Euklides eskolak ematen,Atenasko eskola margolanaren xehetasunean (Rafael).
Matematika ezagutza-arlo bat da. Bertan sartzen diren gaien artean, zenbakiak daude, formulak eta erlazionatutako egiturak, formak eta horiek biltzen dituzten espazioak, eta kantitateak eta euren aldaketak. Gai horiek matematika modernoan irudikatzen dira,zenbakien teoriaren[1],aljebraren[2],geometriaren etaanalisiaren[3][4] azpi-diziplina handiekin, hurrenez hurren. Matematikariek ez dute adostasun orokorrik berendiziplina akademikoaren definizio komun bati buruz.
Matematika-jardueraren zatirik handienean,objektu abstraktuen propietateak aurkitu behar dira, eta horiekfrogatzekoarrazoimen hutsa erabili. Objektu horiek naturaren abstrakzioak dira, edo, matematika modernoetan, zenbait propietate dituzten entitateetan,axioma deritzenetan. Froga bat daarau deduktiboen aplikazioen segida bat jadanik ezarrita dauden emaitzetan. Emaitza horiek aldez aurretik frogatutakoteoremak, axiomak eta, naturaren abstrakzioaren kasuan, kontuan hartutako teoriaren abiapuntutzat jotzen diren oinarrizko propietate batzuk dituzte[5].
Historikoki, frogapenaren kontzeptua eta hari lotutako zorroztasun matematikoa lehen aldiz agertu zirengreziar matematikan, batez ere EuklidesenElementuetan[8]. Hasieratik, matematika funtsean geometrian etaaritmetikan (zenbaki naturalen etazatikien manipulazioan) banatu zen, XVI. eta XVII. mendeetara arte, aljebra etakalkulu infinitesimala eremu berri gisa sartu zirenean. Ordutik aurrera, berrikuntza matematikoen eta aurkikuntza zientifikoen arteko elkarreraginak bi horien garapena azkar handitzea ekarri du[9]. XIX. mendearen amaieran, matematikaren sorrerako krisiakmetodo axiomatikoaren sistematizaziora eraman zuen[10], zeinak iragarri baitzuen izugarri handitu zirela matematika-arloen kopurua eta haien aplikazio-eremuak. Matematika-irakasgaien egungo sailkapenak lehen mailako 60 matematika-arlo baino gehiago aipatzen ditu.
Nahiz eta matematika izena Grezia klasikotik datorkigun,Babiloniar Inperioko garaiko aztarnek, jadanik zenbatzeko sistema konplexuak izateaz gainera 3.mailako zenbait ekuazio ebazteko metodoak bazituztela erakutsi dute. Ezaguna da baita ere antzinako egiptoarrekNilo ibai hertzeko lurraldeak mugatzeko trigonometria erabiltzen zutela. Geometrian ere aurreratuak ziren, piramideak eraikitzeko ezinbestekoa.
Antzinaroan, gaur egungo matematikaren arlo batzuen oinarriak ezarri baziren ere, grekoak izan ziren ordura arte ezagutzen zena,zientzia arrazional eta estrukturatu batean bihurtzen lehenak. Haiek ideia abstraktuak aztertu zituzten, nahiz eta hasiera batean aplikazio praktikorik ez eduki. Garai honetakoak dira lehenengo teorema geometrikoak,Pitagorasen teorema kasu.Geometria euklidearraren oinarri direnEuklidesen bost axiomak ere garai hartakoak dira.
EuropanXIII. mendea arte ez zen aurrerapen garrantzitsurik gertatu. Mende horietan zehar batez ere indiar eta txinatar matematikariek garatu zuten matematika. Indiarrak izan zirenzerozenbakia matematikan sartu zutenak (K.o. 650) eta txinatarrak aldiz, zenbaki negatiboak. Aipatzekoak dira ereVIII. mendetikXVII.era [islamiar]]rek egindako ekarpenak.
1202. urteanLeonardo Fibonacci matematikari italiarrak, islamiar herrialdeetako maisuengandik ikasitakoaren argitalpenak, Europa mailan, greziarren garaitik ematen zen lehen aurrera pausua izan zen. Hala eta guztiz ereXVI. mendean hasi zen benetako pizkundea, ekuazio kubikoen soluzio orokorraren aurkikuntzarekin.XVII. mendeanDescartesek geometria analitikoa garatu zuen, haren ekarpen nabarmenena, haren ohorez ezagutzen direnardatz kartesiarrak izanik. Mende honetan ere,Newton etaLeibnizek, bakoitza bere aldetik,kalkulu diferentziala garatuko dute.Pierre de Fermat etaBlaise Pascalek probabilitate eta konbinatoriaren lehen lan formalak zabaldu zituzten.
XVIII. mendeko protagonistaLeonhard Euler izan zen. Aurkikuntza eta garapen izugarriak egiteaz aparte, Eulerrek eragin handia izan zuen notazio matematikoaren estandarizazioan. Esaterako,John Napierrek ikertutako konstanteari lehen aldize bezala agertu zuen eta zirkunferentzia batek diametroarekin duen erlazioaripi deitu zion.
XIX. mendeak berrizCarl Friedrich Gauss matematikari alemaniarraren lanak ezagutuko ditu. Askorentzat historiako matematikaririk argiena den honek, geometria, aldagai konplexuzko funtzioetan eta serieen konbergentzian egin zituen aurrerapen izugarriak. Honetaz aparte teorema garrantzitsuak ere frogatu zituen, hala nola,Aljebraren oinarrizko teorema. Garai honetan ere, Euklidesen 5. axioma baztertuz, lehen aldiz geometria ez-euklidearrari buruz hitz egin zen. Gero,George Boolek garrantzi handiagoa hartuko zuen 0 eta 1ean oinarritutakoAljebra boolearra garatu zuen.Évariste Galois matematikari frantziarrak, 16 urte zituela, matematikaren arlo berria garatu zuen,Galoisen teoria deiturikoa. Orokorrean esan daiteke matematika abstraktuago bilakatu zela mende honetan.
Garai honetan ere sortu ziren lehen matematika elkarteak. Esaterako1865ean, Londresko matematika elkartea,1872an Frantziako matematika elkartea edo 1889an Amerikako matematika elkartea.
Errenazimentuan beste bi eremu agertu ziren.Notazio matematikoakaljebra ekarri zuen, zeina, oro har, formulak aztertu eta manipulatzean datza.Kalkulua,kalkulu diferentzialaren etakalkulu integralaren bi azpieremuek osatua,funtzio jarraituen azterketa da. Funtzio horiek kopuru aldakorren (aldagaien bidez adieraziak) artekoerlazio ez-linealak modelizatzen dituzte. Lau eremu nagusitan banatze hori –aritmetika, geometria, aljebra eta kalkulua[13]– XIX. mendearen bukaera arte mantendu zen. Orduan, matematikariek aztertu zituztenzeruko mekanika etasolidoen mekanika bezalako arloak, baina orainfisikatzat hartzen dira[14].Konbinatoria historiaren zati handi batean aztertu da, baina ez zen matematikatik bereizitako adar bihurtu XVII. mendera arte[15].
XIX. mendearen amaieran,matematikaren fundazio-krisiak eta, ondorioz,metodo axiomatikoaren sistematizazioak matematikaren arlo berrien leherketa eragin zuten. 2020koMatematika Irakasgaien Sailkapenak lehen mailako hirurogeita hiru arlo ditu gutxienez. Arlo horietako batzuk zatiketa zaharrenari dagozkio, hala nola zenbakien teoriari (goiko aritmetikaren izen modernoa) eta geometriari. Lehen mailako beste eremu batzuek "geometria" dute beren izenean, edo normalean geometriaren zatitzat hartzen dira. Aljebra eta kalkulua ez dira lehen mailako area gisa agertzen, lehen mailako zenbait eremutan banatzen dira, hurrenez hurren. Lehen mailako beste arlo batzuk XX. mendean sortu ziren edo lehenago matematikatzat hartu ez ziren, hala nolalogika matematikoa eta fundamentuak[16].
Erraz enuntziatzen diren zenbakizko problema askok metodo sofistikatuak behar dituzten soluzioak dituzte, askotan matematika guztietakoak. Adibide aipagarri batFermaten azken teorema da. Aieru hori 1637an enuntziatu zuen Pierre de Fermatek, baina 1994 arte ez zuen frogatuAndrew Wilesek,geometria aljebraikoaren eskemen teoria,kategorien teoria etaaljebra homologikoa bezalako tresnak erabilita. Beste adibide batGoldbachen aierua da: 2 baino handiagoa den zenbaki oso bat bi zenbaki lehenen batura dela dio.Christian Goldbachek 1742an enuntziatua, oraindik ez da frogatu ahalegin handiak egin arren.
Esfera baten gainazalean, geometria euklidearra hurbilketa lokal gisa baino ez da aplikatzen. Eskala handiagoan, triangelu baten angeluen batura ez da 180º
Funtsezko berrikuntza batAntzinako Grezianfroga kontzeptua sartzea izan zen, baieztapen guztiak frogatzea eskatzen duena. Adibidez, ez da nahikoa neurketa bidez egiaztatzea biluzera berdinak direla; haien berdintasuna frogatu behar da aldez aurretik onartutako emaitzetatik (teoremak) eta oinarrizko baieztapen batzuetatik abiatuta. Oinarrizko enuntziatuak ez dira frogatu behar bistakoak direlako (postulatuak) edo aztergaiaren definizioaren parte direlako (axiomak). Printzipio hori funtsezkoa zen matematika guztientzat, eta lehen aldiz egin zen geometriarako, eta Euklidesek sistematizatu zuen K.a. 300. urte inguruanElementuak liburuan[18][19].
Geometria analitikoari esker, zirkuluekin eta zuzenekin zerikusirik ez dutenkurbak azter daitezke. Kurba horiekfuntzioen grafiko gisa defini daitezke, eta haien azterketakgeometria diferentziala ekarri zuen.Ekuazio inplizitu gisa ere defini daitezke, askotanekuazio polinomikoak (geometria aljebraikoa eragin zutenak). Geometria analitikoari esker, hiru dimentsiotik gorako espazio euklidearrak ere kontuan har daitezke[17].
XIX. mendean, matematikariekgeometria ez-euklidearrak aurkitu zituzten,paraleloen postulatuari jarraitzen ez diotenak. Postulatu horren egiazkotasuna zalantzan jartzean, uste izan da aurkikuntza hori bat zetorrelaRussellen paradoxarekin, matematikaren fundazio-krisia azaltzean. Krisiaren alderdi hori metodo axiomatikoa sistematizatuz ebatzi zen, eta aukeratutako axiomen egia ez dela problema matematiko bat hartu zen[21]. Era berean, metodo axiomatikoari esker, lortutako geometriak azter daitezke, bai axiomak aldatuz, bai espazioaren eraldaketa jakin batzuen ondoriozaldatzen ez diren propietateak kontuan hartuz[22].
Gaur egun, geometriaren baitan honako azpieremuak daude:
Aljebraekuazioak eta formulak manipulatzeko artea da.Diofanto (III. mendea) etaal-Khwarizmi (IX. mendea) izan ziren aljebraren bi aitzindari nagusiak[23][24]. Diofantok zenbaki natural ezezagunek parte hartzen zuten ekuazio batzuk ebatzi zituen, erlazio berriak ondorioztatuz ebazpena lortu arte. Al-Khwarizmik ekuazioak eraldatzeko metodo sistematikoak sartu zituen, hala nola termino bat ekuazio batetik bestera eramatea. Aljebra terminoaal-jabr arabiar hitzetik dator, "zati hautsien bilera" esan nahi baitu[25], eta metodo horietako bat izendatzeko erabili zuen bere tratatu nagusiaren izenburuan:Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala.
AljebraFrançois Vièterekin (1540-1603) baino ez zen eremu berezi bihurtu, hark aldagaiak erabili zituen zenbaki ezezagunak edo zehaztu gabeak adierazteko[26]. Aldagaien bidez,matematika-formulen bidez irudikatutako zenbakiekin egin behar diren eragiketak deskriba ditzakete matematikariek.
XIX. mendera arte, aljebra, nagusiki,ekuazio linealak (gaur egun aljebra lineala) etaekuazio polinomikoak ezezagun bakar batean aztertzean oinarritzen zen,ekuazio aljebraiko deritzenak (oraindik erabiltzen den terminoa, anbiguoa izan arren). XIX. mendean, matematikariak aldagaiak erabiltzen hasi ziren zenbakiez bestelako gauzak irudikatzeko (hala nolamatrizeak,aritmetika modularra etatransformazio geometrikoak), eta, askotan, baliagarriak izaten dira eragiketa aritmetikoen orokortzeak.Egitura aljebraikoaren kontzeptuak gai horri heltzen dio[27].Multzo horren elementuak ez dira zehazten, multzoko elementuetan eragiten duten eragiketetan eta eragiketa horiek jarraitu behar dituzten arauetan. Hala, aljebraren eremua handitu egin zen, egitura aljebraikoak aztertu arte. Aljebraren objektu horrialjebra modernoa edoaljebra abstraktua deitu zitzaion,Emmy Noetherren eraginak eta lanek ezarri bezala[28] (azken termino hori batez ere hezkuntza-testuinguru batean agertzen da, aljebra elementalaren aurka, zeina formulak manipulatzeko modurik zaharrenaz arduratzen baita).
Egitura aljebraiko mota batzuek propietate erabilgarriak dituzte, eta askotan funtsezkoak, matematikaren arlo askotan. Haren azterketa aljebraren zati autonomo bihurtu zen, eta hauek biltzen ditu:
Cauchyren segida, arbitrarioki gertuago dauden elementuz osatua.
XVII. mendekoNewton etaLeibniz matematikariek modu independentean eta aldi berean sortu zutenkalkulu infinitesimala. Funtsean, elkarren mende dauden aldagaien zerrenda aztertzea da[31]. XVIII. mendean,Eulerrek handitu egin zuen kalkulua, funtzio kontzeptua eta beste emaitza asko sartuz. Gaur egun, "kalkulua" batez ere teoria horren oinarrizko zatiari dagokio, eta "analisia" eskuarki zati aurreratuetan erabiltzen da[32].
Analisia, era berean, honela banatzen da:analisi erreala (aldagaiek zenbaki errealak adierazten dituzte), etaanalisi konplexua (aldagaiek zenbaki konplexuak adierazten dtituzte). Analisiak matematikaren beste arlo batzuek partekatutako azpiarlo asko biltzen ditu, besteak beste:
Bi-egoerakoMarkoven kate baten diagrama. Egoera bakoitzak 'A' edo 'E' letrak daramatza. Zenbakiak batetik bestera aldatzeko probabilitatea dira.
Matematika diskretuak, adiera zabalean, objektu matematiko indibidualen etamultzo zenbakigarrien azterketa dira. Adibide bat zenbaki oso guztien multzoa da[33]. Aztergaiak diskretuak direnez, kalkulu eta analisi matematikoko metodoak ez dira zuzenean aplikatzen.Algoritmoek –bereziki haien inplementazioa etakonplexutasun konputazionala– funtsezko zeregina dute matematika diskretuetan[34].
Lau koloreen teorema etaesferen paketatze optimoa XX. mendeko bigarren erdian ebatzitako matematika diskretuen problema nagusietako bi izan ziren[35].P vs NP problema, gaur egun soluziorik gabe dagoena, matematika diskretuentzat ere garrantzitsua da, haren konponbideak arazo zail askori eragin baitiezaieke konputazioaren ikuspuntutik[36].
Matematika diskretuen barruan, honakoak sartzen dira:
Konbinatoria: emandako muga batzuk asetzen dituzten objektu matematikoak zerrendatzeko artea. Jatorrian, objektu horiek multzo jakin baten elementuak edo azpimultzoak ziren; hori hainbat objektutara zabaldu da, eta horrek lotura handia ezartzen du konbinatoriaren eta matematika diskretuaren beste zati batzuen artean. Adibidez,geometria diskretuak forma geometrikoen konfigurazioen zenbaketa barne hartzen du.
Logika matematikoaren bi gaiak etamultzo-teoria XIX. mendearen bukaeratik daude matematikan[37][38]. Garai horren aurretik, multzoak ez ziren objektu matematikotzat hartzen, etalogika, nahiz eta matematika-erakustaldietarako erabili,filosofiarena zen eta matematikariek ez zuten berariaz aztertzen[39].
Cantorrekmultzo infinituak aztertu baino lehen, matematikariek ez zituzten onartzen bildumabenetan infinituak, etainfinitua zenbaketa amaigabe baten emaitza zela uste zuten. Cantorren lanak mindu egin zituen matematikari asko, multzoak benetan infinitutzat jotzeagatik ez ezik[40], horrek infinituaren tamaina desberdinak dakartzala frogatzeagatik ere,Cantorren Argudio Diagonalaren arabera. Horrek Cantorren multzoen teoriari buruzko eztabaida ekarri zuen.
Aldi berean, matematikaren zenbait arlotan ondorioztatu zen oinarrizko matematika-objektuen antzinako definizio intuitiboak ez zirela nahikoak matematika-zehaztasuna bermatzeko. Definizio intuitibo horien adibideak dira "multzo bat objektu-bilduma bat da", "zenbaki arrunta da zenbatzeko erabiltzen dena", "puntu bat zero luzera duen forma bat da norabide guztietan", "kurba bat da mugitzen ari den puntu batek utzitako arrastoa", etab.
Hori matematikaren fundazio-krisi bihurtu zen[41]. Denborarekin, matematikaren korronte nagusian ebatzi zen, metodo axiomatikoa sistematizatuzmultzoen teoria formalizatu baten barruan. Oro har, objektu matematiko bakoitza antzeko objektu guztien multzoak eta objektu horiek izan behar dituzten propietateek definitzen dute. Adibidez,Peanoren aritmetikan, zenbaki arruntak honela definitzen dira: "zero zenbaki bat da", "zenbaki bakoitzak oinordeko bakarra du", "zenbaki bakoitzak zero izan ezik aurrekari bakarra du" eta arrazoitzeko arau batzuk[42]. Errealitatearenabstrakzio matematiko horiformalismoaren filosofia modernoan islatzen da,David Hilbertek 1910 inguruan sortu zuen bezala[43].
Horrela definitutako objektuen "izaera" matematikariek filosofoen esku uzten duten problema filosofikoa da, nahiz eta matematikari askok izaera horri buruzko iritziak izan eta beren iritzia —batzuetan "intuizioa" deiturikoa— erabili haien azterketa eta frogak gidatzeko. Ikuspegiak aukera ematen du "logikoak" (hau da, kenketa-arau baimenduen multzoak), teoremak, probak eta abar kontuan hartzeko. objektu matematiko gisa, eta haiei buruzko teoremak frogatzea. Adibidez,Gödelen ez-osotasunaren teoremek, oro har, esaten dute ezen, zenbaki naturalak dituen sistema formal tinko orotan, badaude egiazkoak diren teoremak (hau da, sistema solidoago batean froga daitezkeenak), baina sistemaren barruan ezin direla frogatu[44]. Matematikaren oinarrien ikuspegi hori zalantzan jarri zuten XX. mendearen lehen erdianBrouwer buru zuten matematikariek,logika intuizionista sustatu baitzuten, ez baitzuen esplizitukihirugarrena baztertzearen printzipio[45][46].
Estatistikaren eremuadatu-laginak bildu eta tratatzeko erabiltzen den aplikazio matematikoa da, metodo matematikoetan oinarritutako prozedurak erabiliz, berezikiprobabilitatearen teoria. Estatistikoekausazko laginketak edo ausazkoesperimentuak dituzten datuak sortzen dituzte[48]. Lagin edo esperimentu estatistiko baten diseinuak zehaztuko ditu erabiliko diren metodo analitikoak.Behaketa-azterketetatik datozen datuen analisiaeredu estatistikoen etainferentziaren teoriaren bidez egiten da,ereduen hautapena etazenbatespena erabiliz. Ondoren, lortutako ereduak eta iragarpenak datu berriekin probatu behar dira.
Matematika konputazionala giza zenbaki-gaitasunerako handiegiak izan ohi diren problema matematikoen azterketa da[51][52]. Zenbakizko analisiakanalisi funtzionalaren etahurbilketaren teoriaren bidez analisi-problemetarako metodoak aztertzen ditu; zenbakizko analisiak, oro har, hurbilketaren eta diskretizazioaren azterketa barne hartzen du, eta arreta berezia jartzen diebiribiltze-akatsei[53]. Zenbakizko analisiak eta, zabalago, konputazio zientifikoak matematika-zientziaren gai ez-analitikoak ere aztertzen dituzte, batez erematrizeen etagrafoen teoria algoritmikoa. Matematika konputazionalaren beste arlo batzukaljebra konputazionala etakalkulu sinbolikoa dira.
Gaur egun erabiltzen den notazio matematikoaren gehiengoa ez zen XVIII. mende arte asmatu. Hori baino lehen, matematikak hitzez idazten ziren, horrek matematikaren aurreratzea mugatzen zuen. XVIII. mendean,Euler, gaur egun erabiltzen diren notazio askoren asmatzaile izan zen. Notazio modernoak asko errazten dizkie matematikak profesionalei, baina hasiberriei, ordea, zail egiten zaie. Notazioak matematikak murrizten ditu erabat, hainbat ikurrek informazio asko izatea egiten du. Notazio musikala bezala, notazio matematiko modernoak ere sintaxi zorrotz bat badu eta beste modu batera idaztea zaila izango litzatekeen informazioa kodifikatzen du.
Hizkuntza matematikoa ere zaila izan daiteke hasiberrientzat.Edo etasoilik bezalako hitzek, egunerokotasuneko hizkuntzan duten esanahia baino zehatzagoa dute. Gainera,ireki etagorputz esanahi matematiko oso zehatza dute. Jargoi matematikoak, edo hizkuntza matematikoak, termino teknikoak sartzen dituhomeomorfismoa etaintegrazioa bezalakoak. Notazioa eta jargoia erabiltzeko arrazoia hizkuntza matematikoak egunerokotasuneko hizkuntzak baina zehaztasun gehiago behar duela da. Matematikoek hizkuntza eta logikaren zehaztasuna «zorroztasunatzat» jotzen dute.
Zorroztasunafrogapen matematiko baten ezinbesteko baldintza da. Matematikoek haien teoremak axiomei bitartez arrazoiketa sistematiko bat jarraitzea nahi dute. Horrek teorema okerrak saihesteko balio du, intuizio hutseginkorretan oinarrituak izan direnak, historian zehar hainbatetan gertatu dena. Zorroztasun maila aldatzen joan da denboran zehar: grekoek argumentu zehatzak bilatzen zituzten, bainaIsaac Newtonen garaian erabilitako metodoak ez ziren hain zorrotzak. Newtonek erabiltzen zituen definizioei datxikien arazoek analisi arduratsu eta XIX. mendeko frogapenak sustatu zituen. Gaur egun, matematikoak haien artean babesten jarraitzen dira ordenagailuz lagunduriko frogapenen bidez.
Axioma bat tradizionalki «begi bistako egia» bezala interpretatzen da, baina ikuskera horrek arazoak ditu. Esparru formalean, axioma bat sinbolo kate bat besterik ez da, sistema axiomatiko batetik deribatu diren formula guztien testuinguruan berezko esanahia duena.
↑Ferreirós, José. (2023). Zalta, Edward N. ed. «The Early Development of Set Theory»The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Metaphysics Research Lab, Stanford University) (kontsulta data: 2023-06-03).
↑Ferreirós, José. (2023). Zalta, Edward N. ed. «The Early Development of Set Theory»The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Metaphysics Research Lab, Stanford University) (kontsulta data: 2023-06-03).
Peirce, Benjamin. (1881). Linear associative algebra. (Corrected, expanded, and annotated revision with an 1875 paper by B. Peirce and annotations by his son, C.S. Peirce, of the 1872 lithograph. argitaraldia) doi:10.2307/2369153. Corrected, expanded, and annotated revision with an 1875 paper by B. Peirce and annotations by his son, C. S. Peirce, of the 1872 lithograph ed.GoogleEprint and as an extract, D. Van Nostrand, 1882,GoogleEprintjatorrizkotik artxibatua (artxibatze data: March 31, 2021)..
Peterson, Ivars. (2001). Mathematical Tourist, New and Updatad Snapshots of Modern Mathematics. Owl Books ISBN978-0-8050-7159-7..
Whittle, Peter. (1994). «Almost home»Probability, statistics and optimisation: A Tribute to Peter Whittle. (previously "A realised path: The Cambridge Statistical Laboratory up to 1993 (revised 2002)". argitaraldia) John Wiley ISBN978-0-471-94829-2. jatorrizkotik artxibatua (artxibatze data: December 19, 2013).
.jpg)
