Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

پرش به محتوا
ویکی‌پدیادانشنامهٔ آزاد
جستجو

عدد طبیعی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
(تغییرمسیر ازاعداد طبیعی)
مجموعهٔ اعداد طبیعی با نماد N نمایش داده می‌شود. (فهرست نمادهای ریاضی)
اعداد طبیعی برای شمارش استفاده می‌شوند (یک سیب، دو سیب، سه سیب …)

اعداد طبیعی یااعداد صحیح مثبت[۱] اعدادی هستند که ازیک (۱) شروع می‌شوند و تا بینهایت ادامه دارند. این مجموعه شامل صفر نمی‌شود و برای شمارش و ترتیب استفاده می‌شود. به‌طور مثال، در «شش سکه روی میز است»، برای شمارش و در «این سومین شهر بزرگ است» برای ترتیب کاربرد دارند. در اصطلاح ریاضی، لغت مورد استفاده برای شمارش اشیاء واقعی «اعداد ترتیبی» است. مجموعهٔ اعداد طبیعی همان مجموعهٔاعداد صحیح مثبت {...، ۱، ۲، ۳، ...} است که شاملاعداد مرکب،اعداد اول و یک می‌شود.

به بیان ساده، اعداد طبیعی اعدادی هستند که در طبیعت برای شمردن عناصر استفاده می‌شوند. عدد صفر واعداد منفی در طبیعت وجود ندارند و در مجموعهٔ اعداد طبیعی جای ندارند.

برای بودن یا نبودن صفر در مجموعهٔ اعداد طبیعی سه تعریف وجود دارد. طبق استانداردISO 80000-2، صفر به عنوان عدد صحیح غیرمنفی پذیرفته شده است.[۲] در برخی تعاریف دیگر، صفر به عنوان عضو مجموعه اعداد طبیعی شناخته نمی‌شود و با افزودن آن مجموعهاعداد حسابی شکل می‌گیرد. مجموعهٔ اعداد طبیعی، یکمجموعه نامتناهی است و زیرمجموعهٔ اعداد حسابی، اعداد صحیح،اعداد گویا واعداد حقیقی محسوب می‌شود.

درریاضیات، اعداد صحیح و حسابی با حروفZ وW نمایش داده می‌شوند وN از ابتدای واژهٔ انگلیسی «Natural» گرفته شده است.

اصل استقرای ریاضی

[ویرایش]

اصلی‌ترین ویژگی اعداد طبیعی، اصلاستقرای ریاضی است. این اصل بیان می‌کند که اگرP(x){\displaystyle P(x)} ویژگی یک عدد x باشد، برای اینکه P برای همهٔ اعداد طبیعی صدق کند، کافی است:

  1. P(1){\displaystyle P(1)} صادق باشد، و
  2. اگرP(k){\displaystyle P(k)} صادق است، بتوان نشان دادP(k+1){\displaystyle P(k+1)} نیز صادق است.[۳]

با تکرار این فرایند، ویژگی P برای همهٔ اعداد طبیعی اثبات می‌شود.

مثال: جمع اعداد طبیعی

[ویرایش]

فرمول جمع اعداد طبیعی از ۱ تا n:1+2+3+⋯+n=n(n+1)2{\displaystyle 1+2+3+\dots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}اثبات با استقرا:

۱. برای n=۱،1(1+1)2=1{\displaystyle {\frac {1(1+1)}{2}}=1} صدق می‌کند.۲. فرض می‌کنیم برای n=k صادق است:1+2+⋯+k=k(k+1)2{\displaystyle 1+2+\dots +k={\frac {k(k+1)}{2}}}۳. بنابراین برای n=k+1 داریم:1+2+⋯+k+(k+1)=k(k+1)2+(k+1)=(k+1)(k+2)2{\displaystyle 1+2+\dots +k+(k+1)={\frac {k(k+1)}{2}}+(k+1)={\frac {(k+1)(k+2)}{2}}}بنابراین فرمول برای همهٔ n صادق است.[۴]

بیان صوری استقرا

[ویرایش]

فرض کنید A مجموعه‌ای ناتهی از اعداد طبیعی باشد، و شرایط زیر برقرار باشند:

  1. عدد ۱ عضو A باشد
  2. اگر k عضو A باشد، آنگاه k+1 نیز عضو A باشد

آنگاه A شامل همهٔ اعداد طبیعی خواهد بود.[۵]

تعریف بازگشتی

[ویرایش]

اعداد طبیعی در برنامه‌نویسی و محاسبات، از طریق تعریف بازگشتی نیز بیان می‌شوند. برای مثال، فاکتوریل n:n!=1⋅2⋅⋯⋅n{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot n}تعریف بازگشتی:

  1. 1!=1{\displaystyle 1!=1}
  2. n!=(n−1)!⋅n{\displaystyle n!=(n-1)!\cdot n}[۶]

جمع اعداد طبیعی نیز می‌تواند بازگشتی تعریف شود:

  1. ∑i=11ai=a1{\displaystyle \sum _{i=1}^{1}a_{i}=a_{1}}
  2. ∑i=1nai=an+∑i=1n−1ai{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{n}+\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}}

تعریف صوری: اصول پئانو

[ویرایش]
مقالهٔ اصلی:اصول موضوعه پئانو

اعداد طبیعی با مجموعهٔN یاN{\displaystyle \mathbb {N} } و نماد ثابت ۰ و تابع تک‌متغیرهٔ S تعریف می‌شوند:

  1. ۰ یک عدد طبیعی است
  2. برای هر عدد طبیعی x, x=x
  3. برای x و y طبیعی، اگر x=y آنگاه y=x
  4. اگر x=y و y=z آنگاه x=z
  5. اعداد طبیعی تحت تساوی بسته‌اند
  6. S(n) تابعی یک‌به‌یک از n به n+1 است
  7. هیچ n طبیعی ندارد که S(n)=۰ باشد

تاریخچه

[ویرایش]

ریشه‌های باستانی

[ویرایش]

اولین نمایش اعداد طبیعی با علامت برای هر شی بود. سپس مصریان باستان سیستم عددی قدرتمندی با هیروگلیف‌های ۱، ۱۰ و مضارب آن تا بیش از ۱ میلیون ایجاد کردند.[۷]بابلی‌ها از سیستم ارزش مکانی با پایه ۶۰ استفاده می‌کردند.

صفر ابتدا توسط بابلی‌ها و سپس در تمدناولمک ومایا به کار رفت، و در دوران معاصر توسط ریاضیدان هندیBrahmagupta معرفی شد.[۸]

تعاریف مدرن

[ویرایش]

در قرن نوزدهم، اروپا دربارهٔ ماهیت اعداد طبیعی بحث کرد.هنری پوانکاره ولئوپولد کرونکر دیدگاه‌های متفاوتی ارائه دادند.گوتلوب فرگه وچارلز سندرز پیرس تعاریف رسمی اعداد طبیعی را بانظریه مجموعه‌ها و اصول پئانو ارائه کردند.[۹]

جستارهای وابسته

[ویرایش]
طبقه‌بندی اعداد
یک: 1
اعداد اول
اعداد مرکب
صفر: 0
اعداد صحیح منفی
کسری
مختوم
متناوب
ساده
مرکب
گنگ
اعداد گنگ جبری
ترافرازنده
موهومی

منابع

[ویرایش]
  • ابراهیم اسرافیلیان، عبدالله شیدفر.ریاضی عمومی ۱. دالفک، ۱۳۸۲
  • Spivak, M. (2006).Calculus (3rd ed.). Cambridge University Press.ISBN 978-0-521-86744-3.{{cite book}}:|access-date= requires|url= (help)
  • Ifrah, Georges (2000).The Universal History of Numbers. Wiley.
  • L. Kirby; J. Paris,Accessible Independence Results for Peano Arithmetic, Bulletin of the London Mathematical Society.
  1. ↑chap.sch.ir صفحهٔ ۷.
  2. ↑https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number
  3. ↑Spivak 2006‏:‎21
  4. ↑Spivak 2006‏:‎22
  5. ↑Spivak 2006‏:‎22
  6. ↑Spivak 2006‏:‎23
  7. ↑Ifrah, Georges (2000). The Universal History of Numbers. Wiley.
  8. ↑https://books.google.com/books?id=Jw2TE_UNHJYC&pg=PA19.پارامتر|عنوان= یا |title= ناموجود یا خالی (کمک)
  9. ↑L. Kirby; J. Paris, Accessible Independence Results for Peano Arithmetic.
برگرفته از «https://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=عدد_طبیعی&oldid=42994488»
رده‌ها:
رده‌های پنهان:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp