Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Edukira joan
WikipediaEntziklopedia askea
Bilatu

Infinitu

Artikulu hau Wikipedia guztiek izan beharreko artikuluen zerrendaren parte da
Wikipedia, Entziklopedia askea

Bernoulli leminiskatak infinituaren ikurra marrazten du formula matematiko baten bidez.[1]

Infinitua (∞{\displaystyle \infty })zenbaki erreal multzoaren goi muga da; amaigabea edo handiagoa den zerbait da. Sinbolo honekin adierazten da: ∞[2]. Kontzeptua matematikaren, filosofiaren eta astronomiaren hainbat adarretan agertzen da, mugarik gabeko edo amaierarik gabeko kopuru bati dagokionez, eta, kopuru hori, finitutasunaren kontzeptuaren aurkakoa da.[3]

Antzinako greziarren garaitik, infinituaren izaera filosofikoak eztabaida ugari izan ditufilosofoen artean. XVII. mendean, infinituaren sinboloaren[2] etakalkulu infinitesimalaren sarrerarekin,matematikariakserie infinituekin lan egiten hasi ziren, eta matematikari batzuek (l'Hôpital etaBernoulli barne)[4] kantitate infinituki txikitzat jotzen zituztenekin, baina infinituak jarraitu zuen prozesu amaigabeekin lotzen. Matematikariek kalkuluaren oinarriarekin borrokan ari zirenez, ez zegoen argi infinitua zenbaki edo magnitude gisa har zitekeen eta, hala izanez gero, nola egin[2]. XIX. mendearen amaieran,Georg Cantorrek infinituaren azterketa matematikoa zabaldu zuenmultzo infinituak eta zenbaki infinituak aztertuz eta hainbat tamainatakoak izan daitezkeela erakutsiz[2][5]. Adibidez, lerro zuzen bat bere puntu guztien multzo gisa ikusten bada, haien kopuru infinitua (hau da, lerroarenkardinalitatea)zenbaki osoen kopurua baino handiagoa da[6]. Erabilera honetan, infinitua kontzeptu matematiko bat da, etaobjektu matematiko infinituak beste edozein objektu matematiko bezala aztertu, manipulatu eta erabil daitezke.

Infinituaren kontzeptu matematikoak, hala, kontzeptu filosofiko zaharra findu eta hedatzen du, batez ere tamaina ezberdineko multzo infinitu anitz sartuz. Zermelo–Fraenkel multzoen teoriarenaxiomen artean, zeinaren gainean garatu daitekeen matematika moderno gehiena, infinituaren axioma dago, multzo infinituen existentzia bermatzen duena[2]. Infinituaren kontzeptu matematikoa eta multzo infinituen manipulazioa oso erabilia da matematikan, baita haiekin zerikusirik ez dutela diruditenkonbinatoria gisako arloetan ere. Esaterako, Wiles-en Fermaten azken teoremaren froga, inplizituki, Grothendieck-en unibertsoen existentzian oinarritzen da, multzo infinitu oso handiak[7], Oinarrizko aritmetikaren arabera adierazten den aspaldiko problema bat ebazteko.

Fisikan etakosmologian, galdera irekia da eaunibertsoa espazialki infinitua den ala ez.

Historia

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Antzinako kulturek hainbat ideia zituzten infinituaren izaerari buruz. Antzinakoindiarrek etagreziarrek ez zuten infinitua definitzen formalismo zehatzean, matematika modernoak egiten duen bezala, eta, horren ordez, infinitua kontzeptu filosofikotzat hartu zuten.

Antzinako Grezia

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Grezian, infinituari buruz erregistratutako lehen ideiaAnaximandrorena izan daiteke (K.a. 610 - K.a. 546)greziarfilosofo presokratikoarena.Apeiron hitza erabili zuen,mugagabea,zehaztu gabea esan nahi duena, eta, agian, infinitu gisa itzul daiteke[2][8].

Aristotelesek (K.a. 350)infinitu potentziala etabenetako infinitua edoinfinitu osatua bereizi zituen, ezinezkotzat jotzen baitzuen sortzen zirudien hainbatparadoxagatik[9]. Ikuspegi horren ildotik argudiatu dagreziar helenistikoek izua ziotela infinituari[10][11], eta horrek, adibidez, azalduko luke zergatikEuklidesek (K.a. 300. urtea) ez zuen esanzenbaki lehenen infinitua dagoenik, baizik eta «zenbaki lehenak esleitutako edozein zenbaki lehenen multzoa baino gehiago direla»[12]. Orobat, esan izan da ezen,zenbaki lehenen infinitutasuna frogatzean, Euklides «lehena izan zen infinituaren izua gainditzen»[13]. Antzeko eztabaida dago Euklidesen postulatu paraleloari buruz, batzuetan itzulia:

«Bi zuzenen gainean erortzen den zuzen batek bi angelu zuzen baino batura txikiagoa duen alde bereko barne-angeluak eratzen baditu, orduan, bi zuzenak infinituraino luzatzean, barne-angeluen batura bi angelu zuzen baino txikiagoa den aldean daude[14].»


Beste itzultzaile batzuek, ordea, nahiago dute itzulpen hau: «bi lerro zuzenak, mugagabean ekoitzi badira...»[15], horrela Euklides infinituaren nozioarekin eroso zegoelako inplikazioa saihestuz. Azkenik, esan izan da infinituari buruzko hausnarketa batek, «infinituaren izua» sortzetik urrun, hasierako filosofia greziar guztiaren azpian dagoela eta Aristotelesen «infinitu potentziala» garai honetako joera orokorraren aberrazioa dela[16].

Zenon infinitua defendatzen

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

ZenonParmenidesen ikaslea izan zen, eta, bere maisuaren ideak defendatzeko, arrazoi batzuk planteatu zituen,Zenonen paradoxak izenez ezagutuak. Paradoxa horiekin, frogatzen saiatu zen mugimendua eta aldaketak ez direla existitzen, gure zentzumenen eta gure buruaren gezurrak direla. Paradoxa guztiak infinituarekin erlazionatuta daude. Horietako batek kontatzen digu ezen metro batera dagoen zuhaitz baten kontra harri bat botatzen badugu gure begiak ikusten duten harria nola iristen den zuhaitzeraino, bainaZenonek dio harria inoiz ez dela dela gure eskutik ateratzen. Hori frogatzeko,Zenonek esaten du distantzia osoa egin baino lehen distantziaren erdia egin behar duela baina lehenago laurden bat egin behar duela eta laurdena egin baino lehen zortziren bat egin behar duela, eta, hori, bata bestearen segidan gertatzen da. Zuhaitzera heltzeko, infinitu pauso egin behar dira, baina ezinezkoa da infinitu pauso egitea denbora tarte finitu batean; horregatik, Zenonek ondorioztatzen du harria ez dela inoiz gure eskutik atera, eta, modu horretan, infinitua erabiliz frogatzen du unibertsoa aldaezina dela.[17]

Aristoteles infinitua argudiatzen

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

K.a. IV mendean,AristotelesekFísica idatzi zuen; bertan, gorputzen mugimenduei buruz hitz egiten du; baino mugimenduari buruz hitz egiteko, lehenParmenidesen etaZenonen argumentuek eztabaidatu behar zituen. Hori eztabaidatzeko, Aristotelesek esan zuenizatea existitzen zela, baina bi eratan bereizi zituen:potentzia eta egintza. Adibidez: ume bat heldua da potentzian, eta, handitzen denean, heldua da egintzan. Hori ikusita esan dezakegu umeak bere egoera aldatu duela; horren ondorioz, umea aldatu egiten da, baina ez du inoizizatea utzi. Modu horretan,Parmenidesenizatearen ideia aldaketarekin erlazionatzen du, eta argi uzten du izatea alda dezakeela. BainaZenonen paradoxek esaten zuten denbora eta espazioa infinituki zatitzaileak direla; hori argudiatzeko,Aristotelesek esan zuen infinitua bakarrik existitzen zela potentzian eta ez egintzan. Infinitua potentzian nahi den guztia handitu daitekeen kantitatea da, baina, denbora guztian, finitua da. Eta infinitua, egintzan, infinitua den kantitate bat da. Ideia horrek bi mila urte baino gehiago iraun zuen.[18]

Zenon: Akiles eta dortoka

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Zenon Eleakoak (K.a. 495 - K.a. 430) ez zuen infinituari buruzko iritzirik aurreratu. Hala ere, bere paradoxak[19], bereziki «Akiles eta dortoka», ekarpen garrantzitsuak izan ziren, herri-kontzepzioen eskasia argi uzten baitzuten.Bertrand Russell-ekparadoxak «neurtezin sotil eta sakon» gisa deskribatu zituen[20].

Akilesek dortoka batekin lasterketa bat egiten du, azken horri abantaila emanez.

  • 1. urratsa: Akiles dortokaren abiapuntura korrika doa dortoka aurrera doan bitartean.
  • 2. urratsa: Akilesek 1. urratsaren amaieran dortoka zegoen tokira egiten du korrika dortoka urrunago doan bitartean.
  • 3. urratsa: Akilesek 2. urratsaren amaieran dortoka zegoen tokira egiten du korrika dortoka urrunago doan bitartean.
  • 4. urratsa: Akilesek 3. urratsaren amaieran dortoka zegoen tokira egiten du korrika dortokak urrunago doan bitartean.

Etab.Antza denez, Akilesek ez du inoiz dortoka harrapatzen; izan ere, pausoak eman arren, dortokak aurretik jarraitzen du.

Zenonek ez zuen infinituari buruz argudiatu nahi.Eskola eleatikako kide gisa, mugimendua ilusiotzat hartzen zuena, Akilesek korrika egin zezakeela suposatzea akats bat zela ikusten zuen. Ondorengo pentsalariek, irtenbide hori onartezina ikusita, bi milurteko baino gehiago borrokatu ziren argudioan beste ahulezi batzuk aurkitzeko.

Azkenik, 1821ean,Augustin-Louis Cauchy-k muga baten definizio egokia eta froga bat0 <x < 10 <x < 1 eman zuen[21]a+ax+ax2+ax3+ax4+ax5+⋯=a1−x.{\displaystyle a+ax+ax^{2}+ax^{3}+ax^{4}+ax^{5}+\cdots ={\frac {a}{1-x}}.}

Demagun Akilesek 10 m/s korritzen dituela, dortokak 0,1 m/s egiten dituela eta azken horrek 100 metroko abantaila duela. Jazarpenaren iraupena, Cauchyren eredura egokitzen da a = 10 segundo eta x = 0,01. Akilesek dortoka harrapatzen du; dortokak daramazkio

10+0.1+0.001+0.00001+⋯{\displaystyle 10+0.1+0.001+0.00001+\cdots }=101−0.01=100.99=10.10101…segundo.{\displaystyle ={\frac {10}{1-0.01}}={\frac {10}{0.99}}=10.10101\ldots {\text{segundo}}.}

Antzinako India

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Surya Prajnapti testu matematikojainiarrak (K.a. IV-III. mendeak) hiru multzotan sailkatzen ditu zenbaki guztiak: zenbagarriak, zenbatezinak eta infinituak. Horietako bakoitza, halaber, hiru ordenatan banatzen dira[22]:

  • Zenbagarriak: baxuena, tartekoa eta altuena
  • Zenbatezinak: ia kontaezinak, zinez kontaezinak eta benetan kontaezinak
  • Mugagabea: ia infinitua, benetan infinitua, benetan infinitua

XVII. mendea

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

XVII. mendean, Europako matematikariak zenbaki infinituak eta adierazpen infinituak modu sistematikoan erabiltzen hasi ziren. 1655ean,John Wallis-ek∞{\displaystyle \infty } notazioa erabili zuen lehen aldiz bereDe sectionibus conicisen[23], eta eremuaren kalkuluetan erabili zuen eskualdea zabalerainfinitesimalen zerrendatan banatuz1∞.{\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}.}-ren ordenan[24]. BainaArithmetica infinitorumen (1656)[25] serie infinituak, produktu infinituak eta zatiki jarraitu infinituak adierazten zituen, ondoren, faktore edo termino batzuk idatziz, "&c.", hala nola honela "1, 6, 12, 18, 24, &c."[26].

1699an,Isaac Newton-ek termino kopuru infinituko ekuazioei buruz idatzi zuenDe analysi per aequationes numero terminorum infinitas lanean[27].

Matematikak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Hermann Weyl-ek, 1930ean emandako diskurtso batean, bide matematiko-filosofiko bat ireki zuen[28]:

Matematika infinituaren zientzia da.

Sinboloa

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Infinitu-sinboloa∞{\displaystyle \infty } (batzuetan,lemniskata deitua) infinitu kontzeptua adierazten duen ikur matematikoa da. SinboloaUnicode-n honela kodetuta dago:∞{\displaystyle \infty }[29], etaLaTeX-en honela:\infty[30]

1655ean, John Wallis-ek aurkeztu zuen[31][32], eta, sartu zenetik, matematikatik kanpo ere erabili izan da mistizismo modernoan[33] eta literatur sinbologian[34].

Kalkulua

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Gottfried Leibnizek,kalkulu infinitesimalaren asmatzaileetako batek, asko espekulatu zuen zenbaki infinituei eta matematikan haien erabilerari buruz. Leibnizen ustez, bai infinitesimalak bai kantitate infinituak entitate idealak ziren, ez kantitate estimagarrien izaera berekoak, baina propietate berberak dituztenak jarraitutasunaren Legearen arabera[35][4].

Analisi erreal

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Analisi errealean,∞{\displaystyle \infty } sinboloa,infinitu izenekoa, mugarik gabeko muga adierazteko erabiltzen da[36].x→∞{\displaystyle x\rightarrow \infty } notazioak esan nahi dux{\displaystyle x} mugarik gabe handitzen dela, etax→−∞{\displaystyle x\to -\infty } esan nahi dux{\displaystyle x} mugarik gabe murrizten dela. Adibidez,f(t)≥0{\displaystyle f(t)\geq 0}t{\displaystyle t} bakoitzeko bada, orduan[37]

Infinitua serie infinituak deskribatzeko ere erabil daiteke, honela:

Muga bat zehazteaz gain, infinitua balio gisa ere erabil daiteke zenbaki-sistema erreal hedatuan. Zenbaki errealenespazio topologikoari,+∞{\displaystyle +\infty } eta−∞{\displaystyle -\infty } etiketatzen diren puntuak gehi daitezke, zenbaki errealen bi punturen trinkotzea sortuz. Horri propietate aljebraikoak gehitzean, zenbaki erreal hedatuak ematen dizkigu[39]+∞{\displaystyle +\infty } eta−∞{\displaystyle -\infty } ere berdin trata ditzakegu, eta horrek zenbaki errealen puntu bakarreko trinkotzea dakarkigu; hau da, zuzen proiektibo erreala[40]. Geometria proiektiboak, izan ere, geometria planoan infinituan dagoen zuzen bati, hiru dimentsioko espazioan infinituan dagoen planoari etadimentsio orokorretarako infinituan dagoen hiperplanoari ere erreferentzia egiten dio, bakoitza infinituan dauden puntuz osatuta[41].

Infinituaren existentziarik eza defendatuz egintzan

[aldatu |aldatu iturburu kodea]
infinitu bederatzi

Infinitua egintzan ez dela existitzen defendatzeko,Aristotelesek argumentu ezberdinak eman zituen. Horietako bat izan zen, giza adimenak ezin dezakeela infinitua egintzaren irudi bat irudikatu. Adibidez, gure adimen zuzen bat irudika dezake, baina ez inoiz bukatzen ez den zuzen bat. Beste adibide bat da zenbaki guztien zerrenda bat irudikatzea; ezin dugu zerrenda bat irudikatu existitzen diren zenbaki guztiekin. Beste argumentu bat da oso erraza dela kontraesanetan erortzea zerbait arrazoitzeko infinitua erabiltzen dugunean. Hori kontuan hartuta, infinitua egintzan ez zela existitzen ondorioztatu zuen.

Zenbait mende pasatu eta gero, konkretuki XVII. mendean,Galileo Galileik kontraesan logiko batzuk aurkitu zuen bere ikerkuntzetan, eta, horren ondorioz, infinitua egintzaren ideia baztertu zuen. Geroago, XIX. mendean,Bernard Bolzano infinituari buruzko teorema matematiko bat garatzen saiatu zen, baina zenbait paradoxak aurkitu zituen, eta ez zuen ebazten jakin izan.

Pentsamendu horren aurka zeuden pertsonak ere baziren, adibidez,Lukrezio izeneko erromatar poeta. Lukreziok unibertsoa infinitua zela defendatzen zuen. Aurkako kasuan, unibertsoak muga bat izan beharko luke, eta muga hori zeharkatzeko behar den indarrarekin objektu bat botatzen badugu, objektu hori gure unibertsotik kanpo egongo litzateke, eta existitzen den ezer ezin daiteke unibertsotik kanpo egon. Baina ideia hori baztertu egin zen, eta gaur egun badakigu unibertsoa finitua izan daitekeela muga bat eduki gabe; hori defendatzeko, hurrengo adibidea erabil dezakegu: esfera baten azalera finitua da, eta ez du mugarik.

Pentsamendu horrek matematika menderatu zuen 1870eko hamarkadara arte. Hamarkada horretan,Georg Cantor[42] errusiar-alemaniar matematikariak, bere logika jarraituz, bere burua behartuta ikusi zuen matematikan infinitu egintzaren ikasketa sartzera.

Galileoren infinitua

[aldatu |aldatu iturburu kodea]
Zenbaki arrunt bakoitza, zenbaki oso bikoitiekin elkartzen.

Erdi Aroan,Aristotelesen ideiak onartzen zuten, eta ondorioztatu zen infinitua egintzan bakarrik Jainkoak uler dezakeela. 1638 urtean,Galileok lan bat argitaratu zuenBi zientzia berriei buruzko dialogoa, lan horretan, dinamika eta estatika erabiliz,Aristotelesen fisikaren parte bat eztabaidatzea da. Baina infinitu egintzari buruzko ideia errespetatzen zuen lan horretan. Eta argumentu batzuk erabili zituen. Egongela handi batean gizon eta emakumeak egongo balira, eta, emakumeen kopuruarekin konparatuz, gizon gehiago, gutxiago edo kopuru bera dagoen jakiteko, emakumeak eta gizonak kontatu beharko lirateke. Eta gizon bakoitzak bikote bat osatzen badu emakume batekin, kopuru bera dagoela erakusten du. Orduan, bi multzo finitu badugu eta multzo bakoitzaren elementua beste multzoaren elementu batekin elkartu badezakegu, bi multzoak kopuru bera dute.

Lan horretako beste argumentu batean,Galileok bi multzo hartzen ditu: alde batetik, zenbaki arruntak, eta, beste aldetik, zenbaki arrunt bakoitzaren karratua. Argi dago zenbaki arrunten multzoa handiagoa dela, baina,Galileok esaten du lehen multzoaren zenbaki bakoitza bere karratuarekin elkartzea posiblea dela. Elkarketa horrek esaten digu zenbaki kopuru bera dagoela. Baina galdera hau egiten badugu: Zenbaki natural gehiago daude, edo kopuru bera?

Galileok esaten du ezin dugulahandiago,txikiago edobera/berdin kontzeptuak erabili bi multzo infinituak konparatzeko, finituak direnean bakarrik erabili dezakegu. Orduan,Galileok ondorioztatzen du bi multzo infinitu konparatzea absurdoa dela, bainaGeorg Cantorrek multzo finituak neurtzea eta konparatzea erabaki zuen.

Georg Cantor eta infinituaren teoria

[aldatu |aldatu iturburu kodea]
Georg Cantor

Georg Cantor ziur zegoen infinituari buruzko teoria matematiko bat posible zela; modu horretan, gaur egun ezagutzen dugun teoria garrantzitsuenetako bat sortu zuen, eta, matematikak pentsatzeko, modu askeago bat ireki zuen.

Cantor eta ordinalak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Cantorrek sortutako kontzeptu garrantzitsuenetako bat ordinalak dira; ordinalak infinitu zenbakia zenbatu eta gero datozenzenbaki infinitua dator; hau da, ordinala (ω). Ondoren, ω+1, ω+2, ω+3,+...: serie hau eta gero, ω+ω dator, eta, hau eta gero: ω+ω+1, ω+ω+2..., eta horrela jarraitzen du. ω zenbakia kantitate infinitu bat egintzan irudikatzen du. Cantorrek, bere pentsatzeko moduarekin, matematikak aldatu zituen. Cantorrek bere teoriak atera baino lehen, fenomeno konkretuak edo korrelatu errealak bakarrik aztertzen ziren; Cantorren ondoren, bakarrik eskatzen da koherentzia logika izatea.

Ikerkuntzaren hasiera

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Infinituaren teoria Cantorren talentuaren emaitza da, eta, 1882 urtean, bere teoria lantzen hasi zen. Cantorrek, infinituari buruzko bere lehen ideiak, Halle-ko Unibertsitatean lan egiten hasi zenean planteatu zituen, baina bere ideiak oposizio handia aurkitu zuten. Adibidez, unibertsitatean zegoela, Cantorren irakasle izan zenLeopold Kroneckerrek bere influentzia erabili zuen Cantorren ideiak ez zabaltzeko. Cantorrek, 1874 urtean, bere ideiak zabaltzeko lehen saiakera artikulu baten bidez egin zuen.

Ikurra

[aldatu |aldatu iturburu kodea]
Jonh Wallis

Infinitu ikurraren asmakuntzaJohn Wallismatematikariingelesari egozten zaio,1655an.Bernoulliren Lemniscataren forma du, baina ez da oso ziurra irudiaren jatorria bera.Moebius bandaren itxura ere badu, baina hori geroagoko aurkikuntza bat denez, ezin da hortik eratorria izan.

Ezaugarriak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]
  • Ez dazenbaki bat
  • Edozein zenbakizerotik zatituta, zero bera izan ezik, infinitu ematen du.

Ezaugarri aritmetikoak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Infinitua ez dazenbaki erreal bat, baina, operazio aritmetikoan, hala ere, erreala balitz bezala erabil daiteke:

Infinitu berarekiko eragiketak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]
  1. ∞+∞=∞⋅∞=(−∞)⋅(−∞)=∞{\displaystyle \infty +\infty =\infty \cdot \infty =(-\infty )\cdot (-\infty )=\infty }
  2. (−∞)+(−∞)=∞⋅(−∞)=(−∞)⋅∞=(−∞){\displaystyle (-\infty )+(-\infty )=\infty \cdot (-\infty )=(-\infty )\cdot \infty =(-\infty )}

Eragiketak zenbaki errealekin

[aldatu |aldatu iturburu kodea]
  1. −∞<x<∞{\displaystyle -\infty <x<\infty }
  2. x+∞=∞{\displaystyle x+\infty =\infty } etax+(−∞)=(−∞){\displaystyle x+(-\infty )=(-\infty )}
  3. x−∞=−∞{\displaystyle x-\infty =-\infty }
  4. x−(−∞)=∞{\displaystyle x-(-\infty )=\infty }
  5. x∞=0{\displaystyle {x \over \infty }=0} etax−∞=0{\displaystyle {x \over -\infty }=0}
  6. 0<x<∞{\displaystyle 0<x<\infty } baldin bada, orduan,x⋅∞=∞{\displaystyle x\cdot \infty =\infty } yx⋅(−∞)=(−∞){\displaystyle x\cdot (-\infty )=(-\infty )} da.
  7. −∞<x<0{\displaystyle -\infty <x<0} baldin bada, orduan,x⋅∞=−∞{\displaystyle x\cdot \infty =-\infty } yx⋅(−∞)=∞{\displaystyle x\cdot (-\infty )=\infty } da.

Eragiketa ez definituak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]
  1. 0⋅∞{\displaystyle 0\cdot \infty } eta0⋅(−∞){\displaystyle 0\cdot (-\infty )}
  2. ∞+(−∞){\displaystyle \infty +(-\infty )} eta(−∞)+∞{\displaystyle (-\infty )+\infty }
  3. ±∞±∞{\displaystyle {\pm \infty \over \pm \infty }}
  4. ±∞0{\displaystyle {\pm \infty }^{0}}
  5. 1±∞{\displaystyle 1^{\pm \infty }}

Azkena indeterminazioa izateko produktu bakoitza bat izan ordez, baterantz doazen zenbakiak izan behar dira. 1*1*1*1..., beti izango da 1.

Ikus, gainera

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Erreferentziak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]
  1. ↑ Gamen, Iris; Gamen, Iris. (2022-08-30). «Zer esan nahi du infinituaren sinboloak ▷➡️ Postposmoa» Postposmo (kontsulta data: 2022-11-21).
  2. ↑abcdefAllen, Donald. (2003). «The History of Infinity» Texas A&M Mathematics jatorrizkotik artxibatua (artxibatze data: 2020-08-01) (kontsulta data: 2019-05-15).
  3. ↑Fedriani, Eugenio M.; Tenorio, Ángel F.. (2010). «Matemáticas del más allá: el infinito» Unión: Revista Iberoamericana de Educación Matemática 21: 37-58. ISSN1815-0640..
  4. ↑abJesseph, Douglas Michael. (1998-05-01). «Leibniz on the Foundations of the Calculus: The Question of the Reality of Infinitesimal Magnitudes» Perspectives on Science (Project MUSE) 6 (1&2): 6–40.  doi:10.1162/posc_a_00543. ISSN1063-6145. OCLC.42413222 jatorrizkotik artxibatua (artxibatze data: 2012-01-11) (kontsulta data: 2019--11-01).
  5. ↑ (Ingelesez)Gowers, Timothy; Barrow-Green, June. (2008). The Princeton companion to mathematics. Princeton: Princeton University Press ISBN978-1-4008-3039-8. OCLC.659590835.
  6. ↑(Maddox 2002, pp. 113–117)
  7. ↑McLarty, Colin. (2014-01-15). «What Does it Take to Prove Fermat's abizena Theorem? Grothendieck and the Logic of Number Theory» The Bulletin of Symbolic Logic (Cambridge University Press) 16 (3): 359–377.  doi:10.2178/bsl/1286284558..
  8. ↑(Wallace 2004, 44 orr. )
  9. ↑Aristotle. Physics. The Internet Classics Archive.
  10. ↑Goodman, Nicolas D.. (1981). «Reflections on Bishop's philosophy of mathematics» Constructive Mathematics. 873 Springer, 135–145 or.  doi:10.1007/BFb0090732. ISBN978-3-540-10850-4..
  11. ↑Maor, p. 3
  12. ↑Sarton, George. (1928-03). «The Thirteen Books of Euclid's Elements. Thomas L. Heath, Heiberg» Isis (The University of Chicago Press Journals) 10 (1): 60–62.  doi:10.1086/346308. ISSN0021-1753..
  13. ↑ (Ingelesez)Hutten, Ernest Hirschlaff. (1962). The origins of science; an inquiry into the foundations of Western thought. London, Allen and Unwin, 1–241 or. ISBN978-0-04-946007-2. (kontsulta data: 2020-01-09).
  14. ↑Euclid. (2008). Euclid's Elements of Geometry. Lulu.com, 6 (Book I, Postulate 5) or. ISBN978-0-6151-7984-1..
  15. ↑Heath, Sir Thomas Little; Heiberg, Johan Ludvig. (1908). The Thirteen Books of Euclid's Elements. v. 1 The University Press, 212 or..
  16. ↑Drozdek, Adam. (2008). In the Beginning Was the Apeiron: Infinity in Greek Philosophy. Stuttgart, Germany: Franz Steiner Verlag ISBN978-3-515-09258-6..
  17. ↑ Aitziber, Angulo, Patxi Murua. (1991-10-01). «Paradoxak (I)» Zientzia.eus (kontsulta data: 2022-11-21).
  18. ↑ (Gaztelaniaz)Alétheia. (2019-03-16). «Aristóteles: el infinito» aletheiafilosofia (kontsulta data: 2022-11-21).
  19. ↑«Zeno's Paradoxes» Stanford University 2010-10-15 (kontsulta data: 2017-04-03).
  20. ↑(Russell 1996, 347 orr. )
  21. ↑Cauchy, Augustin-Louis. (1821). Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique. Libraires du Roi & de la Bibliothèque du Roi, 124 or. (kontsulta data: 2019-10-12).
  22. ↑Ian Stewart. (2017). Infinity: a Very Short Introduction. Oxford University Press, 117 or. ISBN978-0-19-875523-4. jatorrizkotik artxibatua (artxibatze data: 2017-04-03).
  23. ↑ (Ingelesez)Cajori, Florian. (2007). A History of Mathematical Notations. 1 Cosimo, Inc., 214 or. ISBN9781602066854..
  24. ↑(Cajori 1993, Sec. 421, Vol. II, p. 44)
  25. ↑ Arithmetica Infinitorum..
  26. ↑(Cajori 1993, Sec. 435, Vol. II, p. 58)
  27. ↑Grattan-Guinness, Ivor. (2005). Landmark Writings in Western Mathematics 1640-1940. Elsevier, 62 or. ISBN978-0-08-045744-4. jatorrizkotik artxibatua (artxibatze data: 2016-06-03).Extract of p. 62
  28. ↑Weyl, Hermann. (2012). Peter Pesic ed. Levels of Infinity / Selected Writings on Mathematics and Philosophy. Dover, 17 or. ISBN978-0-486-48903-2..
  29. ↑ (Ingelesez)AG, Compart. «Unicode Character "∞" (U+221E)» Compart.com (kontsulta data: 2019-11-15).
  30. ↑«List of LaTeX mathematical symbols - OeisWiki» oeis.org (kontsulta data: 2019-11-15).
  31. ↑Scott, Joseph Frederick. (1981). The mathematical work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616–1703). (2. argitaraldia) American Mathematical Society, 24 or. ISBN978-0-8284-0314-6. jatorrizkotik artxibatua (artxibatze data: 2016-05-09).
  32. ↑Martin-Löf, Per. (1990). COLOG-88 (Tallinn, 1988). 417 Berlin: Springer, 146–197 or.  doi:10.1007/3-540-52335-9_54. ISBN978-3-540-52335-2..
  33. ↑O'Flaherty, Wendy Doniger. (1986). Dreams, Illusion, and Other Realities. University of Chicago Press, 243 or. ISBN978-0-226-61855-5. jatorrizkotik artxibatua (artxibatze data: 2016-06-29).
  34. ↑Toker, Leona. (1989). Nabokov: The Mystery of Literary Structures. Cornell University Press, 159 or. ISBN978-0-8014-2211-9. jatorrizkotik artxibatua (artxibatze data: 2016-05-09).
  35. ↑Bell, John Lane. Continuity and Infinitesimals..
  36. ↑(Taylor 1955, p. 63)
  37. ↑These uses of infinity for integrals and series can be found in any standard calculus text, such as, (Swokowski 1983, 468–510 orr. )
  38. ↑«Properly Divergent Sequences - Mathonline» mathonline.wikidot.com (kontsulta data: 2019-11-15).
  39. ↑Aliprantis, Charalambos D.; Burkinshaw, Owen. (1998). Principles of Real Analysis. (3rd. argitaraldia) San Diego, CA: Academic Press, Inc., 29 or. ISBN978-0-12-050257-8. jatorrizkotik artxibatua (artxibatze data: 2015-05-15).
  40. ↑(Gemignani 1990, p. 177)
  41. ↑Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute. (1998). Projective Geometry / from foundations to applications. Cambridge University Press, 27 or. ISBN978-0-521-48364-3..
  42. ↑ Georg Cantor. 2020-09-07 (kontsulta data: 2021-12-05).

Bibliografia

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Iturriak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Kanpo estekak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]
Autoritate kontrola
"https://eu.wikipedia.org/w/index.php?title=Infinitu&oldid=10477809"(e)tik eskuratuta
Kategoriak:
Ezkutuko kategoriak:
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp