Movatterモバイル変換

Polinomio

Artikulu hau "Kalitatezko 2.000 artikulu 12-16 urteko ikasleentzat" proiektuaren parte da

Wikipedia, Entziklopedia askea

Matematikan,polinomioaaldagai batez edo gehiagoz eta zenbaitkonstantez osaturikoadierazpen matematiko mugatu bat da. Aldagaiak eta konstanteakbatuketaz,kenketaz etabiderketaz elkartzen dira, eta aldagaiberretzaileek ez-negatibo etaosoak izan behar dute.

Definizioz, koefizienteak A multzoan dituzten polinomioak $a_{n}X^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}X+a_{0}|a_{i}\in A$ erako adierazpena da.

Hori dela eta, polinomioenmultzoa honela definitu daiteke: $A[x]={a_{0}+...+a_{n}x^{n}|a_{i}\in A,n\in \mathbb {N} \cup \{0\}}$

Adibidez, polinomioak honako hauek dira:

$P(x)=x^{2}-4x+7\,$
$P(x,y)=xy-x^{2}\,$
$P(x)=x^{5}+7\,$
$P(x)=7,45\,$
$P(x)=0\,$
$P(x)={\frac {x}{9}}={\frac {1}{9}}x\,$

Beste hauek, ordea, ez dira polinomioak, berretzaile negatibo edo ez-osoak dituztelako:

$P(x)=x^{2}-{\frac {4}{x}}+7=x^{2}-4x^{-1}+7\,$
$P(x,y)=x^{2}-4xy^{4,5}\,$
$P(x)=x^{\frac {3}{2}}\,$
$P(x)={\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}\,$
$P(x)=(5+y)^{x}\,$
$P(x)={\frac {1}{x+2}}\,$

Gaur egun polinomioak adierazteko erabiltzen dugun notazioa XV. mendean garatu zen. Notazio hori baino lehen, hitzen bitartez idazten ziren."Arithmetic in Nine Sections" aljebra-liburuan, adibidez, ikus dezakegu hitzezko notazio hori.La géometrie liburuan (1637),René Descartes matematikariak proposatu zuen: konstanteak alfabetoaren lehenengo hizkiez adieraztea (a, b, c, d...) eta ezezagunak azken hizkiez (x,y,z).

Batugaiak lau baino gutxiago badira, izen hauek jasotzen dituzte polinomioek:monomio (batugai bakarra), binomio (bi batugai) eta trinomio (hiru batugai).

Historia

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Ekuazio aljebraikoak ebaztea edo polinomioen erroak zehaztea da matematikako arazo zaharrenetakoa. Hala ere, gaur egun erabiltzen dugun idazkera dotore eta praktikoa XV. Mendetik aurrera garatu zen.

Moskuko papiroaren 14. probleman (K.a. 1890. urtea) piramide enbor laukilarraren bolumena kalkulatzea eskatzen da. Eskribauak pausoak azaltzen ditu: 2 eta 4 karratuak, 2 4 bider, aurreko emaitzak gehitu eta 6 (h) -ren herena biderkatu; Honela esanez amaitzen du: "Ikusi, 56 dira, ondo kalkulatu duzu". Egungo notazio aljebraikoan honakoa litzateke: V = h (t² + b² + tb) / 3, lau aldagaiko polinomioa (V, h, t, b), hiru jakinda, laugarren aldagaia lortzeko aukera ematen duena.

Polinomio batzuek, hala nola P (x) = x² + 1, ez dute zenbaki erreala den erroa. Hala ere, erro posibleen multzoa zenbaki konplexuetara hedatzen bada, polinomio (ez konstante) orok du erro bat: hori daaljebrako oinarrizkoteoremaren adierazpena.

Desberdintasunak daude erroen hurbilketaren eta haientzako formula konkretuen aurkikuntzaren artean. Mendetik laugarren gradurainoko polinomioen formak ezagutzen dira (ikusekuazio koadratikoa,Gerolamo Cardano,Niccolò Fontana Tartaglia). Baina, bosgarren mailako polinomioen formulak konponezinak izan ziren ikertzaileentzat denbora luzez.1824an,Niels Henrik Abelek erakutsi zuen ezin dela bosgarren graduko edo gehiagoko polinomioetarako formula orokorrik egon (ikusAbel-Ruffini teorema). Emaitza horrek Polinomioen erroen arteko erlazioen azterketa zehatzaz arduratzen denGalois teoriaren hasiera izan zen.

Charles Babbageren motor diferentziala funtzio logaritmikoen eta diferentzialen balioen taulak automatikoki sortzeko diseinatu zen, puntu askotan hurbilketa polinomikoak ebaluatuz,Isaac Newtonen desberdintasunen metodoa erabiliz.

Monomioa

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Monomioak ulertzeko bideoa.
Bideo hau Jakindun elkarteak egin du. Gehiago dituzu eskuragarrieuren gunean. Bideoak dituzten artikulu guztiak ikus ditzakezuhemen.

Monomioa gai bakarrekoadierazpen aljebraikoa da. Gai horizenbakien etaaldagaien artekobiderkadura da. Zenbakieikoefiziente ere baderitze eta monomioaren hasieran idazten ohi dira.

Notazioa: $a_{k}x^{k}\mid \forall _{k}\in \mathbb {N}$

Era berean, monomio baten maila aldagaiaren berretzailea da, konstante ez nulua bada, maila 0 izango delarik.

Adibidez:

$a\cdot b=ab$
$x\cdot x\cdot y=x^{2}y$
$p\cdot q\cdot q\cdot q\cdot r=pq^{3}r$
$2\cdot a\cdot b=2ab$
$3,15\cdot x\cdot x\cdot y=3,15x^{2}y$
${\sqrt {5}}p\cdot q\cdot q\cdot q\cdot r={\sqrt {5}}pq^{3}r$

Aplikazioak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Polinomioa funtsezko kontzeptua daaljebran.Matematikan,funtzioak hurbiltzeko erabiltzen dira.Kimikan etafisikan aplikazio handiak dituzte, baitaekonomian etakriptografian ere.

Definizio aljebraikoa

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Aldagai bakarreko polinomioak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Polinomioari, ezezagun bakarra daukanean, aldagai bakarreko polinomio deritzo. Adibidez,

$P(x)=x+1$

$P(x)=2x_{}^{2}+4x+1$
$P(x)=x_{}^{5}-5x_{}^{4}+2x_{}^{3}-x_{}^{2}+7x+1$

Aldagai anitzeko polinomioak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Ezezagun bat baino gehiago daukanean, polinomioari aldagai anitzeko polinomio deritzo. Adibidez,

$P(x)=x+y$

$P(x,y)=2x_{}^{2}y-3xy+1$
$P(y,z)=y_{}^{3}-yz_{}^{2}+3z_{}^{3}-y{}^{2}z+2yz+1$

Polinomioaren maila

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Notazioa

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Polinomio baten maila adierazteko deg laburpena erabiltzen da.Beraz, $d e g f {\displaystyle degf}$ da $f {\displaystyle f}$ polinomioaren maila.

Monomioak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Ezezagun bakarreko monomioetan, aldagaiaren berretzailea da monomioaren maila.

Ezezagun bat baino gehiagoko monomioetan, aldiz, aldagai guztien berretzaileen batura da maila. Adibidez,

$P(x)=3x$ , monomioaren maila 1 da.
$P(x)=2x_{}^{5}$ , monomioaren maila 5 da.
$P(x)=3xz_{}^{2}$ , polinomioaren maila 3 da.

Polinomioak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Polinomio baten maila bere monomio artean maila altuena duenarena maila da. $p(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}|a_{1}\neq 0$

Orduan, $degp=n$

$P(x)=3x_{}^{2}+2x+1$ , polinomioaren maila 2 da.
$P(x)=x_{}^{3}-3x+2$ , polinomioaren maila 3 da.
$P(x)=4x_{}^{4}+4x+2$ , polinomioaren maila 4 da.
$P(x)=x_{}^{7}+2x_{}^{5}-4x_{}^{3}-6x+1$ $P(x)=3x$ , polinomioaren maila 7 da.

Bereiz ditzakegu bi kasu berezi:

Polinomio konstantea: $P(x)=2$ , monomioaren maila 0 da (x⁰=1 baita); beraz, zero mailako polinomioak konstante ez-nuluak izango dira.
Polinomio nulua: $P(x)=0$ , polinomioaren maila $\scriptstyle -\infty$ da.

Eragiketak polinomioekin

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Polinomioa puntu batean ebaluatzea

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Edozein polinomio p puntu batean ebaluatzeko, indeterminatuaren lekuan p puntua ordezkatzea besterik ez da egin behar. Lortzen dugun emaitzari polinomioaren zenbakizko balioa^[1] deritzo. Adibidez,

$P(x)=4x_{}^{4}+4x+2$ polinomioa x=2 puntuan ebaluatzeko, zera egingo dugu: $P(2)=4\cdot (2)_{}^{4}+4\cdot (2)+2=74$ ; kasu honetan, x=2 puntuari dagokion P(x) polinomioaren zenbakizko balioa 74 da.
$P(x,y)=5x_{}^{2}y+3xy_{}^{2}-2xy+1$ polinomioa (x,y) = (-2,1) puntuan ebaluatzeko: $P(-2,1)=5\cdot (-2)_{}^{2}\cdot (1)+3\cdot (-2)\cdot (1)_{}^{2}-2\cdot (-2)\cdot (1)+1=19$ ; kasu honetan, (x,y)=(-2,1) puntuari dagokion P(x,y) polinomioaren zenbakizko balioa 19 da.

Batuketa eta kenketa

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Monomioenbatuketa edokenketa egin ahal izateko, antzekoak izan behar dira monomioak; hau da, gai aljebraiko (aldagaien zatia) berbera izan behar dute. Kasu horretan, gai aljebraikoa mantentzen da eta koefizienteen batuketa edo kenketa egiten da.

Batuketa: $f(x)+g(x)=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})+...+(a_{n}+b_{n})x^{n}+...+b_{m}x^{m},n\leq m$

Adibidez:

$P(x)=2x$ eta $Q(x)=3x$ monomioak izanda, $P(x)+Q(x)=2x+3x=5x$ eta $P(x)-Q(x)=2x-3x=-x$
$P(x)=2x_{}^{5}$ eta $Q(x)=5x_{}^{5}$ izanda, $P(x)+Q(x)=2x_{}^{5}+5x_{}^{5}=7x_{}^{5}$ eta $P(x)-Q(x)=2x_{}^{5}-5x_{}^{5}=-3x_{}^{5}$
$P(x,y)+Q(x,y)=3x_{}^{2}y+4x_{}^{2}y=7x_{}^{2}y$
$x_{}^{2}y-2xy_{}^{2}$ (ezin dira batu monomioak, antzekoak ez direlako)

Polinomioen artekobatuketa edokenketa egiteko, antzekoak diren monomioak batu edo kendu behar ditugu. Adibidez,

$P(x)=2x_{}^{7}+3x_{}^{6}+x_{}^{5}-6x_{}^{4}+2x_{}^{3}-5x_{}^{2}+3$ eta $Q(x)=2x_{}^{6}-3x_{}^{5}+4x_{}^{4}+x_{}^{3}+2x_{}^{2}-3x+2$ izanda,

$P(x)+Q(x)=2x_{}^{7}+(3x_{}^{6}+2x_{}^{6})+(x_{}^{5}-3x_{}^{5})+(-6x_{}^{4}+4x_{}^{4})+(2x_{}^{3}+x_{}^{3})+(-5x_{}^{2}+2x_{}^{2})-3x+(3+2)=2x_{}^{7}+5x_{}^{6}-2x_{}^{5}-2x_{}^{4}+3x_{}^{3}-3x_{}^{2}-3x+5$ eta

$P(x)-Q(x)=2x_{}^{7}+(3x_{}^{6}-2x_{}^{6})+(x_{}^{5}+3x_{}^{5})+(-6x_{}^{4}-4x_{}^{4})+(2x_{}^{3}-x_{}^{3})+(-5x_{}^{2}-2x_{}^{2})+3x+(3-2)=2x_{}^{7}+x_{}^{6}+4x_{}^{5}-10x_{}^{4}+x_{}^{3}-7x_{}^{2}+3x+1$

$P(x,y)=2x_{}^{2}y-3xy-xy_{}^{2}+1$ eta $Q(x,y)=x_{}^{2}y+2xy+3xy_{}^{2}-2$ izanda,

$P(x,y)+Q(x,y)=(2x_{}^{2}y+x_{}^{2}y)+(-3xy+2xy)+(-xy_{}^{2}+3xy_{}^{2})+(1-2)=3x_{}^{2}y-xy+2xy_{}^{2}-1$ eta

$P(x,y)-Q(x,y)=(2x_{}^{2}y-x_{}^{2}y)+(-3xy-2xy)+(-xy_{}^{2}-3xy_{}^{2})+(1+2)=x_{}^{2}y-5xy-4xy_{}^{2}+3$

Biderketa

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Monomioen arteko biderketa egiteko, koefizienteak biderkatu eta indeterminatu berdinen mailak batu behar ditugu.

$f(x)=\sum _{i=0}a_{i}x^{i}$ , $g(x)=\sum _{i=0}b_{i}x^{i}$

$f(x)g(x)=\sum _{k\geq 0}(\sum _{i+j=k}a_{i}b_{i})x^{k}$

Adibidez,

$P(x)=4x_{}^{3}$ eta $Q(x)=3x_{}^{5}$ monomioak izanda, $P(x)Q(x)_{}^{}=4x_{}^{3}\cdot 3x_{}^{5}=4\cdot 3\cdot x_{}^{3+5}=12x_{}^{8}$
$P(x)=4x_{}^{3}y_{}^{2}$ eta $Q(x)=3x_{}^{5}y_{}^{8}$ monomioak izanda, $P(x)Q(x)_{}^{}=4x_{}^{3}y_{}^{2}\cdot 3x_{}^{5}y_{}^{8}=4\cdot 3\cdot x_{}^{3+5}\cdot y_{}^{2+8}=12x_{}^{8}y_{}^{10}$

Bi polinomioen arteko biderketa egiteko, polinomio baten gai bakoitza beste polinomioaren gai guztiekin biderkatu behar da, eta ondoren, maila bereko terminoak batu edo kendu. Adibidez,

$P(x)=(2x_{}^{3}+4x+1)$ eta $Q(x)_{}^{}=(5x^{2}+3)$ polinomioak izanda, $P(x)Q(x)_{}^{}=(2x_{}^{3}+4x+1)(5x^{2}+3)=(2x_{}^{3}+4x+1)(5x^{2})+(2x^{3}+4x+1)(3)=(2x_{}^{3}\cdot 5x^{2}+4x\cdot 5x^{2}+1\cdot 5x^{2})+(2x^{3}\cdot 3+4x\cdot 3+1\cdot 3)=10x_{}^{5}+20x^{3}+5x^{2}+6x^{3}+12x+3=10x_{}^{5}+26x^{3}+5x^{2}+12x+3$

Identitate nabarmenak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Sakontzeko, irakurri: «Identitate (matematika)»

$(x+a)^{2}=x^{2}+2ax+a^{2}$

$(x-a)^{2}=x^{2}-2ax+a^{2}$

$(x+a)(x-a)=x^{2}-a^{2}$

Adibideak:

$(x+3)^{2}=x^{2}+6x+9$
$(2x-1)^{2}=4x^{2}-4x+1$
$(3x+5)\cdot (3x-5)=9x^{2}-25$

$x^{2}+10x+25=(x+5)^{2}$

$36x^{2}-12x+1=(6x-1)^{2}$
$4x^{2}-1=(2x+1)\cdot (2x-1)$

Zatiketa

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Monomioen koefizienteak zatituz eta indeterminatu berdinen mailak kenduz lortzen da. Adibidez,

${42x_{}^{3} \over 6x}=({42 \over 6})\cdot x_{}^{3-1}=7x_{}^{2}$
${15x_{}^{3}y_{}^{5} \over 10xy_{}^{3}}=({15 \over 10})\cdot x_{}^{3-1}\cdot y_{}^{5-3}={3 \over 2}x_{}^{2}y_{}^{2}$
${11x_{}^{3}y_{}^{5}z_{}^{2} \over 22xy_{}^{3}z_{}^{2}}=({11 \over 22})\cdot x_{}^{3-1}\cdot y_{}^{5-3}\cdot z_{}^{2-2}={1 \over 2}x_{}^{2}y_{}^{2}$

Zenbaki errealekin egindako zatiketak polinomioekin egitekotan, zatikizunaren mailak zatitzailearen maila baino handiagoa edo berdina izan beharko du. Kasu horretan, zatiketa egiten ikasteko adibide honi jarraituko diogu: $P(x)=63x_{}^{3}-84x_{}^{2}+3x+20$ eta $Q(x)=x-1$ polinomioak izanda, ${P(x)}:{Q(x)}$ lortzeko:

Ariketak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Monomioak eta polinomioak
Monomioen etapolinomioen arteko zatiketak.
Deskonposizio polinomikoa lantzeko ariketa.

Ruffiniren erregela

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Sakontzeko, irakurri: «Ruffiniren erregela»

Zatiketa baten zatitzailea (x+r) edo (x-r) erakoa bada, orduan zatiketa Ruffiniren bidez egin ahal dugu.

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ zatikizun eta $Q(x)=x-r\,\!$ zatitzaile izanda,urrats hauei jarraituko diegu:

1.P(x) polinomioaren koefizienteak ordenaturik idatzi behar dira. Eta ondoren, lerro bat beherago, zatitzailea denx-r binomiokor jarri behar da, irudiko marra laguntzaileekin batera:

    |        a_n        a_n-1        ...        a₁         a₀    |                                      r |                                    ----|---------------------------------------------------------    |                                        |

2. Ezkerreko lehenengo koefizientea behera eraman, hura aldatu gabe:

    |        a_n        a_n-1        ...        a₁         a₀    |                                      r |                                    ----|---------------------------------------------------------    |      a_n=    |    |      b_n-1                                    |

3. Behera pasatutako koefiziente hori r balioaz biderkatu eta polinomioaren hurrengo koefizientearen azpian jarri:

  |        a_n        a_n-1        ...        a₁         a₀    |  r |                b_n-1r----|---------------------------------------------------------    |        a_n    |    |      = b_n-1                                    |

4. Zutabe bereko bi balio hauen batuketa egin:

    |        a_n        a_n-1        ...        a₁         a₀    |  r |                  b_n-1r----|---------------------------------------------------------    |        a_n     a_n-1+(b_n-1r)    |    |      = b_n-1     = b_n-2                                    |

5. 3. eta 4. pausoak errepikatu lerroa bukatu arte:

   |        a_n        a_n-1        ...        a₁         a₀    |  r |                  b_n-1r       ...        b₁r        b₀r----|---------------------------------------------------------    |        a_n     a_n-1+(b_n-1r)   ...       a₁+b₁r       a₀+b₀r    |    |      = b_n-1     = b_n-2       ...       = b₀        = s

Adibidez:

$P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4\,\!$

Q(x)=x+1=x-(-1)\,\!

Ohartu behar dax+1 binomioa x-(-1) bihurtzen dela,x-r erakoa izateko:

1.

Koefizienteak bere lekuan jarri:

    |     2     3     0     -4    |                                     -1 |                                    ----|----------------------------    |                                        |

Ohartu behar da polinomioanx terminoaren koefizientea 0 dela.

2.

Lehenengo koefizientea behera eraman:

    |     2     3     0     -4    |                                     -1 |                                    ----|----------------------------    |     2                                  |

3.

-1×2=-2 egin    |     2     3     0     -4    |                                     -1 |          -2                         ----|----------------------------    |     2                                  |

4.

3-2=1

    |     2     3     0     -4    | -1 |          -2----|----------------------------    |     2     1    |

5.

Lerroa bukatu arte jarraituz:

    |     2     3     0        -4    | -1 |          -2    -1         1----|-------------------------------    |     2     1    -1         -3    |{zatidura koefizienteak}{hondarra}

Beraz:

{\frac {2x^{3}+3x^{2}-4}{x+1}}=2x^{2}+x-1

da eta hondarra -3

Faktore komuna ateratzea

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Sakontzeko, irakurri: «Faktorizazio»

Polinomio batean faktore komuna atera ahal izateko, faktore hori batugai guztietan egon behar da^[2].

$P(x)=2x_{}^{4}+4x_{}^{2}-6x=2x\cdot (x_{}^{3}+2x-3)$
$P(x,y)=12x_{}^{2}y-15xy_{}^{2}+3xy=3xy\cdot (4x-5y+1)$

Polinomioen erroak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Polinomio baten erroak P(x)=0 ekuazioaren soluzioak dira^[3]. Beraz,a zenbaki bati P(x) polinomioaren erroa esaten zaio baldin eta P(a)=0 bada. Adibidez:

$P(x)=2x_{}^{7}+3x_{}^{6}+x_{}^{5}-6x_{}^{4}+2x_{}^{3}-5x_{}^{2}$ polinomioa izanda,

$P(0)=2\cdot 0_{}^{7}+3\cdot 0_{}^{6}+0_{}^{5}-6\cdot 0_{}^{4}+2\cdot 0_{}^{3}-5\cdot 0_{}^{2}=0$ eta $P(1)=2\cdot 1_{}^{7}+3\cdot 1_{}^{6}+1_{}^{5}-6\cdot 1_{}^{4}+2\cdot 1_{}^{3}-5\cdot 1_{}^{2}=-3$ ;

hori dela eta, x=0 polinomioaren erroa da eta x=1 ez.

M mailako polinomio batean, gehienez M erro aurki ditzakegu. Erroak berdinak edo desberdinak izan daitezke. Erro bat behin agertzen denean, erro sinple deritzo; erroa behin baino gehiagotan agertzen denean, aldiz, izen hauek jasotzen ditu erroak: erro bikoitza (bitan agertzen bada), hirukoitza (hiru alditan agertzen bada)...

Polinomioen faktorizazioa

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Zenbakiak faktorizatu daitezkeen bezala, polinomioak ere faktorizatu daitezke, "oinarrizko" polinomio batzuen biderkadura modura idatziz. Hala ere, badaude polinomio batzuk (zenbakien kasuan "zenbaki lehenak"), ezin daitezkeenak faktorizatu eta horiei, irreduzibleak deritze.

Kronecker metodoa

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Polinomio osoek faktore polinomial osoetan faktorizatu behar direnez, eta balio osoen polinomio osoen ebaluazioak zenbaki osoak sortu behar dituztenez, polinomio baten balio osoak, kopuru finituan soilik hartu behar dira kontuan, eta ondorioz, faktore polinomiko posibleen kopuru mugatu bat baino ez dute sortzen.

Adibidez, kontsideratu dezagun hau:

$f(x)=x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+2$

Faktore polinomiko hauek $\mathbb {Z}$ gorputzaren gainean badaude, orduan gutxienez batek bigarren mailakoa edo bajuagokoa izan beharra du. 3 balio besterik ez dira behar bigarren mailako polinomioa aurkitzeko. Beraz, $f(0)=2$ , $f(1)=6,f(-1)=2$ . Kontuan izan, hauetako balioren batek 0 ematen badu, lortu dugula polinomio honen erro bat (eta beraz faktore bat). Baina aukeratutakoek ez badute 0 ematen emaitza bezala, emaitza bakoitzak zatitzaile kopuru finitu bat du. Adibidez 2 zenbakia, horrela faktoriza dezakegu:

$1\times 2,2\times 1,(-1)\times (-2),(-2)\times (-1)$

Hortaz, bigarren mailako faktore polinomiko bat existituz gero, balioak hauexek hartu ditzake:

$1,2,(-1),(-2)$ , $x=0$ eta $x=-1$ -en kasuan.

Zortzi modu desberdin daude 6 zenbakia faktorizatzeko (modu bat duen zatitzaile bakoitzarekiko), orduan

$4\times 4\times 8=148$ konbinazio posible daude. Erdiak negatiboak direnez konbinazio posibleetatik kendu ditzakegu, eta beraz $64 {\displaystyle 64}$ konbinazio probatzea geratzen zaigu bigarren mailako polinomio zuzena aurkitu arte.

Probak egin ondoren konklusio honetara iristen gara, $f(x)$ bigarren mailako polinomioen faktorizazio modu bakarra dagoela $\mathbb {Z}$ -n, eta hauxe da:

$p(x)=x^{2}+x+1$ emaitza hauetatik eraikia $p(0)=1,p(1)=3,p(-1)=1$ .

Azkenik, $f(x)$ $p(x)$ -ren gatik zatituz beste polinomioa lortzen dugu $q(x)=x^{3}-x+2$ eta ondorioz, $f(x)=p(x)\times q(x)$ . Eta orain, $p(x)$ eta $q(x)$ -rentzat hasi gaitezke bilatzen faktoreak, baina kasualitatez bi polinomio hauek irreduzibleak direla $\mathbb {Z}$ gorputzean, orduan $f(x)$ -ren faktorizazio irreduziblea hauxe da:

$f(x)=p(x)\times q(x)=(x^{2}+x+1)\times (x^{3}-x+2)$

Erreferentziak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

↑.
↑«Atera faktore komuna - Aljebra» sites.google.com (kontsulta data: 2018-11-21).
↑«5.- Polinomio baten erroak - MATEMATIKA 4.DBH FLIPPED» sites.google.com (kontsulta data: 2018-11-21).

Kanpo estekak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Autoritate kontrola	Wikimedia proiektuak Datuak:Q43260 Multimedia:Polynomials /Q43260 Identifikadoreak BNF:119786822 (data) LCCN:sh85104702 NDL:00572625 NKC:ph135425 Hiztegiak eta entziklopediak Britannica:url

Datuak:Q43260
Multimedia:Polynomials /Q43260

"https://eu.wikipedia.org/w/index.php?title=Polinomio&oldid=9538996"(e)tik eskuratuta

Ezkutuko kategoriak:

[8]ページ先頭

©2009-2025 Movatter.jp