Movatterモバイル変換


[0]ホーム

URL:


Edukira joan
WikipediaEntziklopedia askea
Bilatu

Newtonen binomio

Wikipedia, Entziklopedia askea

Matematiketan,Newtonen binomioa edobinomioaren teorema,binomio baten n-garrenberretura,nZ+{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}},konbinazio-zenbakien bidez kalkulatzeko erabiltzen denteorema da. Formula honek ahalbidetzen du(x+y)n{\displaystyle (x+y)^{n}} berreketaren hedapenaaxbyc{\displaystyle ax^{b}y^{c}} eran, non berretzaileakb,cN{\displaystyle b,c\in \mathbb {N} } dira etab+c=n{\displaystyle b+c=n} betetzen dutenak, eta termino bakoitzarena{\displaystyle a} (zenbaki naturala)n{\displaystyle n} etab{\displaystyle b}-ren dependentea dena.

Teorema

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Teorema honek definitzen du edozeinx+y{\displaystyle x+y} binomioaren berreketak heda daitekeela gehiketa bategaz era honetan:

(x+y)n=k=0n(nk)xnkyk=(n0)xn+(n1)xn1y+(n2)xn2y2++(nn1)xyn1+(nn)yn{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}={n \choose 0}x^{n}+{n \choose 1}x^{n-1}y+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}xy^{n-1}+{n \choose n}y^{n}}

non(nk){\displaystyle {n \choose k}}koefiziente binomiala,n{\displaystyle n} berreturaren balioa den etak{\displaystyle k} balio independentean-garren baliora iritsi arte unitateka handitu egiten dena, honela definitzen den:(nk)=n!k!(nk)!{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}.

Eta bestalde, kenketa baten berreketaren hedapena adierazteko,y{\displaystyle -y}y{\displaystyle y}-ren ordez hartu behar da berreketa bakoitietan era honetan:

(xy)n=k=0n(1)kn!k!(nk)!xnkyk{\displaystyle (x-y)^{n}=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}x^{n-k}y^{k}}

Adibideak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Frogapena

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Dakigunez,(a+b)n{\displaystyle (a+b)^{n}}(a+b)(a+b)(a+b)...(a+b){\displaystyle (a+b)(a+b)(a+b)...(a+b)} eran adierazi dezakegun{\displaystyle n} aldiz(a+b){\displaystyle (a+b)} biderkatuz. Biderketa hau garatzerakoan,a{\displaystyle a} edob{\displaystyle b} aukeratu eta beste biderkagaiekin biderkatzen dira. Horrela, biderketa bakoitzerako batugai bat lortuko dugu,a{\displaystyle a}-rennk{\displaystyle n-k}-garren berreketa biderb{\displaystyle b}-renk{\displaystyle k}-garren berreketa erakoak diren gaiak lortuko dira, hau da;k{\displaystyle k} aldizb{\displaystyle b} errepikatu etank{\displaystyle n-k} aldiza{\displaystyle a}. Espresio honen koefizienteak kalkulatzeko, zenbat modu ezberdinetan aukera ditzakegunk{\displaystyle k} biderkagaietanb{\displaystyle b} etank{\displaystyle n-k} biderkagaietana{\displaystyle a}, hau da;Errepikatuzko konbinazio edo multi-aukeraren balioa kalkulatu behar da.b{\displaystyle b} etaa{\displaystyle a} zenbakien berreturei erreparatuz, konturatuko garab{\displaystyle b}-ak aukeratzeko moduak zenbatzearekin nahikoa dela, horietako bakoitzeannk{\displaystyle n-k}a{\displaystyle a} aukeratuko ditugulako. Badakigun{\displaystyle n} aukeretatikk{\displaystyle k} aukeratzeko moduakKonbinazio (konbinatoria) direla, orduan,(nk){\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}ankbk{\displaystyle a^{n-k}b^{k}}-ren koefizientea dela badakigu.

Korolarioan0{\displaystyle n\geq 0} guztientzat

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

(n0)+(n1)+...+(nn1)+(nn)=2n{\displaystyle {\tbinom {n}{0}}+{\tbinom {n}{1}}+...+{\tbinom {n}{n-1}}+{\tbinom {n}{n}}=2^{n}}.

Frogapena:

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Newtonen binomioaren formula hartuz etaa=b=1{\displaystyle a=b=1} eginez lortzen da.

2n=(1+1)n=k=0n(nk)1nk1k=k=0n(nk)1nk+k=k=0n(nk)1n=k=0n(nk)=(n0)+(n1)+...+(nn1)+(nn)=2n{\displaystyle 2^{n}=(1+1)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\tbinom {n}{k}}1^{n-k}1^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\tbinom {n}{k}}1^{n-k+k}=\sum _{k=0}^{n}{\tbinom {n}{k}}1^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\tbinom {n}{k}}={\displaystyle {\tbinom {n}{0}}+{\tbinom {n}{1}}+...+{\tbinom {n}{n-1}}+{\tbinom {n}{n}}=2^{n}}}

Binomioaren teorema orokorra (Newton)

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Isaac Newtonek orokortu zuen Binomioaren teorema berretzaile errealetarako, serie infinitu batekin adierazita:

(x+y)r=k=0(rk)xrkyk{\displaystyle {(x+y)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}}},rR{\displaystyle \forall r\in \mathbb {R} }, non(rk)=1k!n=0k1(rn)=r(r1)(r2)(rk+1)k!=r!(rk)!k!{\displaystyle {r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {r!}{(r-k)!k!}}}

Teorema Multinomiala

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Binomioaren teorema orokortu daiteke bi batugai baino gehiagoren artekon{\displaystyle n}-garren berreketak barneratzeko, modu honetan adierazita:

(x1+x2++xm)n=k1+k2++km=n(nk1,k2,,km)x1k1x2k2xmkm{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}}, non(nk1,k2,,km)=n!k1!k2!km!{\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}}koefiziente multinomialak dira.

Aplikazioak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Angelu anizkoitzen identitateak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Zenbaki konplexuetarako, binomioaren teorema Moivre Formularekin konbina daiteke, sinu eta koseno funtzioetarako angelu anitzeko identitateak emateko. De Moivre formularen arabera:

cos(nx)+isin(nx)=(cosx+isinx)n{\displaystyle \cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos x+i\sin x)^{n}}

Binomioaren teorema erabiliz, eskuineko aldearen adierazpena hedatua izan daiteke eta, ondoren, zati errealak eta irudimenezkoak angelu anizkoitzen formulak lortzeko ateratzen dira. Izan ere:

(cosx+isinx)2=cos2(x)+2icos(x)sin(x)sin2(x){\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{2}=\cos ^{2}(x)+2i\cos(x)\sin(x)-\sin ^{2}(x)}

Berdintasun hori De Moivreren formularekin alderatuz gero, argi dago:

cos(2x)=cos2(x)sin2(x){\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)}

sin(2x)=2cos(x)sin(x){\displaystyle \sin(2x)=2\cos(x)\sin(x)}

Horiek dira angelu bikoitzaren ohiko identitateak.

Antzera:

(cosx+isinx)3=cos3(x)+3icos2(x)sin(x)3cos(x)sin2(x)isin3(x){\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{3}=\cos ^{3}(x)+3i\cos ^{2}(x)\sin(x)-3\cos(x)\sin ^{2}(x)-i\sin ^{3}(x)}

De Moivreren formularen enuntziatuarekin alderatuz, emaitzaren zati errealak eta irudikariak bereiztean:

cos(3x)=cos3(x)3cos(x)sin2(x){\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}(x)-3\cos(x)\sin ^{2}(x)}

sin(3x)=3cos2(x)sin(x)sin3(x){\displaystyle \sin(3x)=3\cos ^{2}(x)\sin(x)-\sin ^{3}(x)}

Orokorki,


cos(nx)=k=bakoitia(1)k/2(nk)cosnk(x)sink(x){\displaystyle \cos(nx)=\sum _{k=bakoitia}(-1)^{k/2}{\binom {n}{k}}\cos ^{n-k}(x)\sin ^{k}(x)}

eta

sin(nx)=k=bikoitia(1)(k1)/2(nk)cosnk(x)sink(x){\displaystyle \sin(nx)=\sum _{k=bikoitia}(-1)^{(k-1)/2}{\binom {n}{k}}\cos ^{n-k}(x)\sin ^{k}(x)}

Serieae{\displaystyle e}-rentzako:

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

e{\displaystyle e} zenbakia ekuazio honen bidez definitzen da:

e=limn(1+1n)n{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}

Adierazpen horri binomioaren teorema aplikatuz,e{\displaystyle e}-rako serie infinitua lortzen dugu. Bereziki:

(1+1n)n=1+(n1)1n+(n2)1n2+(n3)1n3+...+(nn)1nn.{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{\binom {n}{1}}{\frac {1}{n}}+{\binom {n}{2}}{\frac {1}{n^{2}}}+{\binom {n}{3}}{\frac {1}{n^{3}}}+...+{\binom {n}{n}}{\frac {1}{n^{n}}}.}

Hau da batura horren k-garren terminoa:

(nk)1nk=n!k!(nk)!1nk{\displaystyle {\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}\cdot {\frac {1}{n^{k}}}}

=1k!n(n1)(n2)(nk+1)(nk)!(nk)!1nk{\displaystyle ={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)\cdot (n-k)!}{(n-k)!}}\cdot {\frac {1}{n^{k}}}}

=1k!n(n1)(n2)(nk+1)nk{\displaystyle ={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}}

n{\displaystyle n} zenbakiak infinitura jotzen duenez(n){\displaystyle (n\rightarrow \infty )}, eskuinean dagoen adierazpen arrazionala 1era hurbiltzen da:

limnn(n1)(n2)(nk+1)nk=limnnk+a1nk1+a2nk2ak+2n1+ak+1n0nk{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{k}+a_{1}\cdot n^{k-1}+a_{2}\cdot n^{k-2}\cdots a_{k+2}\cdot n^{1}+a_{k+1}\cdot n^{0}}{n^{k}}}}

=limnnknk+limna1nk1nklimnak+1n0nk{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{k}}{n^{k}}}+\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}\cdot n^{k-1}}{n^{k}}}\cdots \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{k+1}\cdot n^{0}}{n^{k}}}}

=1+00{\displaystyle =1+0\cdots 0}

=1{\displaystyle =1}

Eta, beraz, n infinitura jotzen duenean, k-garren termino bakoitza honetara mugatzen da:

limn(nk)1nk=1k!.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.}

Horrek adierazten du serie infinitu gisa idatz daitekeelae{\displaystyle e}:

e=k=01k!=10!+11!+12!+13!+.{\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .}

Historia

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Isaac Newtoni egotzia, teorema Al-Karjík aurkitu zuen lehen aldiz 1000. urte inguruan.John Wallisen interpolazio eta estrapolazio metodoak arazo berrietara aplikatuz, Newtonekespresio polinomiko bat serie infinitu bihurtzen zuten adierazle orokortuen kontzeptuak erabili zituen. Horrela frogatu ahal izan zuen lehendik zeuden serie asko kasu partikularrak zirela, bai bereizketaz, bai integrazioz.

1664ko eta 1665eko neguan, Newtonek,Lincolnshiren bere etxean zegoenak, hedapen binomiala hedatu zuen nzenbaki arrazionala den kasuan eta hurrengo udazkenean, adierazlea zenbaki negatiboa denean. Bi kasuetarako aurkitu zen esamolde erresultantea termino amaigabeenserie bat zela.

Adierazle negatiboen kasuan, NewtonekPascalen Triangeluaren forma mailakatua erabili zuen, Michael Stifel matematikari alemaniarrak bere Arithmetica Integra lanean azaldu zuena:

Forma honen azpian erraz ikusten da, j-garren elementuaren eta (j-1) -errengloi baten hamargarren elementuaren baturak azpian dagoen lerroaren j-garren elementua ematen duela emaitza gisa. Newtonek taula hau gorantz luzatu zuen, lerro batean j-garren elementuaren eta (j-1) rengloiaren -aurrekoaren gainetik dagoen elementuaren arteko aldea aurkituz, emaitza goiko lerro horren j-garren elementu gisa jarriz. Horrela, taula berri hau lortzeko gai izan zen:

Zenbaki-serieak amaierarik ez zuela ohartzean, Newtonek ondorioztatu zuen adierazle oso negatibo batentzat seriea infinitua dela adierazten duena; izan ere, batuketak (x+y) binomioa (1+x) adierazten bazuen, lortutako emaitza baliozkoa da x -1 eta 1 artean badago. N zenbaki arrazionala bada, lortutako patroia aztertuta, Newtonek koefiziente binomialak lortu ahal izan zituen 2/frakzio bakoitzeko. Kasu horretan, n = 1/2 bada, koefizienteak 1, -1/2, 1/8, -5/128 eta abar dira, eta Newtonek egiaztatu ahal izan zuen 1/2rako hedapena biderkatuz gero, berez, n = 1 kasua lortuko zuela.

Aurkikuntza horretatik aurrera, Newtonek intuizioa izan zuen amaigabeko serieekin lan egin zitekeela, adierazpen polinomiko finituekin bezala. Newtonek ez zuen inoiz teorema hau argitaratu. Wallisek egin zuen lehen aldiz 1685ean Algebran, aurkikuntza hau Newtoni egotziz. N = 2rako teorema binomikoaEuklidesen Elementuetan dago (300 a. C) eta «koefiziente binomial» terminoa Stifelek sartu zuen.

Ikus, gainera

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Kanpo estekak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]
Autoritate kontrola

"https://eu.wikipedia.org/w/index.php?title=Newtonen_binomio&oldid=9076627"(e)tik eskuratuta
Kategoriak:
Ezkutuko kategoria:

[8]ページ先頭

©2009-2025 Movatter.jp