Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Edukira joan
WikipediaEntziklopedia askea
Bilatu

Fourierren transformatu

Wikipedia, Entziklopedia askea
Fourierren transformatua
ArloaAnalisi matematikoa,Analisi harmonikoa,Seinale prozesamendu
SortzaileaJoseph Fourier
DefinizioaSeinaleen maiztasun-espektroa lortzeko tresna matematikoa.

Fourierren transformatua seinale edo funtzio baten maiztasun osagaiak lortzeko eraldaketa matematikoa da. Transformazio honekdenbora-domeinuko funtzio batmaiztasun-domeinura eramaten du, eta alderantziz itzulgarria da.

IzenaJoseph Fourier matematikari eta fisikari frantsesaren omenez jarri zitzaion. Matematikaren eta ingenieritzaren arlo askotan erabiltzen da, hala nola, seinaleen analisian,irudi-prozesamenduan,uhinen fisikan,komunikazioetan etaekuazio diferentzialak ebazteko metodoetan.

Fourierren transformatua

Definizioa

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Fourierren transformatua funtzio baten maiztasun-espektroa lortzeko erabiltzen den eraldaketa matematikoa da. Modu intuitiboan azaltzeko, adibide erabilgarria da giza entzumen-sistemaren funtzionamendua: entzumen-sistemak uhin akustikoa jasotzen du eta frekuentzia-desberdinen deskonposizio batean bihurtzen du, azkenean entzuten duguna eratzeko. Giza belarriak denboran zehar aldatzen diren frekuentziak hautematen dituen bitartean, Fourierren transformatuak seinale osoaren maiztasun-espektro bakarra ematen du; hau da, seinaleak bere iraupen osoan duen frekuentzia-eduki globala jasotzen da.

Definizio formala

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Eman dezagunf{\displaystyle {f}} funtziointegragarria dela, hau da: 'f∈L1(R){\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )} edof∈L1(C){\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {C} )}

Fourierren transformatua honela definitzen da:

f^(ξ):=∫−∞∞f(x) e−2πiξxdx{\displaystyle {\hat {f}}(\xi ):=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi i\xi x}\,dx}

Integral honek zentzua du, integrakizunaren funtzioa integragarria delako. Estimazio sinple batek erakusten duf^{\displaystyle {\hat {f}}} funtzioa mugatua dela. Gainera, nagusitasun bidezko konbergentziaren teorema aplikatuz, erraz ikus daitekef^{\displaystyle {\hat {f}}} funtzio jarraitua dela.

Fourierren alderantzizko transformatua

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

f̂ funtzio integragarri baten Fourierren transformatuaren alderantzizkoa honela definitzen da:

F−1{f^}=f(x)=∫−∞∞f^(ξ) e2πiξxdξ,{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\{{\hat {f}}\}=f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )\ e^{2\pi i\xi x}\,d\xi ,}

Ikus daitekeenez, Fourierren transformatuaren eta alderantzizko transformatuaren arteko desberdintasun bakarra integrakizuneko esponentearen zeinuaren aurkakotasuna da. Beherago azaltzen den **Fourierren inbertsio-teoremak** justifikatzen du izen hori: alderantzizko transformatuak jatorrizko funtzioa berreskuratzen du.

Aurrekarriak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Fourierren transformatua ulertzeko, beharrezkoa da bere oinarri historiko eta matematikoak ezagutzea.

Historia

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Fourierren analisiaren hastapenak XIX. mendearen hasierara datoz. Joseph Fourier matematikariak 1821 inguruan proposatu zuen edozein funtzio periodikosinusoide harmonikoen batura moduan adierazi zitekeela.[1][2] Bere lana beroaren difusioari buruzko ikerketan oinarritu zen, eta bertatik eratorri ziren gaur egun Fourier serie eta transformazioaren oinarriak.

Joseph Fourier

Sinusoide konplexuak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Fourier analisian, seinaleaksinusoide konplexuen bidez adierazten dira. Sinusoide hauek oinarrizko bloke edo “osagai” gisa hartzen dira, eta edozein funtzio edo seinale konbinazio lineal gisa deskonposa daiteke. Horri esker, seinaleak errazago aztertu, iragazi edo eraldatu daitezke maiztasun-domeinuan.

Fourier serieak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Funtzio periodikoetarako,Fourier serieak tresna klasikoa dira. Serieek funtzio periodikoa sinusoide sinpleen infinitu batura moduan adierazten dute. Hala ere, seinale ez-periodikoak ere aztertu ahal izateko, Fourier transformazioa garatu zen: seriearen mugaren antzeko gisa, periodoa infinitura eramanez lortzen den kontzeptua da.

Konbergentzia eta analisi harmonikoa:

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Fourierrek proposatutako ideia hauek hasiera batean eztabaida matematikoen iturri izan ziren, funtzioen jarraitutasuna eta integrabilitatea ez baitziren garai hartan gaur egun bezala formalizatzen. Geroago,Dirichlet,Riemann etaLebesgue bezalako matematikariekkonbergentzia-baldintzetan eta integrazioaren teorian sakondu zuten, Fourierren analisiharmonikorako oinarri sendoagoa eskainiz.

Aplikazio historikoak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Hasiera batean beroaren transmisioa aztertzeko sortu bazen ere, Fourierren analisiek laster hartu zuten garrantziamekanika kuantikoan,seinale-prozesamenduan,akustikan,astronomian eta irudi digitalen tratamenduan. Hori dela eta, gaur egun transformazio hau zientzia eta ingeniaritza arlo askotan da ezinbesteko tresna.

Aplikazioaren adibidea.

Notazioa

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Fourierren transformatua hainbat modutan adieraz daiteke:F[f], f^, F(f(t)), F{f(t)}, F(f), F(ξ), F(f)(ξ).{\displaystyle {\mathcal {F}}[f],\ {\hat {f}},\ {\mathcal {F}}(f(t)),\ {\mathcal {F}}\{f(t)\},\ F(f),\ F(\xi ),\ {\mathcal {F}}(f)(\xi ).}

Oinarrizko ezaugarriak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]
  • Linealtasuna:

F{af+bg}=aF{f}+bF{g}{\displaystyle {\mathcal {F}}\{af+bg\}=a{\mathcal {F}}\{f\}+b{\mathcal {F}}\{g\}}

  • Translazioa:

Denbora-domeinuan seinalea "a" denboraz atzeratu edo aurreratzen denean, haren Fourier-transformatuan fase-aldaketa (fase-faktore esponentziala) agertzen da:F{f(t−a)}(ω)=e−iωaf^(ω){\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t-a)\}(\omega )=e^{-i\omega a}\,{\hat {f}}(\omega )}

Maiztasun-domeinuko seinalea "a" maiztasunez mugitzen bada, denbora-domeinuan seinalea modulatu egiten da, hau da, sinusoide konplexu batez biderkatzen da:

F−1{f^(ω−a)}(t)=eiatf(t){\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\{{\hat {f}}(\omega -a)\}(t)=e^{iat}\,f(t)}

  • Eskala-aldaketa:

Seinalearen zabaltze/estutzeak maiztasun-eskalan alderantzizko efektua du:F{f(at)}(ω)=1|a|f^(ωa){\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(at)\}(\omega )={\frac {1}{|a|}}\,{\hat {f}}\!\left({\frac {\omega }{a}}\right)}

  • Konboluzioaren teorema:

Bi funtzioren,f{\displaystyle {f}} etag{\displaystyle {g}},konboluzioa honela definitzen da:

(f∗g)(t)=∫−∞+∞f(η)g(t−η)dη{\displaystyle (f*g)(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }f(\eta )\,g(t-\eta )\,d\eta }

f{\displaystyle {f}} etag{\displaystyle {g}} guztiz integragarriak badira, konboluzioa ere integragarria da, eta honako identitatea betetzen da:

F{f∗g}=2π⋅F{f}⋅F{g}{\displaystyle {\mathcal {F}}\{f*g\}=2\pi \cdot {\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}}

Aldi berean, transformazio aldagaian antzeko emaitza lortzen da:

F{f⋅g}=2π⋅F{f}∗F{g}{\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\cdot g\}=2\pi \cdot {\mathcal {F}}\{f\}*{\mathcal {F}}\{g\}}

  • Deribatuaren transformatua:

f{\displaystyle {f}} etat{\displaystyle {t}} (f(t){\displaystyle {f(t)}}) integragarriak badira, Fourierren transformatua deribagarria da, eta:

F{f}′(ξ)=F{(−it)⋅f(t)}(ξ){\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}'(\xi )={\mathcal {F}}\{(-it)\cdot f(t)\}(\xi )}

Identitate hauek aldagai-aldaketaren bidez edo zati bidezko integrazioaren bidez froga daitezke.

  • Integralen propietatea:

Seinalea denboran integratzeak maiztasun-domeinuan zatidura eragiten du:F{∫−∞tf(τ)dτ}(ω)=1iωf^(ω){\displaystyle {\mathcal {F}}\!\left\{\int _{-\infty }^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}(\omega )={\frac {1}{i\,\omega }}\,{\hat {f}}(\omega )}

Ohiko transformatu-pareak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Azpiko taulan agertzen dira gehien erabiltzen diren Fourierren transformatu-pareak. Hona hemen erabiliko den definizioa:

F{f(t)}(ξ)=∫−∞+∞f(t)e−2πiξtdt{\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t)\}(\xi )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\,e^{-2\pi i\xi t}\,dt}

FuntzioaTransformatua
δ(t){\displaystyle \delta (t)\!}1{\displaystyle 1\!}
u(t){\displaystyle u(t)\!} (Heaviside funtzio unitarioa)1/2(δ(f)+1/(iπf)){\displaystyle 1/2(\delta (f)+1/(i\pi f))\!}
sen⁡(w0t){\displaystyle \operatorname {sen}(w_{0}t)\!}πi[δ(w−w0)−δ(w+w0)]{\displaystyle {\frac {\pi }{i}}[\delta (w-w_{0})-\delta (w+w_{0})]\!}
cos⁡(w0t){\displaystyle \cos(w_{0}t)\!}π[δ(w−w0)+δ(w+w0)]{\displaystyle \pi [\delta (w-w_{0})+\delta (w+w_{0})]\!}
1{\displaystyle 1\!}δ(f)=2πδ(w){\displaystyle \delta (f)=2\pi \delta (w)\!}
e−atu(t),Re(a)>0{\displaystyle e^{-at}u(t),\quad \mathrm {Re} (a)>0\!}1a+iw{\displaystyle {\frac {1}{a+iw}}\!}
e−a|t|{\displaystyle e^{-a|t|}}2aa2+w2{\displaystyle {\frac {2a}{a^{2}+w^{2}}}\!}
te−atu(t),Re(a)>0{\displaystyle te^{-at}u(t),\quad \mathrm {Re} (a)>0\!}1(a+iw)2{\displaystyle {\frac {1}{(a+iw)^{2}}}\!}
{cos⁡w0x|x|≤A0|x|>A{\displaystyle {\begin{cases}\cos w_{0}x&|x|\leq A\\0&|x|>A\end{cases}}}sen⁡A(w−w0)2π(w−w0)+sen⁡A(w+w0)2π(w+w0){\displaystyle {\frac {\operatorname {sen} A(w-w_{0})}{2\pi (w-w_{0})}}+{\frac {\operatorname {sen} A(w+w_{0})}{2\pi (w+w_{0})}}}
x(t)=rect(t2T1)={1,si |t|<T10,si |t|>T1{\displaystyle x(t)=\mathrm {rect} \left({\frac {t}{2T_{1}}}\right)={\begin{cases}1,&{\mbox{si }}|t|<T_{1}\\0,&{\mbox{si }}|t|>T_{1}\end{cases}}\!}2T1sinc(wT1π)=2sen⁡(wT1)w{\displaystyle 2T_{1}\mathrm {sinc} \left({\frac {wT_{1}}{\pi }}\right)=2{\frac {\operatorname {sen}(wT_{1})}{w}}}
x(t)=tri(t2T1)={1−|t|T1,si |t|<T10,si |t|>T1{\displaystyle x(t)=\mathrm {tri} \left({\frac {t}{2T_{1}}}\right)={\begin{cases}1-{\frac {|t|}{T_{1}}},&{\mbox{si }}|t|<T_{1}\\0,&{\mbox{si }}|t|>T_{1}\end{cases}}\!}2T1sinc2(wT1π){\displaystyle 2T_{1}\mathrm {sinc} ^{2}\left({\frac {wT_{1}}{\pi }}\right)}
x(t)=e−t2/a2,Im(a)=0{\displaystyle x(t)=e^{-t^{2}/a^{2}},\quad \mathrm {Im} (a)=0\!}a2e−a2w2/4{\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}e^{-a^{2}w^{2}/4}}
e−at2{\displaystyle e^{-at^{2}}}

πae−w2/4a{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{-w^{2}/4a}}

Taula hauek ohiko konbentsioa jarraitzen dute eta seinale-prozesamenduan eta analisi matematikoan sarri erabiltzen dira.

Erreferentziak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]
  1. ↑ (Frantsesez)Fourier, Jean Baptiste Joseph. (1888). Theorie analytique de la chaleur. Gauthier-Villars et fils (kontsulta data: 2025-12-09).
  2. ↑ (Ingelesez) Joseph Fourier. 2025-07-26 (kontsulta data: 2025-12-09).

Ikus, gainera

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Kanpo estekak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]
"https://eu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fourierren_transformatu&oldid=10511789"(e)tik eskuratuta
Kategoriak:
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp