Movatterモバイル変換

[0]ホーム

Edukira joan

Fibonacciren segida

Aldatu loturak

Wikipedia, Entziklopedia askea

Matematikan,Fibonacciren segida edoserieazenbaki naturalen segida infinitu hau da:

${\displaystyle 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597\ldots \,}.$

Segida 0 eta 1 zenbakiekin hasten da; horietatik abiatuta, termino bakoitza aurreko bien batura da.

Segida honetako elementuei Fibonacciren seme-alabak deitzen zaie. Leonardo de Pisak (XIII. mendeko matematikari italiarra, Fibonacci izenez ere ezaguna) deskribatu zuen segida hori Europan. Aplikazio ugari ditu konputazio-zientzietan, matematikan eta joko-teorian. Konfigurazio biologikoetan ere agertzen da, hala nola, zuhaitzen adarretan, ekilore-loreetan, brokoli erromatarraren infloreszentzietan, koniferoen pinaburuen konfigurazioan, untxien ugalketan eta DNAk forma organiko konplexuen hazkundea kodetzeko duen moduan. Era berean, molusku batzuen oskolaren egitura espiralean aurkitzen da, nautilusean esaterako.

Definizioa

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Honako ekuazio hauek definitzen dituzte Fibonacci zenbakiak:

$f_{0}=0$

${\displaystyle f_{1}=1}$

${\displaystyle f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}\,}$

Horrek ondorengo zenbaki hauek sortzen ditu:

$f_{2}=1$

${\displaystyle f_{3}=2\,}$

${\displaystyle f_{4}=3\,}$

${\displaystyle f_{5}=5\,}$

${\displaystyle f_{6}=8\,}$

${\displaystyle f_{7}=13\,}$

${\displaystyle f_{8}=21\,}$

eta horrela hurrenez hurren.

Definitzeko modu hori (algoritmikoa) ohikoa damatematika diskretuan.

Garrantzitsua da definitzea $f_{0}=0$ honako propietate garrantzitsu hau betetzeko:

$f_{n}$ -k ${\displaystyle f_{m*n}}$ zatitzen du edozein ${\displaystyle m,n>=1}$ -entzat.

Historia

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Leonardo Pisano, Leonardo de Pisa, edo Leonardo Bigollo, Fibonacci izenez ere ezaguna, 1170ean jaio zen eta 1240an hil zen. Mendebaldean ezagutu aurretik, Fibonacciren segida Indiako matematikan deskribatuta zegoen, sanskrito-prosodiarekin lotuta.

Susantha Goonatilakek ohartarazten du Fibonacciren sekuentziaren garapena, baina neurri batean, Pingalari egozten zaiola (200. urtea) garapen hori, geroago Virahanka (700 inguruan), Gopāla (1135 inguruan) eta Hemachandra (1150 inguruan) autoreei lotuta zegoen. Parmanand Singhek Pingala aipatzen du (450 inguruan) sekuentziaren aurkikuntzaren aitzindari gisa.

Oinordetza Fibonaccik deskribatu eta ezagutarazi zuen mendebaldean, untxi-hazkuntzaren arazo baten konponbide gisa.

Horrela, Fibonaccik oinordetza 1202an argitaratutako Liber Abaci liburuan aurkeztu zuen. Fibonacciren oinordekotzaren propietate asko Édouard Lucasek aurkitu zituen, gaur egun ezagutzen den bezala izendatzearen arduraduna.

Keplerrek ere Fibonacciren zenbakiak deskribatu zituen, eta Robert Simson matematikari eskoziarrak 1753an aurkitu zuen {\displaystyle n} n segidako Fibonacci-ren bi zenbakiren arteko erlazioa, {\displaystyle f_ {n+1}/f_ {n}} f_ {n+1}}}/f_ {n}}/f_ áurea fi ({\displaystyle\phi}\phi) erlaziora hurbiltzen dela, {\displaystyle n} n infinitora jotzen duenean; are gehiago: bi ordenako segida errepikatzaile ororen segidako bi terminoren kozienteak muga berera jotzen du. Segida honek ospea izan zuen XX. mendean, batez ere musikaren esparruan, non Béla Bartók, Olivier Messiaen, Tool eta Delia Derbyshire bezalako konpositoreek akordeak eta musika-esaldien egitura berriak sortzeko erabili zuten.

Errepresentazio alternatiboak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Fibonacciren segida (eta, oro har, edozein segida) aztertzeko, matematikoki irudikatzeko beste modu batzuk lortzea komeni da.

${\displaystyle {\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}={\frac {b}{a}}={\frac {c}{b}}},\ non\ c=a+b;\ a\neq 0;\ b\neq 0;\ b>a$

${\displaystyle bb=ac}$

${\displaystyle b^{2}=ac}$

${\displaystyle b^{2}=a*(a+b)}$

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+ab}$

${\displaystyle a^{2}-b^{2}+ab=0}$

Aldagaiak Fibonacci-ren segidako balio bikoteen bidez ordeztuz ( $a=1;\ b=2$ edo $a=3;\ b=5$ ), hau ikus daiteke:

${\displaystyle (1)^{2}-(2)^{2}+(1)*(2)=-1}$

${\displaystyle (3)^{2}-(5)^{2}+(3)*(5)=-1}$

Formula honen bidez, bi zenbakiren arteko urrezko erlazioa zein den ezar daiteke: 0 urrezko erlazio perfektua da, eta muturretako 1 eta -1 zenbakiak Fibonaciren ${\displaystyle -1<=a^{2}-b^{2}+ab<=1}$ segidako zenbakiak dira.

Segidaren propietateak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Fibonacciren segidak ondoko propietateak ditu:

Segidako gai baten eta bere aurrekoaren arteko arrazoi edo zatidura etengabe aldatzen da, baina estabilizatu egiten da urrezko zenbakian; hau da: $\lim _{n\to \infty }{\frac {f_{n+1}}{f_{n}}}=\varphi$

Limite hau ez da Fibonacciren segidarentzako esklusiboa. Edozein 2ko ordenako segida errepikakor limite berdinerantz hurbiltzen da. Hau frogatu zuten Barr eta Schooling LondresekoThe Field izeneko aldizkari batean publikatutako artikuluak 1912ko abenduaren 14an. Arrazoaiak oszilatzaileak dira; hau da, zatidura bat limitea baino txikiagoa da eta hurrengoa, aldiz, handiagoa.

Edozein zenbaki arrunt idatz daiteke Fibonacciren segidako gai kopuru mugatu baten batuketa gisa, horietako bakoitza besteen desberdina delarik.
Hiru terminotatik bakarra da bikoitia, lautik bakarra da hiruren multiploa, bostetik bakarra da bosten multiploa... Hau orokortu daiteke, beraz Fibonacciren segida periodikoa da(mod m) kongruentzientzat, edozeinm-rentzat.
SegidaBinet-en forma izeneko formularekin adieraz daiteke: Izan bitez $\textstyle \alpha ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ eta ${\displaystyle \textstyle \beta ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}\textstyle$ , orduan $f_{n}={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\alpha -\beta }}$ eta $f_{n}\approx {\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {5}}}\,$
Fibonacciren zenbaki bakoitza bi posizio atzerago dagoen eta posizio bat aurrerago dagoen terminoen batez bestekoa da. Hau da, $f_{n}={\frac {f_{n-2}+f_{n+1}}{2}}$ edo beste modu batean adierazita $f_{n+1}=f_{n}*2-f_{n-2}$
Lehenn gaien baturan+2 posizioan dagoen gaiaren balioa ken bat da. Hau da, $f_{0}+f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n}=f_{n+2}-1$
Fibonacciren segidako bi gaien arteko zatitzaile komunetako handiena segidako beste gai bat da, zehazki ${\mathrm {mcd} }\left(f_{n},f_{m}\right)=f_{{\mathrm {mcd} }\left(n,m\right)}$ .
Izan bedi $f_{p}=a$ , $a {\displaystyle a}$ edozein zenbaki lehen izanda, orduan $p {\displaystyle p}$ ere zenbaki lehena da, $f_{4}=3$ gaia izan ezik (3 zenbaki lehena dela, baina 4 ez) .
$\textstyle {\frac {f_{n}}{10^{n}}}$ segidaren terminoen batuketa infinitua $\textstyle {\frac {10}{89}}$ da.
Fibonacciren segidako elkarrek ondoko hamar zenbakiren batura serieko zazpigarren zenbakia baino 11 aldiz handiagoa da beti.
Zenbaki bakoitzeko azken digitua 60 zenbakiro errepikatzen da periodikoki. Azken biak 300 zenbakiro eta hortik aurrera $15\times 10^{n-1}$ zenbakiro.
Fibonacciren segidaren oinarrian Pascalen piramidearen biderketen batuketa dago. Batuketa hauetan oinarrituz, urrezko zenbakia $\varphi$ karakterizatu daiteke triangeluko diagonal bikoitien batuketen eta diagonal bakoitien batuketen zatiduraren limitea infinituan adieraziz, modu honetan: ${\displaystyle \varphi =\displaystyle \lim _{n\to {+}\infty }{\left({\dfrac {{\binom {2n-1}{0}}+{\binom {2n-2}{1}}+{\binom {2n-3}{2}}+...+{\binom {n}{n-1}}}{{\binom {2n-2}{0}}+{\binom {2n-3}{1}}+{\binom {2n-4}{2}}+...+{\binom {n-1}{n-1}}}}\right)}}$ edo ${\displaystyle \varphi \,\approx {}\,{\dfrac {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\,\displaystyle {\binom {2n-1-k}{k}}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\,\displaystyle {\binom {2n-2-k}{k}}}}}$ .

Ikus, gainera

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Fibonacciren zenbakiak

Kanpo estekak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Autoritate kontrola	Wikimedia proiektuak Datuak:Q23835349 Multimedia:Fibonacci numbers /Q23835349 Identifikadoreak BNF:122868243 (data) LCCN:sh85048028 NKC:ph117552

Datuak:Q23835349
Multimedia:Fibonacci numbers /Q23835349

"https://eu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fibonacciren_segida&oldid=9131375"(e)tik eskuratuta

Kategoria:

Zenbaki osoen segidak

Ezkutuko kategoriak:

[8]ページ先頭