XII. mendetik aurrera, latinera itzuli ziren testu matematiko greziar eta arabiar asko,Erdi Aroko Europako matematikak garapen handia izatera eraman zuena. Antzinatik Erdi Aroraino, aurkikuntza matematikoen periodoei, askotan, mendeetako geldialdiek jarraitu zieten. XV. mendekoItaliakoPizkundean hasi eta gaur egunera arte, garapen matematiko berriak, aurkikuntza zientifiko berriekin elkarri eraginez, hazkuntza esponentzial batean egin izan dira. Horrek barnean hartzen dituIsaac Newton-en etaGottfried Wilhelm Leibniz-en lan berritzaileekkalkulu diferentzialean XVII. mendean eragindako garapena. XIX. mendearen bukaeran,Matematikarien Nazioarteko Biltzarra sortu zen, eta alorreko aurrerapenen buru izaten jarraitzen du.
Pentsaera matematikoaren jatorriazenbaki,magnitude eta forma kontzeptuetan dago. Animalien kognizioaren ikerketa modernoak erakutsi dute gizakiena soilik ez diren kontzeptuak direla. Horrelako kontzeptuak gizarte ehiztari/biltzaileen eguneroko bizitzan parte izan ziren. "Zenbaki" kontzeptua denboraz gradualki garatzenaren ideia aldetuta dago, "bat, "bi" eta "asko", baina ez bi baino handiagoak diren zenbakien, arteko bereizketa babestu duten hizkuntzen existentziatik.
Afrikan aurkitutakohistoriaurrekoartefaktuak,20000 urte baino gehiagoko antzinatasunarekin, denbora kuantifikatzeko ahalegin goiztiarrak adierazten dituzte. Ishangoren hezurra, Kongoko ipar-ekialdeanNilo ibaiaren iturburutik gertu aurkitu zena,20000 urte baino gehiago izan ahal ditu eta hezurrak marka batzuk ditu zizelkatuta hiru zutabeetan antolatuta. Ishangoren hezurra adierazten duenaren ohiko bi interpretazioak dira:zenbaki lehenensegida baten kontaketa eta 6 hilabeteko ilargi egutegia.[9]Peter Rudman zenbaki lehenen garapena zatiketa kontzeptuaren ondoren gertatu behar izan zela eztabaidatzen du; zatiketa K.a. 10000 aurkitu bazen, segur aski zenbaki lehenak ez ziren ulertu K.a. 500 ingurura arte. "ez dira ahaleginik egin azaltzeko zergatik zerbaiten kontaketa bat 2ren multiploak, 10 eta 20 arteko zenbaki lehenak eta 10en multipoak ia diren zenbakiak erakutsi behar dituen" idatzi zuen.[10]Alexander Marshack-en jakitunaren arabera, Ishango hezurra seguruenik Egiptoko matematiken garapenean eragin zuen, Ishango hezurraren sarrera batzuk bezala, aritmetika egiptoarra 2ren biderketak erabil zituzten, hala ere, hau eztabaidan dago.[11]
K.a. V. milurteko historiaurreko egiptoarrek diseinugeometrikoak piktorikoki irudikatzen zituzten.Ingalaterran etaEskozian K.a. III. milurteko antzinatasuneko monumentu megalitikoak haien diseinuan ideia geometrikoak eransten zituztela baieztatzen da, hala nola,zirkuluak,elipseak etaPitagorasen hirukoteak.[12] Hala ere, aurreko guztia eztabaidan dago, eta gaur egungo dokumentu matematiko zaharrenak Babilonia eta Egiptoko dinastia iturrikoak dira.[13]
Babiloniako matematika babiloniarraMesopotamiako (gaur egungoIrak) herritarrek egindako edozein matematikari buruzkoa da, sumertarren lehen garaietatik hasi etahelenismoan zehar iakristautasunaren hasierara artekoa.Babiloniako matematika gehiena bi aro oso berezitan garatu zen: K.a. II. milurteko lehen ehun urteak (Babiloniako lehen dinastia), eta K.a. I. milurteko azken ehun urteak (Seleukotar Inperioa). Babiloniak ikerketa-leku gisa eginkizun nagusia izan zuelako deitzen zaio matematika babilionarra. Geroago,Kalifatzaren azpian, Mesopotamia,Bagdad bereziki, Arabiako matematikaren ikerketa-leku garrantzitsua bilakatu zen berriro.
Babiloniako matematikatik daukagun ezagutza 1850etik aurrera aurkitu ziren 400 buztinezko taula baino gehiagotatik dator.Idazkera kuneiformean idatzita, taulak inskribatu ziren buztina umel zegoen bitartean, eta gero egosi egiten zen labe batekin ala eguzkiaren beroarekin. Hauetako batzuk kalitatezko lanak direla dirudi.
Matematika idatzien ezagutzen den ebidentzia goiztiarrena antzinako sumertarrena da, Mesopotamiaren lehen zibilizazioa eraiki zutenak. K.a. 3000tik aurrerametrologia sistema konplexu bat garatu zuten. K.a. 2500 ingurutik aurrera,sumertarrak biderkatzeko taulak idatzi zituzten buztin-tauletan eta ariketa geometrikoaz eta zatiketa problemaz arduratu ziren. Zenbakikuntza babiloniarraren lehen aztarnak ere aro honetakoak dira.
Babiloniako matematikak zenbaki-sistema hirurogeitar batekin idatziak daude. Hemendik dator gaur egungo erabilera hauek: 60 segundo minutu batean, 60 minutu ordu batean eta 360 (60 x 6) gradu zirkulu batean.Segundoen etaminutuen erabilera graduen frakzioak adierazteko ere dator hemendik. Litekeena dasistema hirurogeitarra hautatu izatea 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 eta 30 zenbakiek 60 zatitu ahal baitute. Halaber,egiptoarrak,greziarrak etaerromatarrak ez bezala, babiloniarrak benetako posizio-sistema bat zuten, non ezkerreko zutabean idatzitako zifrak zenbaki handiagoak adierazten zuten, sistema dezimalean bezala.Zenbaki-sistema babiloniarraren gaitasuna zatikiak adierazteko eta biderkatzeko erraztasunean oinarritzen da. Zenbaki-sistema babiloniarra zibilizazio guztietatik hoberena izan zenPizkundera arte, eta bere gaitasuna aparteko zehaztasun konputazionala lortzea baimendu zion; adibidez, YBC 7289 taula babiloniarra √2ren 5 hamartarreko hurbilketa ematen du. Babiloniarrak, ordea, ez zuten komaren baliokidea, horregatik askotan ikur baten lekua ondorioztatu behar zen testuingurutik.Seleukotar Inperiorako, babiloniarrak zero sinbolo bat garatu zuten posizio hutsen adierazle bezala; hala ere, soilik bitarteko posizioetan erabili zen.Zero sinbolo hau ez da agertzen muturretako posizioetan, hortaz, babiloniarrak benetako posizio-sistema bat garatzetik gertu egon ziren.
Babiloniako matematikak jorratutako beste gai batzuk zatikiak,aljebra,ekuazio koadratiko eta kubikoak etazenbaki erregular erreziprokoen bikoteen kalkulua barne hartzen ditu. Taulak, orobat biderkatzeko taulak etaekuazio linealak,koadratikoak etakubikoak ebazteko metodoak zituzten, aipatzeko arrakasta dena garai horretarako. Babiloniako lehen dinastiaren taulakPitagorasen teoremaren ezagutzen den lehenengo adierazpena ere daukate. Hala ere,Babiloniako matematikak ez du erakusten: soluzio zehatzak eta hurbilpenen arteko diferentzia, problemen ebazgarritasuna eta printzipio logiko edo frogen beharraren adierazpena.
Egiptoko matematikaegiptoeraz idatzitako matematika da. Antzinako Egipton gehien garatu zen zientzia-arloa izan zen.Garai helenistikotik, jakitunen hizkuntza idatzian, greziera erabiltzen zen egiptoeraren ordez. Momentu horretatik aurrera Egiptoko matematika Greziakoarekin eta Babiloniakoarekin batu zen matematika helenikoa sortzeko bidea emanez. Geroago Egipton, matematikaren ikerketak arabieren eraginpean jarraitu zuen Arabiako matematikaren partez, arabiera jakitun egiptoarren hizkuntza idatzia bihurtu zenean.
Aurkitu den testu matematiko zaharrenaMoskuko matematika-papiroa da:Egiptoko Inperio Ertainean K.a. 2.000-1.800 inguruan aurkitu zen. Beste testu zahar ugari bezala, gaur egun "hitzak dituzten problemak" edo "historia duten problemak" deitzen denaren datza, antza denez entretenitzeko asmoarekin. Enbor batenbolumena kalkulatzeko metodoa eskaintzen duen problema garrantzi berezia dauka: <<Esaten badizute: 6 altuera bertikala, bider 4 oinarrian (beheko oinarria) eta 2 goialdean (goiko oinarria) duenpiramide-enbor (oinarri karratua duena). 4ren karratua egin eta 16 lortzen duzu. 4 bikoiztu eta 8 lortu. 2ren karratua egin eta 4 lortzen duzu. 16a, 8a eta 4a batu eta 28 lortzen duzu. 6ren herena hartu eta 2 lortzen duzu. 28a bi aldiz hartu eta 56 lortzen duzu. Begira, 56 da. Zuzena aurkituko duzu.>>Papiro honetan dagoen beste erregela multzo bat esfera baten bolumena kalkulatzeko da.
Izan ere, Rhind-en papiroak biltzen dituen honako hiru elementu geometrikoak, geometria analitikoaren hastapenak erakusten dituzte: nola lortupi zenbakiaren hurbilketa;zirkuluakarratu batean bihurtzeko saiakera zaharra; eta ezagutzen denkotangente mota baten erabilera zaharrena. Une jakin batean, papiroak matematikari buruzko hausnarketa egiten du: "Natura aztertzeko eta existitzen den guztia, misterio oro, sekretu oro ulertzeko arauak".
Indiako matematikaren aurrerapenen artean denbora handiko tarteak ematen dira.
Azpikontinente indiarreko lehenengo zibilizazioa;Indo haraneko zibilizazioa da, K.a. 2600 eta K.a. 1900 urteen inguruan sortu zen Indus ibaiaren inguruan. Beraien hiriak egitura geometriko erregularrak erabiliz sortzen zituzten, gaur egunera ez zaizkigu zibilizazio honen dokumentu matematikorik ailegatu.
Indiako dokumentu matematiko zaharrenakSulba Sutras (K.a. VIII. mendetik, K.o. II. mendeen bitartean datatua). Testu erlijiosoa da eta forma ezberdinetako aldareak eraikitzeko araua sinplea ematen ditu (karratuak, laukizuzenak, paralelogramoak… ). Sulba Sutra idatzian karratu batenneurriak ezagutuz, antzekoazalera duenzirkulu bat eraikitzeko metodoa deskribatzen da, honekπ-ren hurbilpenak dakartza. Gainera, 2 zenbakiarenerro karratuaren zenbait dezimal kalkulatu, Pitagorasen laukiak zerrendatu etaPitagorasen teoremaren adierazpen bat ematen du. Emaitza guzti hauekBabiloniaren matematiketan aurki daitezke,Mesopotamiako influentzia nabarmenduz. Ez dakigu zenbateraino eragin zuen Sulba Sutrak Indiako matematikarietan.
PaniniK.a. V. mendeansanskrito erregelak formulatu zituen. erregela hauek idazteko erabili zuen notazioa, matematika modernoen notazio oso antzekoa izan zen. Paninik bere idazkietan meta erregelak, transformazio linealak eta errekurtsibitatea erabili zituen.
Pingalak (c. K.a. III-I. mendeetan)musika etametriken liburu bat idatzi zuen. Bertan metrika musikalen konbinaziorako planteatzen duen ideia,Newtonen binomioaren teoremaren oinarrizko bertsio bat da. Gainera liburu honetan Fibonacciren zenbakien oinarrizko ideiak agertzen dira, mātrāmeru izenekoak.
Matematika helenikoa, edo matematika grekoa, K.a. 600. urtetik K.o. 300. urtera arte[16] grekoz idatzitako matematika da. Matematikari grekoak Ekialdeko Mediterraneotik sakabanaturiko hirietan bizi ziren, hizkuntza eta kultura komun baten bitartez elkartuak.Alejandro Handiaren ondoren egindako matematikei matematika helenistiko deitu ohi zaie.
Matematika grekoa aurreko herriek egindako matematika baino sofistikatuagoa zen. Matematika prehelenikoaren erregistro guztiekarrazoiketa induktiboaren erabilera erakusten dute; hau da, erregela orokorrak sortzeko zenbait behaketaren erabileran oinarritzen zen. Matematikari grekoek, aldiz, arrazoiketa deduktiboa erabiltzen zuten. Logikaz baliatuz, konklusioak edo teoremak ondorioztatzen zituzten; horretarako, definizioetatik edo axiometatik abiatzen ziren.[17] Matematika axiometan oinarrituriko teorema multzo bat delako ideia Euklidesen"Elementuak" tratatuan dago azalduta.
Matematika grekoaTales etaPitagorasekin batera hasi zela uste da. Hala ere, eta matematikari horien eragina zenbaterainokoa izan zen eztabaidatu daitekeen arren, matematika grekoa egiptoar, mesopotamiar eta indiar matematikan dago oinarrituta.
Elezaharraren arabera, Pitagorasek Egiptora bidaiatu zuen matematika,geometria etaastronomia egiptoar apaizengandik ikasteko. Uste da Pitagoras izan zela haren izena daraman teoremaren lehenengo frogapenaren egilea; hala eta guztiz ere, teorema horren enuntziatuak istorio oso luzea dauka.[16] Talesek, bestalde, geometria erabili zuen zenbait problema ebazteko, hala nolapiramideen altuera edota ur ertzaren eta ontzien artekodistantzia kalkulatzea.Proklo-k, Euclidesi buruz egin zuen iruzkinean, Pitagorasek haren izena daraman teorema adierazi zuela baieztatzen du, baita hirukote pitagorikoak geometrikoki ez baizik aljebraikoki sortu zituela ere.Platonen Akademiak goiburu bat zuen: “Ez dadila sar geometriaz ez dakien inor”.
Pitagorikoekzenbaki irrazionalen existentzia frogatu zuten. Eudoxiokexhauzio-metodoa garatu zuen, gaur egungo integrazioaren aurrekaria.Aristoteles izan zen logikaren arauak idazten lehenengoa. Euklidesek gaur egun erabiltzen den metodologia matematikoaren adibiderik goiztiarrena eman zuen, axiomak, frogapenak, teoremak eta problemak barneratuz. Konikak ere ikasi zituen. Bere “Elementuak” liburuak garaiko matematika osoa biltzen du. Bertan matematikaren funtsezko problema guztiak garatzen dira. Problema geometrikoez gain beste motatako problemak jorratzen dira, hala nola aritmetikoak, aljebraikoak eta analisi matematikoaren ingurukoak.
SiracusakoArkimedesek exhauzio-metodoa erabili zuen parabola baten arkuaren behe-parteko gainazala kalkulatzeko, serie infinitu batenbatukari bat erabiliz, etapi-ren hurbilketa oso ona eman zuen.Espirala ere ikertu zuen (hark berak eman zion izen hori), eta baibiraketa-gainazalenbolumenetarako formulak eta zenbaki oso handien adierazpenerako metodo oso burutsua ere.
Qin Shi Huang enperadoreak, K.a. 212. urtean,Qin estatutik kanpoko liburu guztiak erretzea agindu zuen. Agindua ez zuten guztiek bete, baina agindu horren ondorioz Antzinako Txinako matematikari buruz oso gutxi dakigu. Erreketari biziraun zion matematika libururik zaharrenaI Ching-a izan zen, helburu filosofiko, matematiko eta mistikoekin trigramak eta hexagramak erabiltzen dituela. Objektu matematiko hauek lerro oso edo zatituez eraturik daude.
Geometriaren inguruko Txinako lanik zaharrenaMoziren jarraitzaileek bildutako "Mo Jinga" dugu, zeinakfisikarekin erlazionatutako arlo askoren ingurukoak deskribatu zituen, baita matematika pixka bat eman ere.
Liburu erreketaren ondoren,Han dinastiak lan matematikoak sortu zituen. Hauen artean “Arte matematikoari buruzko bederatzi kapituluak” izan zen garrantzitsuena. Izenburu osoa K.o. 179. urtean agertu zen, baina lehenago existitzen zen beste izenburu batzuen atal gisa. Lan honetan 246 problema ikus ditzakegu, problema hauetan arlo desberdinak jorratzen direlarik, hala nola nekazaritza, negozioak, pagoden dimentsioak ezartzeko geometriaren erabilerak, ingeniaritza, lur-neurketa eta triangelu zuzenei etapi-ari buruzko nozioak.Bolumenen gainean Cavalieriren printzipioa ere erabili zen Cavalierik mendebaldean formulatu baino mila urte lehenago.Pitagorasen teoremari buruzko probak sortu ziren, baita Gaussen eta Jordanen eliminazioaren formulazio matematikoa ere. Liu Huik lanaren inguruko iruzkina egin zuen III. mendean inguru.
Txinatarrek diagrama konbinatorio konplexuak erabili zituzten “lauki magikoa” edo “zirkulu magikoa” izenez ezagutuak, antzinako garaietan deskribatuak eta Yang Huik hobetuak.V. mendean Zu Chongzhik pi-ren balioaren kalkulua egin zuen zazpi dezimalekin, pi zenbakiaren baliorik zehatzena lortuz ia mila urtez.
Japonian garatzen den matematikaEdo Aroan zehar mendebaldeko matematikaren independentea da. Aro honetan bizi izan zenSeki Kōwa matematikaria, wasanaren (japoniar matematika tradizionala) garapenean eragin handikoa izan zena. Bere aurkikuntzak (kalkulu integralaren ingurukoak, besteak beste)Gottfried Leibniz bezalako matematikari europar garaikideekiko aldiberekoak dira.
Garai horretako matematika japoniarra matematika txinatarrean inspiratzen da eta problema geometrikoei bideraturik dago.Sangaku izeneko zurezko tauletan, «enigma geometrikoak» proposatzen eta ebazten dira. Hortik dator, esate baterako,Soddy-ren seikotearen teorema.
Kalifatza,Persian,Ekialde Hurbilean,Erdialdeko Asian,Iparraldeko Afrikan,Iberiar penintsulan etaIndiako zati batzuetan finkatuta zegoena,VIII. mendean matematiketan gehikuntza adierazgarriak egin zituzten. Matematikako testuislamiar gehienak arabieraz idatzita egon arren, horietako gehienak ez zituzten arabiarrak idatzi.Grekoa zeukan estatusa munduHelenistikoan bezala, Kalifatzanarabiera erabiltzen zen arabiarrak ez ziren jakitunen hizkuntza idatzia bezala. Persiarrak mundu matematikora gehikuntzak egin zituzten arabiarrekin batera.
IX. mendeanMuḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, matematikari persiarra, hainbat liburu garrantzitsu idatzi zituenzenbaki-sistema hindu-arabikoan eta ekuazioak ebazteko metodoetan. Bere liburua "Burutze eta orekatze bidezko kalkuluaz", 825 inguruan idatzita, Al-Kindi lanarekin batera, indiar matematika eta zenbakikuntza indiarra mendebaldera zabaltzeko lagungarriak izan ziren. Algoritmo hitzaAlgoritmi hitz latindarretik eratorri zen, eta aljebra hitza bere liburu baten izenburutik dator: "Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala" (euskeraz: "Burutze eta orekatze bidezko kalkuluaz"). Erro positiboenekuazio koadratikoentzako soluzio aljebraikoaren azalpen sakona eman zuen; aljebra oinarrizko modu batean irakasten lehena izan zen."Sinplifikazio"-rako eta "orekatze"-rako funtsezko metodoaz hitz egin zuen, kendutako gaiaren lekualdaketa ekuazioaren beste aldera aipatuz, hau da, gai berdinen ezeztapena ekuazioaren aurkako aldeetan. Eragiketa hauda al-Khwārizmī-ekal-jabr bezala deskribatu zuena.
Egipton, Abu Kamil aljebrazenbaki irrazionalen multzora hedatu zuen,erro karratua eta laugarren erroa soluzio bezala eta ekuazio koadratikoentzako koefizienteak onartuz. Hiru aldiberekoekuazio ez-lineal hiru ezezagunekin ebazteko teknika garatu zuen. Honen lanaren ezaugarri esklusiboa zen: problema batzuen emaitza posible guztiak aurkitzen saiatu zela, problema baterako 2676 soluzio aurkitu zituen. Honen ikerketak aljebraren garapenerako oinarri garrantzitsu bat osatzen zuten, geroko matematikarietan eragin zuten, hala nola,Al-Karaji etaFibonacci.
Aljebraren hurrengo garapenak Al-Karaji-gatik egin zirenAl-Fakhri tratatuan, non kopuru ezezagunenberretura osoak eta erro osoak gehitzeko metodologia zabaltzen duen. K.o. 1000 inguruan froga baten hurbil dagoen zerbait agertzen da Al-Karaji idatzitako liburu batean, zeinNewtonen binomioa,Pascalen hirukia etaintegral karratuen batuketa frogatu nahi baitzituen. Matematiken historialaria,F. Woepcke, Al-Karaji zoriondu zuen "kalkulu aljebraikoaren teoria aurkezten lehena" izateagatik.X. mendean ere,Abul Wafa Diofantoren obrak arabiarrera itzuli zituen.Ibn al-Haytham 4. berreturen batura egiteko formula lortzen lehena izan zen, erabili zuen metodoa erraz orokortu daiteke edozein zenbaki osoren berreturen baturentzako.Paraboloide batenbolumena aurkitzeko integrazio bat egin zuen, eta 4. mailakopolinomioetaraino integralak orokortzeko gai izan zen. Beraz, polinomioen integralentzako formula orokortu bat aurkitzetik gertu egon zen, baina 4. maiatik gorako polinomioetan jakin mina ez zeukan.
XI. mendean,Omar Khayyam "Euclidesen zailtasunen eztabaida" idatzi zuen, liburu batEuklidesen "Elementuak" lanean hautematen zituen akatsekin, batez ere Euklidesen 5. postulatua.Ekuazio kubikoen soluzio geometriko orokorra aurkitzen lehena izan zen etaegutegi erreforman eragin handia izan zuen.
XIII. mendean,Nasir al-Din Tusi-k trigonometria esferikoan aurrerapenak egin zituen. Honek ere Euklidesen 5. postulatuaren eragin handiko lana idatzi zuen. XV. mendean,Ghiyath Al-Kashi-k π balioaren neurketa 16. hamartarrera hurbildu zuen. Kashi-k n. erroak kalkulatzeko algoritmo bat ere eman zuen, zeina mende batzuk geroagoRuffini-k etaHorner-ek emandako metodoen kasu partikularra baitzen.
Arabiako matematiken beste lorpen batzuk garai honetan dira:komaren notazioaren gehikuntza zenbakikuntza arabiarrera, sinuaz gain funtzio trigonometriko guztien aurkikuntza, Al-Kindi-ren sarrera kriptoanalisira eta maiztasun analisira,Ibn al-Hayatham-ek geometria analitikoan egindako garapena,geometria aljebraikoaren hasiera Omar Khayyam-en partez etaal-Qalasādī-k egindako garapena notazio aljebraikoan.
Erdi aroan gartutako matematika orden natural baten sinesmenak bultzatu zuen. Boeciok matematikak kurrikulumaren gaitasun moduan ezarri zuenVI. mendeanQuadrivium hitza erabiliz;aritmetika,geometria,astronomia etamusikaren azterketa metodikoak biltzeko, bere "Institutione arithmetica" liburuan. Liburu honetan autore ezberdinen itzulpenak aurkitzen ditugu, ezaterako Nicómacorenak. Liburu hau, Erdi Aroko matematikaren oinarri bihurtu zen, greziar eta arabiar lanak errekuperatu ziren arte.
XII. mendean,Italia etaEspainian, batez ere, arabiar testuak itzultzen dira eta greziarrak aurkitzen dira.[18]Toledo kultura eta itzulpenen erdigune bilakatzen da, Europako jakintsuak Espainiara etaSiziliara bidaiatzen dute literatura zientifiko arabiarraren bila. Itzuli ziren lanetatik garrantzitsuenakal-Khwārizmī ren Burutze eta orekatze bidezko kalkuluaz etaEuklidesen "Elementuak" izeneko liburua izan ziren.
Europatik arabiar mendebaldera irekitzen diren ibilbide berriek, Europari hazkunde ekonomiko eta komertziala dakar. Guzti honek merkatari europarrei arabiar kulturan transmititzen diren teknikak ikastea baliatzen die. Jakintza iturri berriek bultzada garrantzitsua ematen dio matematikari.Fibonaccik bereLiber Abaci liburua idazten du 1202-an, eta berriz editatua 1254-an, honek Europako lehenengo aurrerapen garrantzitsua dakarZenbaki-sistema hindu-arabikoa: zenbaki arabiarrak (notazio dezimala, posizionala etazero zenbakiaren erabilpen arrunta). "Quadrivium" liburuan teorikoki azaldua eta baita ere erabilpen komertzialari zuzendua. Jakintza hauekbotteghe d'abbaco edo «abako eskoletan» irakasten zen, nonmaestriak aritmetika, geometria eta kalkulu metodoak irakasten zizkieten etorkizuneko merkatariei. Maisu hauek jakituria transmititzeko jolas-arazoak biltzen zituen «aljebra-hitzarmenak» izeneko liburua garatu zuten.
XIV. mendea garapen bortitza jasan zuen matematikaren arloak[19], ezaterako mugimenduaren dinamikak.Thomas Bradwardinek proposatu zuenabiadura proportzio aritmetiko batean hazi egiten dela etaindarra erresistentziari proportzio geometriko batean hazi egiten den moduan. Bere emaitzak zenbait adibide zehatz erabiliz erakusten ditu, izan ere oraindik ez zegoenlogaritmoa garatuta.[20] Berak egindako analisiaAl-Kindi etaArnau Vilanovakoa erabilitako teknika matematikoaren transmisioa nolakoa izan zen ikusteko balio du.
Garai honetako matematikariak ez zituzten kalkulu diferentzialaren edota limite matematikoaren kontzepturik, beraz ideia alternatiboak garatzen dituzte, batez ere zinematikako problemak kalkulatzen saiatzen dira. Honen adibidetzat daukaguOxfordeko,Merton Collegeko kalkulariak, talde honek garatutako teoremarik garrantzitsuenabatez besteko abiaduraren teorema izan zen. Teorema hau idazkera zinematiko eta sinpleago batean Galileoren gorputzen erorketa legearen oinarria izan zen.
Nicolas Oresmek etaGiovanni di Casalik, bakoitza bere kabuz, Galileoren gorputzen erorketa legearen frogapen grafiko batera heldu ziren.[20]Geroago Oresmek analisi zehatzago bat burutu zuen, honetan frogatu zuen gorputz guztiek denboren igarotzearekin, ezaugarri bat, zenbaki bakoitiak bezala hazi egiten dela. Euklidesen emaitza, zenbakien karratuak zenbaki bakoitien batura direla, erabiliz jasotako ezaugarria denboraren karratura hazi egiten dela ondorioztatzen zuen.
1494. urtean Luca Pacioli "Summa de Arithmetica, Geometría, Proportioni et Proportionalità" liburua idazten du. Liburu hau merkatari eta merkatari ikasleei zuzenduta zegoen, honetan kontabilitate eta notazio hitzarmenak sartzen ditu Paciolik, hala ereigarkizun etaburuhauste matematikoak aurkitzen ditugu bere barnean. "Summa de Arithmetica" liburua izan zen sinboloak erabili zituen lehenengo liburu inprimatua, eta honek notazioa finkatu zuen. Liburua hau lehenengo aljebra liburua deritzo, hala ere bertan dagoen aljebrarekiko gehiengoa Piero della Francesca matematikariaren lanetatik plagiatuta dago.
XVI. medearen lehenengo erdialdean,Scipione del Ferro etaNiccolò Fontana Tartaglia funtzio kubikoen emaitza konplexuak aurkitzen dituzte, ekuazioen ebazpenean lan egiten. Ostean Tartagliak berriro lan egin zuen gaiaren inguruan Bombellirekin batera. Gerolamo Cardano "Ars magna" liburua publikatu zuen, bertan Ferrariren, bere ikasle zenaren lan batekin, non 4. mailako ekuazioak ebatzi zituen. 1572. urteanRafael Bombellik "L'Algebra" liburua argitaratu zuen, bertan kopuru irudikariak erabiltzen irakasten du Cardanoren formulan 3.mailako ekuazioetan agertu daitezkeelako.
XVI. medearen amaieran arazo matematikoak ebazteko zailtasunak izaten jarraitzen dute. 1596. urtean kalkulu sinbolikoa agertzen da,François Vièteren "Isagoge Artem Analycitem" izeneko liburuaren argitalpenarekin. Bertankonstanteentzako eta bariableentzako notazioa ezartzen da. Vieteren lanaHarriot,Fermat etaDescartesek zabaldu eta hobetzen dute eta guzti honek Europan garatuko den aljebra erabat aldatuko du.
XVIII. mendeko hasieran,Leonhard Euler izan zen nabarmendutako matematikari garrantzitsuena.[22] Funtzio matematiko eta zenbaki teorian egindako aurrerapenak izan ziren Eulerren ekarpen garrantzitsuenak.
Aurreko mendean martxan jarritakokalkulu infinitesimalak, matematikaren adar berri baten sorkuntza ekarri zuen,analisi aljebraikoa. Eulerrek infinitu txikien erabilpenen erregelak finkatzen ziatzen da baita ere integrazio metodoak eta ekuazio diferentzialen ebazpenak garatzen ditu bere "Calculi différentialis" (1755) y en "Institutiones calculi integralis" liburuetan. Garai honetan garrantzia handia izan zuten matematikarien artean;Jean le Rond d'Alembert etaJoseph-Louis Lagrange ditugu. 1797. urteanSylvestre François LacroixTraité du calcul différentiel et intégral liburua argitaratzen du, bertan XVIII. medekoanalisi lanen sintesia egiten du.Bernoulli familia ekuazio diferentzialen ebazpenean aurrerapenak egiten ditu.
Matematikaren hazkunde azkarrak oinarri guztiak berrikusteko beharrak eragindako krisia eragin zuen, eta, horren ondorioz, matematikaren oinarriak zorroztasunez lortzeko lan egin zen. Izan ere, XIX. mendearen amaieran jaio zen gaur egungo matematika,Richard Dedekind etaLeopold Kroneckerren lanei esker.[23]
1900. urtean,Matematikarien Nazioarteko Kongresuaren aurrean egindako hitzaldi batean,David Hilbertek 23 matematika-problemen zerrenda proposatu zuen. Zerrenda horrek, erronka bat izan zen garaiko matematikarientzat. Hala ere, orain arte (2019), 12 ebatzi dira, 6 ia ebatzita daude eta 4 ebatzi gabe jarraitzen dira; geratzen dena oso modu lausoan formulatuta dago, ebatzi den ala ez erabakitzeko.
Garai hartan matematikarien arteko elkarlan ugariak nabarmenak izan ziren. Adibidez, 1955 eta 1983 urteetan zehar, gutxi gorabehera 100 egileren 500 artikulu behar izan zirentalde-bakunen sailkapenaren teorema frogatzeko. Horren beste adibide bat da Frantziako matematikari talde bat,«Nicolás Bourbaki» izenekoa, non haren helburua ezagutza matematiko osoa zorroztasunez azaltzea zen. Emaitza dozenaka liburu izan ziren, "matematikako elementuetan" liburuan bildutakoak, eta eragina izan du matematikako hezkuntzan.[24]
Ordenagailuen asmakuntzak eta etengabeko aurrerapenak, gero eta datu kopuru handiagoekin lan egitea ahalbidetu zuten eta arlo berriak sortu ziren, hala nola,Alan Turing-enkonputazioaren teoria;konplexutasun konputazionalaren teoria;Claude Shannon-en informazioaren teoria; seinaleen prozesaketa; datuen analisia;optimizazioa eta eragiketak ikertzeko beste arlo batzuk. Aurreko mendeetan, kalkuluan etafuntzio jarraituetan arreta guztia jartzen zen baina, konputazioaren eta komunikazio-teknologiaren sorreraren ondorioz,matematika diskretuak,konbinatoriak etagrafoen teoriak garrantzia hartu zuten. Garai hartako konputazio-denbora datuak prozesatzeko, nahikoa izan zen eskuz ebazteko unagarriak diren problema batzuk ebazteko. Horren ondorioz, ordenagailuak erabiltzen hasi zirenzenbakizko analisian eta kalkulu formalean.
↑Sir Thomas L. Heath,A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p. 1: "In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science."
↑George Gheverghese Joseph,The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, Penguin Books, London, 1991, pp. 140–48
↑Georges Ifrah,Universalgeschichte der Zahlen, Campus, Frankfurt/New York, 1986, pp. 428–37
↑Robert Kaplan, "The Nothing That Is: A Natural History of Zero", Allen Lane/The Penguin Press, London, 1999
↑"The ingenious method of expressing every possible number using a set of ten symbols (each symbol having a place value and an absolute value) emerged in India. The idea seems so simple nowadays that its significance and profound importance is no longer appreciated. Its simplicity lies in the way it facilitated calculation and placed arithmetic foremost amongst useful inventions. the importance of this invention is more readily appreciated when one considers that it was beyond the two greatest men of Antiquity, Archimedes and Apollonius." – Pierre Simon Laplacehttp://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Indian_numerals.html
↑Marshack, Alexander (1991):The Roots of Civilization, Colonial Hill, Mount Kisco, NY.
↑Marshack, A. 1972. The Roots of Civilization: the Cognitive Beginning of Man’s First Art, Symbol and Notation. New York: McGraw-Hil
↑Thom, Alexander, and Archie Thom, 1988, "The metrology and geometry of Megalithic Man", pp. 132–51 in C.L.N. Ruggles, ed.,Records in Stone: Papers in memory of Alexander Thom. Cambridge University Press.ISBN 0-521-33381-4.
