Naturan ere agertzen da geometria fraktala,romanesko honetan bezala.
Fraktal bat bere oinarrizko egitura, zatikatua edo ez erregularra eskala ezberdinetan errepikatzen den objektu erdigeometriko bat da[1]. IzenaBenoît Mandelbrotek proposatu zuen1975ean etalatinezkofractus hitzetik dator, hautsia edo pitzatua esan nahi duena. Egitura natural asko fraktal erakoak dira.[2]
Fraktal terminoa berria den arren, gaur egun fraktalak deitzen diren objektuak matematikan ezagunak zirenXX. mendearen hasieratik. Neurriaren teoriaren esparruan, XX. mendearen hasieran ezarri ziren gaur egun dimentsio fraktala deitzen duguna zehazteko modurik ohikoenak.
Objektu geometriko fraktal bati ematen zaizkion ezaugarriak honako hauek dira:
Ez erregularregia da geometria tradizionalaren arabera deskribatua izateko.
Edozein behaketa eskalan du xehetasuna.
Autoantzekoa da (zehazki, gutxi gora-behera edo estatistikoki)
Ez da nahikoa ezaugarri hauetako bakar bat fraktal bat definitzeko. Adibidez, benetako lerro zuzena ez da fraktaltzat hartzen, objektu autoantzekoa den arren, gainontzeko ezaugarriak ez baititu.
Fraktal natural bat geometria fraktalaren bidez deskriba daitekeen naturako elementu bat da. Hodeiak, mendiak,zirkulazio-aparatua kostaldeak edoelur malutak fraktal naturalak dira. Irudikapen hau gutxi gora-beherakoa da, objektu fraktal idealei ematen zaizkien ezaugarriek, xehetasun mugagabea kasu, mundu naturalean mugak baitituzte.
Fraktalen lehen ereduak aurkitzekoXIX. mendearen amaiera aldera joan beharra dago:1872anWeierstrassen funtzioa agertu zen, honen grafoa gaur egun fraktaltzat hartzen dena, etengabekoa baina puntu bakar batean ere ezberdin ezin zitekeen funtzio bezala.
Kochen kurbaren eraikuntzaren pausoak.
Beranduago, antzeko propietateak baina definizio geometrikoago bat zuten ereduak agertu ziren. Eredu horiek hasierako irudi batetik (hazia) hasita eraiki zitezkeen, zeini eraikuntza geometriko sinpleak aplikatzen zitzaizkion. Lortutako irudien saila gaur egun talde fraktal deitzen denarekin bat zetorren mugako irudi batetik gertu zegoen. Honela,1904an,Helge von Kochek Weierstrassenaren antzeko propietateak zituen kurba bat definitu zuen:Kochen elur maluta.1915eanWaclaw Sierpinskik berehirukia sortu zuen, eta urte bete geroago, beretapiza.
Talde hauek analisi klasikoaren mugak erakusten zituzten, baina objektu artifizial bezala ikusten ziren, "munstroen galeria" bat,Henri Poincarék deitu zituen bezala. Matematikari gutxik ikusi zuten objektu hauek eurez ikertzeko beharra.
Bat baino handiago den mailako funtzio polinomikoen kasu berezia azter dezagun. Zenbait aldiz jarraianfuntzio polinomiko bat aplikatzean litekeena da emaitzakrantz jotzea. Operazio honen bidez infinituari ihes egiten ez diotenen balioen multzoari Juliaren multzo betea deritzo, eta bere mugari, soilikJulia multzoa.
Multzo hauek ihes denborazkoalgoritmo baten bidez irudikatzen dira, nonpixel bakoitza ihes egiteko behar dituen iterazioen arabera koloreztatzen den. Kolore berezi bat erabiltzen ohi da, sarri beltza, iterazio kopuru handi eta aurrefinkatutako baten ondoren ihes egin ez duten puntuak irudikatzeko.
Julia multzoen adibideakrentzat
Beltzez, fc, c=1ri-φ lotutako Julia multzoa, non φurrezko zenbakia den
fc, c=(φ−2)+(φ−1)i =-0.4+0.6ri lotutako Julia multzo betea
fc, c=-0.835-0.2321iri lotutako Julia multzo betea
Beltzez, Mandelbrot multzoaren irudia Julia multzo beteekin gainjarria eta bere puntuetako batzuekin irudikatua (gorriz Julia multzo konektatuak eta urdinez konektatu gabeak).
formaren funtzio errepikapenera lotutako Julia multzoen familiak barietate harrigarriko multzoak ditu.
Familia honek garrantzi berezia izango zuen,1980ko hamarkadan ezagun egin zen fraktal mapa batean parametrizatua geratzean,Mandelbrot multzoa deitu zena. M multzo honek mapa bat irudikatzen du, non, pixel bakoitza, parametroaren balio bati dagokiona,ri lotutako Julia multzoaren oinarrizko propietate bat irudikatzeko moduan koloreztatzen den. Zehazki loturiko Julia multzoamultzo konektatu bat baldin bada.
Benoit Mandelbroten arabera, objektu bat autoantzekoa da bere zatiek osotasunaren forma edo egitura berbera baldin badute, eskala ezberdinean agertu edo arinki deformatuak egon daitezkeen arren.
Fraktalek hiru autoantzekotasun mota izan ditzakete:
Autoantzekotasun zehatza: Autoantzekotasun moten artean muga gehien jartzen dituena da: fraktala eskala ezberdinetan berdina izatea eskatzen du. Sarriiteratutako funtzioen sistemen bidez definitutako fraktaletan topa dezakegu.
Gutxi gora-beherako autoantzekotasunaMandelbrot multzoan: eskala aldatzerakoan multzoaren kopiak lortzen ditugu diferentzia txikiekin.
Gutxi gora-beherako autoantzekotasuna: fraktala eskala ezberdinetan gutxi gora-behera berdina izatea eskatzen du. Mota hauetako fraktalek euren buruaren kopia txiki eta deformatuak dituzte. Matematikoki D. Sullivanek gutxi gora-beherako multzo autoantzekoa gutxi gora-beherakoisometriaren bidez definitu zuen. Errepikakortasunezko harremanen bidez definitutako fraktalak ohi mota honetakoak dira.
Autoantzekotasun estatistikoa: Autoantzekotasun motarik ahulena da. Fraktalak eskalaren aldaketarekin mantentzen diren neurri numeriko edo estatistikoak izatea eskatzen du. Fraktal aleatorioak mota honetakoak dira.
.jpg)
.jpg)
