گوییم که اگر جسم درکانونعدسی محدب قرار گیرد،تصویر در بینهایت تشکیل می‌شود. حال دوعدسی بافواصل کانونی متفاوت در نظر بگیرید و اجسامی را رویکانون این دوعدسی قرار دهید. طبق قاعده، تصاویر هر دو در بینهایت تشکیل می‌شود. اما قطعاًتصویر این دو دقیقاً در یک نقطه تشکیل نمی‌شود؛ یعنی بینهایت برای این دوعدسی متفاوت است.
به عنوان مثالی دیگر، دومنبع گرمایی، مثلاً دو اتو با درجه حرارت‌های متفاوت را در نظر بگیرید. فاصله‌ای که در آن، دیگر اصلاً گرمای اتو را احساس نکنیم، برای این دو اتو متفاوت است، به عبارت دیگر، بینهایت برای این دو اتو تفاوت دارد.
اما مفهوم بینهایت، درریاضیات کاملاً متفاوت با بینهایتفیزیکی است. علامت بینهایت درریاضیات است. درریاضیات می‌گوییم: «بینهایت مقداری است که از هر مقدار دیگر بیشتر است.» به عنوان مثال، بینهایت را دراعداد طبیعی در نظر می‌گیریم و می‌گوییم: بینهایت از ۱، ۱۰، ۱۰۰، ۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰ و هر عدد دیگر که در نظر بگیرید، بزرگتر است.
این مفهوم، دقیقاً همان مفهومی است که در «حد در بینهایت» در نظر گرفته می‌شود. به عنوان مثال، درتابع، وقتی می‌گوییم، یعنی این که x از هر عدد انتخاب شده بزرگتر است.
یکی از مهم‌ترین مباحثی که بینهایت در آن دارای کاربرد است،نظریه مجموعه‌ها است. به عنوان مثال می‌دانیم که تعداد اعضایمجموعهاعداد حقیقی و مجموعهاعداد صحیح وطبیعی و … بینهایت است. (تعداد اعضای هر مجموعه را عدد اصلی می‌نامند) در ریاضیات پیشرفته ثابت می‌شود که عدد اصلی مجموعهاعداد حقیقی وصحیح با یکدیگر برابر نیست.
است، اما پس از ظهور مفهوممجموعه مثال‌های نقضی برای آن طبیعی باتعداداعداد زوج طبیعی برابر است (کافی است هرعدد طبیعی را با دو برابرش متناظر کنیم)، در حالی که اعداد زوج طبیعی،جزئی از همه اعداد طبیعیهستند.
البته این نکته را نباید فراموش کرد که: مجموعه اعداد طبیعی یک کل می‌باشد که با کل اعداد زوج طبیعی مطابق است اما مفهوم اعداد طبیعی یک کلی است که همواره بیشتر از مفهوم کلی اعداد زوج طبیعی است ومنظور از بیشتر به لفظ دقیق تر پیشتر می‌باشد که در تصور مفهوم دوم یعنی اعداد زوج به مفهوم اول نیاز است و عکس این قضیه صحیح نیست.در جمع‌بندی باید گفت: مجموعه اعداد طبیعی با مجموعه هر عددی حتی یک برابر است زیرا با فرمولی که با هر متغیر ورودی تغییر می‌کند همواره به عدد ثابتی خواهیم رسید که مثلاً می‌توان گفت: مجموعه اعداد طبیعی به ازای هر عدد خود یک عدد یک دارد.والبته بودن یا نبودن مصداق برای مفاهیم عام با فلسفه محض است و نه با ریاضیات چنان‌که بودن یا نبودن عدد و مقدار با فلسفه است و نه با ریاضی.
اشتباه بودن اصل موضوعاقلیدس در زمینه ریاضیات مورد بحث بود، تا این کهریچارد ددکیند تعریفی از مفهوم بینهایت ارائه داد. ددکیند هر چیزی را که اصل موضوع اقلیدس برای آن صادق نباشد،بینهایت نامید. پس طبق تعریف ددکیند، بینهایت هر چیزی است که با جزئی از خودهم‌اندازه باشد.
این، شاید اولین تعریف ازبینهایت در زمینهنظریه مجموعه باشد. ددکیند مجموعه‌ای را که بینهایت عضو داشته باشد،نامتناهی نامید. پس طبق این تعریف، یک مجموعه رانامتناهی گوییم هرگاه با یکزیرمجموعه سره از خودش هم‌اندازه باشد.مجموعه متناهی، مجموعه‌ایست که نامتناهی نباشد.
در اواخر قرن نوزده،گئورگ کانتور به‌طور رسمی نظریه مجموعه را ارائه داد. براساس نظریه کانتور، مجموعهA راk عضوی گوییم () هرگاه یکتناظر یک به یک بینA و مجموعه وجود داشته باشد.مجموعه متناهی مجموعه‌ایست که یاتهی باشد یا (به ازای یک،)k عضوی باشد؛ و بالاخرهمجموعه نامتناهی مجموعه‌ایست که متناهی نباشد.
به عبارت دیگر، طبق تعریف کانتور،بینهایت هر چیزی است که نتوان آن را شمرد.
نکتهٔ قابل توجه این است که تعریف‌های ددکیند و کانتور از مفهومبی‌نهایت با هم معادل‌اند؛ به عبارت دیگر، می‌توان نشان داد که یک مجموعه نامتناهی استاگر و تنها اگر با یک زیرمجموعهٔ سره از خودشهم‌اندازه باشد.
کانتور به جای دید سنتی در مورد بی‌نهایت‌ها سعی کرد تا از طریق تناظر یک به یک آن‌ها را با هم مقایسه نماید. برای سادگی درک آنچه کانتور انجام داد به مثال زیر توجه فرمایید:
فرض کنیم یک جعبه سیب و یک جعبه پرتقال داریم. در کدام جعبه میوهٔ بیشتری وجود دارد؟
یک روش شمردن میوه‌های یک جعبه و سپس شمردن میوه‌های جعبه دیگر است و سپس مقایسه دو عدد. اما در مورد بی‌نهایت‌ها هرگز کار ما با جعبهٔ اول تمام نمی‌شود تا به سراغ جعبهٔ دوم برویم.
روش کانتور تناظر یک به یک بود یعنی به ازای برداشتن یک سیب از جعبه اول هم‌زمان یک پرتقال از جعبه دوم برمی‌داشت. در این صورت هرگاه محتویات یک جعبه تمام می‌شد در حالیکه محتویات جعبه دوم هنوز تمام نشده بود این نتیجه‌گیری می‌شد که جعبه دوم تعداد بیشتری میوه داشته‌است.
این روش در مقایسهٔ بی‌نهایت‌ها ممکن بود و کانتور با استفاده از آن ثابت نمود مجموعهاعداد طبیعی با مجموعهاعداد صحیح واعداد گویا به یک میزان بینهایت هستند ولی به عنوان مثال از طریقاستدلال قطری کانتور نشان داد فقط فاصلهٔ صفر تا یک دراعداد حقیقی با تمامی اعداد طبیعی نیز پوشش داده نخواهد شد پس بینهایت اعداد حقیقی از بینهایت اعداد طبیعی بزرگتر است.
