Oso gutxi dakigu haren bizitzaz, eta informazio gehienaProklo etaPappus Alexandriakoa jakintsuei zor zaie, mende asko geroago.Erdi Aroko matematikari musulmanek fantasiazko biografia bat asmatu zuten, eta bizantziar jakintsuek etaErrenazimentuko hasierako idazleekEuklides Megarakoa filosofoarekin nahastu zuten. Egun, oro har, onartzen da Alexandrian egin zuela karrera, eta K.a. 300. urtearen inguruan bizi izan zela,Platonen ikasleen ondoren etaArkimedesen aurretik. Euklidesek PlatonenAkademian ikasteko eta geroagoMuseionean irakasteko aukera zuela ematen du.Atenasko aurreko tradizio platonikoaren eta Alexandriaren atzeko tradizioaren artean zubi bat izan zuela uste da.
Elementuetan, Euklidesekaxioma-multzo txiki batetik ondorioztatu zituen teoremak.Perspektibari,sekzio konikoei,geometria esferikoari,zenbakien teoriari etazehaztasun matematikoari buruzko lanak ere idatzi zituen.Elementuez gain, Euklidesek oinarrizko testu goiztiarra idatzi zuenoptikaren inguruan, eta hain ezagunak ez direnDatua etaFenomenoak. Zalantzan jarri daIrudien zatiketei buruz etaKatoptrika lanen egilea ote zen. Galdutako lan asko idatzi zituela uste da.
Euklides izenaAntzinako Greziako izenaren moldaera da,Eukleídes (Εὐκλείδης)[1]. Bi hitzez osatua dago, 'eu-' (εὖ; 'ondo') eta 'klês' (-κλῆς; 'fama'), hau da, "fama onekoa, loriatsua". Euskaraz, metonimia bidez,Euklides erabili daiteke bere lanik ezagunena izendatzeko,Euklidesen elementuak, edo sinplekigeometriaren sinonimo gisa[2].
Antzinako Greziako matematikari askorekin gertatzen den bezala, Euklidesen bizitzako xehetasunak ezezagunak dira gehienetan[3]. Lau trataturen autoretzat jotzen da —Elementuak,Optika,Datuak etaFenomenoak—, baina horretaz gain, ez dakigu ezer ziur[4]. Narrazio tradizionala K.o. V. mendekoProkloren kontakizunean oinarritzen da batez ere,Euklidesen Elementuen lehen liburuari egindako iruzkinean, bai etaPappus Alexandriakoaren IV. mende hasierako pasadizo batzuetan ere[5][6].
Prokloren arabera, EuklidesPlatonen jarraitzaile batzuen ondoren bizi izan zen (K.a. 347 inguru) etaArkimedes matematikariaren aurretik (K.a. 287 -circa 212); zehazki, Proklok EuklidesPtolomeo I.aren erregealdian kokatzen du (K.a. 305/304-282 r.)[7][3][3]. Ez dakigu Euklidesen jaiotza data zein den; zenbait adituk K.a. 330[8][9] edo 325 inguruan[10][11] kokatzen dute, baina beste batzuk ez dute argi[12]. Uste da jatorri grekoa zuela[8], baina ez dakigu non jaio zen[13][oh 1]. Proklok zioen Euklidesek tradizio platonikoari jarraitzen ziola, baina ez dago behin betiko baieztapenik horri buruz[15]. Oso litekeena da Platonen garaikidea izatea, eta, beraz, Platonen dizipuluek Atenasko Akademia Platonikoan hezi zutela jotzen da[16].Thomas Heath historialariak teoria horren alde egin zuen, eta adierazi zuen gai ziren geometra gehienak Atenasen bizi zirela[17] , Euklidesek lan horretan oinarritu zituen geometroen artean daudenak barne[18][5]; Sialarosek uste du susmo hutsa dela[18][5]. Nolanahi ere, Euklidesen lanaren edukiak tradizio geometriko platonikoarekin duen lotura erakusten du[8].
Bilduman, Pappusek aipatzen duApolonio PergakoakAlexandrian ikasi zuela Euklidesen ikasleekin, eta horrek aditzera eman du Euklidesek matematika-tradizio bat landu eta sortu zuela han[7][19][17]. HiriaAlexandro Handiak sortu zuen K.a. 331. urtean[20], eta Ptolomeo I.aren gobernuak, K.a. 306. urtetik aurrera, egonkortasun nahiko berezia eman zionDiadokoen gerra kaotikoen erdian, Alexandroren inperioa zatitzeko helburua zutenak[21]. Ptolomeokhelenizazio prozesu bati ekin zion eta eraikuntza ugari enkargatu zituen,Musaeum erakunde itzela eraikiz, hezkuntza zentro nabarmena izan zena[13][oh 2]. EuklidesMusaeumeko lehen jakintsuetako bat izan zela uste da[20]. Ez dakigu noiz hil zen: K.a. 270. urte inguruan hil zela pentsatu da[20].
Domenico MarolirenEuklides Megarakoa emakumez janzten da Sokrates Atenasen irakasten entzuteko. Garai horretan Euklides filosofoa eta Euklides matematikaria nahastu ohi ziren, eta pertsona berbera zirela uste zen, beraz margolan honetan objektu matematikoak agertzen dira mahaian[23].
Askotan, EuklidesiEuklides Alexandriakoa esaten zaio, aurreko filosofoarekin (Euklides Megarakoa) ez nahasteko. Platonen elkarrizketetanSokratesen ikaslea da Euklides, eta harekin nahastu izan da historikoki[5][12].Valerio Maximok, K.o. I. mendeko anekdota-biltzaile erromatarrak, Euklides izenaren ordez,Eudoxo izena jarri zuen (K.a. IV. mendea),kuboa nola bikoiztu galdetzen ziotenean Platonek gomendatzen zuen matematikari gisa[24]. Agian, mende bat lehenago, gutxi gorabehera, bizi izan zen Euklides izeneko matematikoa bat aipatzen zelako, Erdi Aroko bizantziar iturrietan (egun, galduta) nahastu zen Euklides Megarakoarekin[25]. Hori dela eta, Euklides matematikariari bien biografien xehetasunak esleitu zitzaizkion,Megarensis liburuan egiten den bezala[5][26].Teodoro Metokites bizantziar jakintsuak (1300 inguruan) esplizituki nahastu zituen bi Euklidesak, bai etaErhard Ratdolt inprimatzailearenCampanus NovarakoarenElementuen latinezko itzulpeneko 1482ko hitzaurrean ere[25].Bartolomeo Zamberti matematikariak Euklides baten edo bestearen gaineko biografia-zatirik gehienak 1505ekoElementuen itzulpenaren hitzaurrera gehitu ondoren, ondorengo argitalpenek ez zuten aintzat hartu identifikazio hori[25].Errenazimentuko ondorengo ikertzaileek, berezikiPeter Ramusek, berraztertu zuten baieztapen hori, eta frogatu zuten gezurra zela, kronologia eta kontraesanak zeudelako iturri primitiboetan[25] .
Erdi Aroko iturri arabiarrek Euklidesen bizitzari buruzko informazio ugari eskaintzen dute, baina erabat konprobaezinak dira[5]. Ikerlari gehienek uste dute bertako baieztapenak ez direla egia[7]; Heathek, bereziki, dio fikzionalizazioa matematikari beneratu baten eta mundu arabiarraren arteko lotura indartzeko egin zela[15]. Euklidesi buruzko kontakizun anekdotiko asko ere badaude, historikotasun ezezagunekoak, "zahar atsegin eta jentil gisa irudikatzen dute"[27]. Proklorena da ezagunena. Ptolomeok Euklidesi galdetu zion ea geometria ikasteko bide azkarragorik ote zegoen bere elementuak irakurtzea baino, eta Euklidesek erantzun zion "ez dagoela geometriarako errege biderik"[27]. Pasadizo hau eztabaidagarria da,Estobeok aipatzen duelakoMenekmo eta Alexandro Handiaren arteko beste eztabaida batean[28]. Bi kontakizunak K.o. V. mendean idatzi ziren, bakar batek ere ez du bere iturria adierazten eta bat ere ez da agertzen antzinako literatura grekoan[29].
Euklidesen K.a. 300 inguruko jardueraren datazio irmo oro zalantzan jartzen da, erreferentzia garaikiderik ez dagoelako[5]. Euklidesen jatorrizko lehen erreferentzia ApoloniorenKonikak gutunean dago (K.a. II. mendearen hasiera): "Koniken hirugarren liburuak teorema harrigarri asko ditu, bai sintesirako baileku geometriko solidoen soluzioen kopurua zehazteko erabilgarriak direnak. Gehienak eta finenak berriak dira. Eta aurkitu genituenean konturatu ginen Euklidesek ez zuela egin leku geometrikoaren sintesia hiru eta lau zuzenetan, baizik eta haren zati akzidental bat soilik, eta hori ere ez zegoela gaizki eginda."[24]Elementuen zati bat K.a. III. mendean zirkulazioan zegoela uste da, Arkimdesek eta Apoloniok bertako proposizio asko arazorik gabe onartzen baitituzte[5]; hala ere, Arkimedesek proportzioen teoriaren aldaera zaharragoa erabili zuenElementuetan dagoena baino[7].Elementuen barruko materialaren kopia fisiko zaharrenak, K.o. 100. urtekoak gutxi gorabehera,Oxirrinkoko zabortegi zahar batean, Egipto erromatarrean,lurperatutako papiro-zatietan daude.Elementuen aipamen zuzen zaharrena ez da agertzen K.o II. mendera arte,Galenok etaAlexandro Afrodisiasek eginak[24]; garai horretarako,eskola liburu oso ohikoa zen. Antzinako Greziako matematikari batzuek Euklides izenez aipatzen zuten, baina beste batzuek "ὁ στοιχειώτης" ("Elementuen egilea") gisa aipatzen dute[30]. Erdi Aroan, ikerle batzuek eztabaidatu zuten Euklides pertsonaia historikoa ote zen, eta proposatu zuten bere izena grezierazko terminologia matematikoaren korrupzio batetik iritsi zela[31].
Niretzat misterioa da Euklidesen matematikak naturako hainbat esparru argitu eta ulertzeko balio izatea. Euklidesen liburua orain dela bi mila urte dago idatzirik, baina balio izaten jarraitzen du. Egia da XIX. mendearen amaieran beste geometria batzuk sortu zirela, baina Euklidesenak betiko balio du, eta ez soilik matematikarako. Horri buruzko esplikaziorik ez daukat, enigma bat da.
Oxirrinkoko papiro zati bat, EuklidesenElementuak erakusten, K.o. 75-125 artean egina. II. Liburuaren 5. proposizioa erakusten du.[34]
Euklides bere hamahiru liburuko tratatuarengatik ezaguna da,Elementuak (antzinako grezieraz:Στοιχεῖα, Stoicheia), beremagnum opus gisa hartzen dena[35][36].Agustin Arrieta filosofoaren arabera, EuklidesenElementuak arrazonamendu zehatzaren eta zientifikoaren eredua izan da bi mila urtez, eta, segur aski, bibliografia zientifikoaren barruan testurik klasikoena da[37]. Liburuaren edukiaren gehiengoa lehenagoko matematikariengandik jasota dago, tarteanEudoxo Knidokoa,Hipokrates Kioskoa,Tales Miletokoa etaTeeteto, eta beste teorema batzukPlatonek etaAristotelesek ere aipatzen dituzte. Zaila da Euklidesen lana eta bere aurrekariena desberdintzen, batez ereElementuak liburuak aurreko beste greziar matematikari batzuen lan galduetatik asko edaten duelako[38][39].Markus Asperrek ondorioztatu zuen "badirudi Euklidesen lorpena dela ezagutza matematiko onartua batzea, ordena ulergarri batean, eta gakoak betetzeko proba berriak sortuz".Serafina Cuomo matematikariak dio "emaitzen biltegi" handi bat dela[40][39]. Hala ere, Sialarosek dio "Elementuen egitura trinkoak esaten digu autoreak kontrol handia zuela, editore sinplea baino askoz handiagoa"[41].
Elementuak ez da geometriaz soilik arduratzen, batzuetan uste den bezala[38]. Tradizioz, hiru gaitan banatzen da:geometria laua (1-6 liburuak), oinarrizkozenbakien teoria (7-10 liburuak) etageometria solidoa (11-13 liburuak), nahiz eta 5. liburua (proportzioen gainekoa) eta 10. liburua (lerroirrazionalen gainekoa) ez datozen guztiz bat eskema horrekin[42][43]. Testuaren nukleoateorema sakabanatuak dira[36]. Aristotelesen terminologia erabiliz, bi kategoriatan bana daitezke: "lehen printzipioak" eta "bigarren printzipioak"[44]. Lehen taldeak definizio gisa etiketatutakobaieztapenak ditu (ὅρος or ὁρισμός),postulatuak (αἴτημα) edonozio komunak (κοινὴ ἔννοια)[44][45]; lehen liburuak soilik ditu postulatuak[38] —geroagoaxioma deitu zirenak[45]— eta nozio komunak. Bigarren multzoan proposamenak daude,froga matematikoekin eta diagramekin batera[44][46]. Ez dakigu EuklidesekElementuak testuliburu izatea nahi zuen, baina bere aurkezpenak natural bihurtzen du horrelako helburua[41]. Oro har, autorearen ahotsak orokorra eta inpertsonala izaten jarraitzen du[39].
Lerro zuzen bat marraztea edozein puntutatik edozein puntutara.
Zuzen finitu bat etengabe luzatzea lerro zuzenean.
Zirkulu bat egitea edozein zentro eta distantzia hartuz.
Angelu zuzen guztiak elkarren berdinak izatea.
Zuzen batek bi zuzen ebakitzean alde bereko barne-angeluak bi angelu zuzen baino txikiagoak egiten baditu, bi zuzenek, mugagabeki luzaturik, elkarrekin topo egingo dute bi angelu zuzen baino txikiagoak diren angeluen aldean.
Elementuen lehenengo liburua testu osoarentzako oinarriak ezartzen ditu[38]. Lehenengo eta behin 23 definizio ditu geometriaren oinarrizko kontzeptuak azaltzeko, hala nolalerroak,angeluak etapoligono erregularrak[48]. Euklidesen, ondoren, 10 ideia ezartzen ditu (ikus alboko taula), bost postulatuekin (axiomak) eta bost nozio komunekin[49][50]:
Gauza beraren berdinak diren gauzak elkarren berdinak ere badira.
Gauza berdinei gauza berdinak eransten bazaizkie, guztizkoak ere berdinak dira.
Gauza berdinei gauza berdinak kentzen bazaizkie, hondarrak ere berdinak dira.
Elkarrekin bat datozen gauzak elkarren berdinak dira.
Osoa zatia baino handiagoa da.
Ideia horiek ondoren sortutako teoremen oinarri logikoa ezartzen dute, hau da, sistema axiomatiko bat sortzen du. Nozio komunek magnitudeen arteko alderaketa baino ez dute ukitzen. 1-4 postulatuak nahiko argiak badira ere, 5.aparaleloen postulatua da, oso desberdina eta nabarmena geometriaren historian[51][52][53]
II. liburuakgeometria aljebraikoa ukitzen duela esaten da, baina 1970ko hamarkadaren ostean eztabaida handia egon da interpretazio horren inguruan; kritikariek diote ezaugarritze hori anakronikoa dela, aljebraren jaiotza mende batzuk geroago gertatu zelako.[44] Bigarren liburuak teorema aljebraikoak eskaintzen ditu, hainbat forma geometrikorekin batera.[38][51]Laukizuzen etalaukien azaleran zentratzen da, etakosinuen legearen aurrekari geometriko bat ere badu.
III. liburua zirkuluetan zentratzen da, IV.akpoligono erregularrak azaltzen ditu, batez erepentagonoak.[38][54] V. Liburua sekziorik garrantzitsuenetakoa da, eta "proportzioaren teoria orokorra" deitzen dena aurkezten du.[55] VI. liburuak "arrazoien teoria" azaltzen du geometriaren testuinguruan.[38] Lehenengo proportzioaren gainean eraikita dago, batez ere:[56] "Altuera beraren azpian dauden triangeluak eta paralelogramoak beren oinarriak bezalakoak dira elkarrekiko.".[57]
VII. liburutik aurrera, Benno Artmann matematikariak dio "Euklides berriro hasten da. Aurreko liburuetan aipatutako ezer ere ez da berriro ere erabiltzen".[58]Zenbakien teoria 7-10 liburuen artean jorratzen da, lehenengo paritatea,zenbaki lehen eta beste kontzeptu aritmetiko batzuen 22 definiziorekin.[38] VII. liburuakEuklidesen algoritmoa,zatitzaile komun handiena aurkitzeko metodo bat, azaltzen du.[58] VIII. liburuakprogresio geometrikoa eztabaidatzen du, IX. liburuakEuklidesen teorema izena duen proposizioa duen bitartean, zenbaki lehen infinituak daudela dioena.[38] X. liburua luzeena eta konplexuena da,zenbaki irrazionalak eta magnitudeak aztertzen dituena.[44]
Azken hiru liburuak (XI-XIII)geometria solidoari buruz aritzen dira.[42] 37 definizioko zerrenda bat sortuz, XI. liburuak hurrengo bien testuingurua ezartzen ditu.[59] Bere oinarrian I. liburuaren antza badu ere, ez du ez axiomarik ez postulaturik sortzen.[59]
Elementuez gain beste bost liburuk biziraun dute gaur egunera arte. Egitura berbera jarraitzen dute, lehenengo definizioak ematen dira eta, ondoren, proposizioak horren bidez frogatzen dira.
Katoptrikakispiluen teoria matematikoa aztertzen du, batez ere plano batean sortzen diren irudiena eta ispilu esferiko ganbilena, baina baliteke liburua ez izatea berea[60].
Datuak (Δεδομένα), problema geometrikoetan "emandako" informazioaren inplikazioak eta natura aztertzen dituen testu labur bat da. Jatorrizko grezierazko testua eta arabierazko testua heldu zaizkigu.Elementuak liburuaren osagarria edo antzekoa da, baina analitikoagoa[61].
Irudien zatiketaz (Περὶ Διαιρέσεων) soilik atal bat iritsi zaigu, arabieratik. Figura geometrikoen zatiketaren inguruan aritzen da. Esaterako, lehenengo proposizioak honako hau eskatzen du: triangelu baten oinarriaren paraleloa den zuzen bat eraikitzeko, triangelua azalera berdineko bi iruditan zatitzea[61]. 36 proposizio ditu eta ApoloniorenKonikak liburuaren antzekoa da.
Optika, gaurdaino heldu den perspektibaren gaia aztertzen duen greziar testurik zaharrena da. Optika geometrikoaren sarrera bat du, eta perspektibaren oinarrizko arauak[62].
Fenomenoak, astronomia esferikoaren tratatu bat, grezieraz heldu dena.Autolikos PitanekoarenEsfera mugikorraren gainean lanaren antzekoa da[63], K.a. 310 inguruan idatzi zena.
Goulding, Robert. (2010). Defending Hypatia: Ramus, Savile, and the Renaissance Rediscovery of Mathematical History. Dordrecht: Springer Netherlands ISBN978-90-481-3542-4..
Sialaros, Michalis. (2018). «How Much Does a Theorem Cost?» in Sialaros, Michalis Revolutions and Continuity in Greek Mathematics. Berlin: De Gruyter, 89–106 or. ISBN978-3-11-056595-9..
