Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

پرش به محتوا
ویکی‌پدیادانشنامهٔ آزاد
جستجو

عدد اول مرسن

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
(تغییرمسیر ازاعداد مرسن)

اعداد اول مرسن (بهانگلیسی:Mersenne Primes)،اعداد اولی به فرمMn=2n−1{\displaystyle M_{n}=2^{n}-1} هستند که به افتخار نام کشیش فرانسویمارین مرسن (بهانگلیسی:Marin Mersenne)، به این نام خوانده می‌شوند. چرا که مرسن در زمینهٔ اول بودن این نوع اعداد اظهار نظری نادرست اما محرک کرده بود.اولین اعداد مرسن اعداد زیر هستند: ۳، ۷، ۳۱، ۱۲۷، ۸۱۹۱، ۱۳۱۰۷۱، ۲۱۴۷۴۸۳۶۴۷ و … که متناظر هستند با … ،۸۹ ،۶۱ ،۳۱ ،۱۹ ،۱۷ ،۱۳ ،۷ ،۵ ،۳ ،۲ =n[۱]

اثبات چند قضیه کاربردی در این رابطه

[ویرایش]

قضیه اول: اگرMn{\displaystyle M_{n}} اول باشد،n{\displaystyle n} نیز باید خود اول باشد.

اثبات: فرض کنیم که حکم نادرست است (برهان خلف). یعنی به ازایn{\displaystyle n} مرکبی،2n−1{\displaystyle 2^{n}-1} اول است؛ در این صورت می‌توانn{\displaystyle n} را به صورت ضرب دو عدد غیر یکn=rs{\displaystyle n=rs} نوشت. پس:

2n−1=2rs−1=(2r)s−1=(2r−1)(⋯){\displaystyle 2^{n}-1=2^{rs}-1=(2^{r})^{s}-1=(2^{r}-1)(\cdots )}پس اگرs{\displaystyle s} زوج باشد، طبق اتحاد مزدوج و اگر فرد باشد طبقاتحادچاق و لاغر (لاگرانژ) به عوامل اول تجزیه می‌شود و اول نیست؛ پس به تناقض می‌رسیم و فرض خلف باطل است. پسn{\displaystyle n} باید اول باشد.

اعداد مرسن و اعداد کامل (تام)

[ویرایش]

بدیهی است که اعداد مرسن در مبنای دو به صورت((100⋯0)−1)2{\displaystyle ((100\cdots 0)-1)_{2}} می‌باشد که برابر(11⋯1)2{\displaystyle (11\cdots 1)_{2}} است (p{\displaystyle p}تا یک).

تعریف: عدد کامل (تام) عددی است که با مجموع مقسوم علیه‌های خود، به جز خودش، برابر باشد. از معروفترین آن‌ها ۶=۳+۲+۱ و ۲۸=۱۴+۷+۴+۲+۱ هستند.

قضیه دوم: هر عدد کامل به صورت(2p−1)(2p−1){\displaystyle (2^{p}-1)(2^{p-1})} است که2p−1{\displaystyle 2^{p}-1} اول است.

این‌ها اعداد به شکل2p−1{\displaystyle 2^{p}-1} مرسن هستند و متعاقباً توان‌های آن‌ها (p{\displaystyle p})اول است.پس با یافتن هر عدد کامل، می‌توان یک عدد مرسن جدید پیدا کرد.

آزمایش لوکاس- لمر

[ویرایش]

تقسیم آزمایشی اکثراً برای تصدیق مرکب بودن یک عدد مرسن اول پنهان استفاده می‌شود.این آزمایش فوراً نشان می‌دهد کهMp{\displaystyle M_{p}} به ازایp=11,23,83,131,179,191,239,251{\displaystyle p=11,23,83,131,179,191,239,251} مرکب است (به ترتیب با عوامل اول ۲۳، ۴۷، ۱۶۷، ۲۶۳، ۳۵۹، ۳۸۳، ۴۷۹ و ۵۰۳).

یک آزمایش بسیار قدرتمند اولیه برای شناساییMp{\displaystyle M_{p}} آزمایش لوکاس- لمر است.

ابتدا سه قضیه زیر را مطرح می‌کنیم:

  1. اگرn≡3{\displaystyle n\equiv 3} به پیمانه ۴ وn{\displaystyle n} عدد اول باشد، در این صورت2n+1|Mn{\displaystyle 2n+1|Mn}، اگر2n+1{\displaystyle 2n+1} اول باشد.
  2. همچنین این درست است که عوامل اول2p−1{\displaystyle 2^{p}-1} باید شکل2kp+1{\displaystyle 2kp+1} داشته باشند کهk{\displaystyle k} یک عدد مثبتطبیعی است و در عین حال شکل8n+1{\displaystyle 8n+1} یا8n−1{\displaystyle 8n-1} را داشته باشد (آسپنسکی و هیسلت ۱۹۳۹).
  3. یک عامل اولp{\displaystyle p} از یک عدد مرسنMp=2p−1{\displaystyle M_{p}=2^{p}-1} (چه اول و چه مرکب) در صورتی عدد ویفریچ اول است کهp2|2p−1{\displaystyle p^{2}|2^{p}-1} . بنابراین یک عدد مرسن نمی‌تواندعدد ویفریچ اول باشد.

آیا عدد کامل فرد وجود دارد؟

[ویرایش]

می‌دانیم تمام اعداد کامل به صورتحاصل ضرب یک عدد اول مرسن توانی از دو می‌باشند؛ اما در مورداعداد فرد کامل چه نظریه‌ای وجود دارد؟اگر این چنین عددی وجود داشته باشد در این صورت، به صورت حاصل ضرب یکمربع کامل در یک عدد اول به توان فرد می‌باشد، این عدد حداقل هشت عامل اول دارد و حداقل بر ۳۷ عدد اولبخش پذیر است (لزومی ندارد که متمایز باشند)؛ این عدد حداقل در مبنای اعشاری ۳۰۰ رقم دارد؛ و یکمقسوم علیه اول بزرگ‌تر از ۱۰۲۰ دارد.

آیا تعداد اعداد مرسن بی‌نهایت است؟

[ویرایش]

این سؤال معادل با پاسخ دادن به این سؤال است که آیا تعداد نامحدودی عدد کامل زوج است. جواب این است که احتمالاً بله است (زیراسری هارمونیکواگراست).

آیا تعداد اعداد مرسن مرکب بی‌نهایت است؟

[ویرایش]

نظریه اولر: اگرk>1{\displaystyle k>1} باشد وp=4k+3{\displaystyle p=4k+3} اول باشد، در این صورتp2|2p−1{\displaystyle p^{2}|2^{p}-1} نیز اول است،اگر و تنها اگر باقی‌مانده تقسیم2p{\displaystyle 2p} برp2|2p−1{\displaystyle p^{2}|2^{p}-1}برابر1{\displaystyle 1} باشد.

همچنین اگرp=4k+3{\displaystyle p=4k+3} باشد وp2|2p−1{\displaystyle p^{2}|2^{p}-1}اول باشد، در این صورت عدد مرسنp2|2p−1{\displaystyle p^{2}|2^{p}-1} مرکب است (این حدس احتمالاً منطقی است از آن جایی که تعداد اعداد اولی که به ازایp{\displaystyle p} به صورت2p+1{\displaystyle 2p+1} باشد،بی‌نهایت است).[۲]

حدس جدید در بارهٔ اعداد مرسن

[ویرایش]

بیتمن، سلفریج و واگستافحدس زیر را زده‌اند:فرض کنیمp{\displaystyle p} هرعدد طبیعی فرد باشد؛ در این صورت اگر دو شرط اول -که در زیر آمده‌است- برقرار باشد، گزاره سوم برقرار خواهد بود:

  1. p=2k+/−1{\displaystyle p=2^{k}+/-1}،p=4k+/−3{\displaystyle p=4^{k}+/-3}
  2. p=2k−1{\displaystyle p=2^{k}-1} عدد اول باشد (بدیهی است که عدد مرسن اول است).
  3. 2p+13{\displaystyle {\frac {2^{p}+1}{3}}} عددی اول است.

توجه داشته باشید که این حدس چگونه به حدس قبلی وابسته‌است.

این سؤال بیشتر از این که یک حدس باشد، از دسته سؤال‌های جواب داده نشده‌است.به راحتی می‌توان نشان داد که اگر مربع عدد اولp{\displaystyle p} بر یک عدد مرسن تقسیم شود، در این صورتp{\displaystyle p} یک عدد اول ویفریچ است و این اعداد کمیاب هستند! فقط دو عدد شناخته شده‌اند که زیر ۴٬۰۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰ هستند و هیچ‌کدام از این مربع‌ها بر یک عدد مرسن بخش پذیر نیستند.

اعداد مرسن بهمراه سال

اگر دنباله‌ای به این صورت باشد کهAp=2Ap−1{\displaystyle A_{p}=2^{A_{p}}-1} وA0=2{\displaystyle A_{0}=2} آیا همه این دنباله اول هستند؟دیکسون کاتالان، در پاسخ این سؤال در سال ۱۸۷۶، به لوکاس اظهار داشت که ۱–۱۲۷^۲(A4{\displaystyle A_{4}})، به این ترتیب اول است.همان‌طور که مشخص است این اعداد در این دنباله بسیار سریع بزرگ می‌شوند:

C0 = ۲ (اول)

C1 = ۳ (اول)

C2 = ۷ (اول)

C3 = ۱۲۷ (اول)

C4 = ۱۷۰۱۴۱۱۸۳۴۶۰۴۶۹۲۳۱۷۳۱۶۸۷۳۰۳۷۱۵۸۸۴۱۰۵۷۳۷ (اول)

51217599719369681879879723386331576246^10 <C5 (سؤال:آیا این عدد اول است؟)

به نظر می‌آید احتمال این موضوع خیلی کم باشد که A5 (یا چند عدد بزرگ‌تر از این دنباله) اول باشد. بدون شک این مثال دیگری از «قانون قوی عددهای کوچک» Guy، است. دقت کنید که اگر در این دنباله یکعدد مرکب پیدا شود، طبق نظریه اول، تمام اعداد بعدی مرکب خواهند بود.

تاریخچه

[ویرایش]

در سال ۱۹۶۳ کشف شد که ۱–۱۱۲۱۳^۲ اول است، و این به وسیله بسته‌های پستی مخصوص ساخته شده با مُهرِ فرستاده شده ازیوبرانا، ایلینیوس اعلام شد.یک شبکه تحقیقاتی توزیع شده در اینترنت توسطولتمن به پا شده‌است که به GIMPS(Great Internet Mersenne Prime Search) معروف است و و داوطلبان بیشمار آن، ازکامپیوترهای شخصی خود برای انجام دادن قسمت‌های مختلفی از تحقیقات استفاده می‌کنند. در ۱۷ نوامبر ۲۰۰۳، یکی از داوطلبان GIMPS کشف چهلمین عدد مرسن را گزارش داد و این موضوع، پس از آن تأیید شد. شش ماه پس از آن، کشف چهل و یکمین عدد مرسن توسط یکی از داوطلبان این شبکه به ثبت رسید. عدد بعدی مرسن در این سری نیز در ۱۸ فوریه ۲۰۰۵ اعلام شد. تلاش‌های داوطلبان GIMP، این پروژه محاسباتی توزیع شده را تبدیل به کاشف هشت عدد بزرگ‌تر اعداد مرسن نمود. در واقعیت، تا فوریه همین سال، شرکت کنندگان GIMPS، تمام توان‌های قبل از ۹٬۸۸۹٬۹۰۰ را امتحان کردند و حتی دو بار چک کردند و همه توان‌های پایین‌تر از ۱۵٬۱۳۰٬۰۰۰ را دست کم یک بار امتحان کردند.

تا سال ۲۰۲۴، ۵۲ عدد اول مرسن شناخته شده اند.[۳]

منابع

[ویرایش]
  1. ↑"GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 282,589,933-1".Mersenne Research, Inc. 21 December 2018. Retrieved21 December 2018.
  2. ↑"M1277 Mersenne number exponent details".www.mersenne.ca. Retrieved24 June 2022.
  3. ↑ویکی‌پدیای انگلیسی
  • Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 1: Divisibility and Primality. New York: Dover, p. 13, 2005.
  • Eddington, W. "Will Eddington's Mersenne Page."https://web.archive.org/web/20141014102940/http://www.garlic.com/~wedgingt/mersenne.html.
  • Flannery, S. and Flannery, D. In Code: A Mathematical Journey. London: Profile Books, pp. 47–51, 2000.
  • Gardner, M. "Mathematical Games: About the Remarkable Similarity between the Icosian Game and the Towers of Hanoi." Sci. Amer. 196, 150-156, May 1957.
  • Guy, R. K. "Mersenne Primes. Repunits. Fermat Numbers. Primes of Shape [sic]." §A3 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 8–13, 1994.
  • Hardy, G. H. and Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 15–16 and 22, 1979.
  • Pappas, T. "Mersenne's Number." The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ. /Tetra, p. 211, 1989.
  • Robinson, R. M. "Mersenne and Fermat Numbers." Proc. Amer. Math. Soc. 5, 842-846, 1954.
  • Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, pp. 14, 18-19, 22, and 29-30, 1993.
  • Sloane, N. J. A. Sequences A000225/M2655, A001265, A005420/M2609, A007524/M2196, A034887, A046051, A049479, and A114475 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
  • Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, pp. 23–24, 1999.

پیوند به بیرون

[ویرایش]
رده‌هایاعداد اول
برحسب فرمول
برحسب دنباله اعداد
برحسب خواص
وابسته بهمبنا
الگوها
برحسب بزرگی
عدد مختلط
اعداد مرکب
موضوعات مرتبط
اولین ۶۰ عدد اول
برگرفته از «https://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=عدد_اول_مرسن&oldid=42557118»
رده‌ها:
ردهٔ پنهان:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp