Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Edukira joan
WikipediaEntziklopedia askea
Bilatu

Espazio metriko

Wikipedia, Entziklopedia askea

Matematikan,multzo bat,metrika batekin batera espazio metrikoa izango da, non metrikak multzo horretako bi puntu edo elementuren arteko distantzia definituko digun. Ideia gisa, metrikak honako propietateak beteko ditu:

  • Puntu batetik puntu berdinera dagoen distantzia nulua da.
  • Bi puntu ezberdinen arteko distantziaren balioa beti positiboa izango da.
  • A puntutik B punturainoko distantzia eta B puntutik A punturainoko distantziaren balioa berdina da.
  • A puntutik B punturainoko distantzia txikiagoa ala berdina izango da, bakoitzetik beste C puntu batera dagoen distantzien batura baino.

Espazio bati metrika atxikitzean, zenbait kontzeptutopologiko ondorioztatu ditzakegu;multzo ireki eta itxiak esaterako, eta honek,espazio topologikoen azterketa abstraktuago batera garamatza.

Espazio metriko ezagunena,espazio tridimentsionala da. Izan ere, metrika kontzeptua, metrika euklidearraren orokorpen bat da, metrika honen lau propietate ezagunetatik abiatuta. Metrika euklidearrak, distantzia, bi puntu lotzen dituensegmentuaren luzera bezala definitzen du. Geometria eliptikoan zein geometría hiperbolikoan, beste espazio metriko batzuk aurki ditzakegu nonesfera batean distantzia angeluen bidez neurtuta, metrika definitzen dugun.

1906. urtean,Maurice Fréchet matematikari frantziarrak,Felix Hausdorff alemaniarraren eraginpean,Sur quelques points du calcul fonctionnel izeneko lanean definitu eta landu zuen lehen aldiz espazio metrikoaren kontzeptua.

Definizioa

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Espazio metrikoa definizioz,(X,d){\displaystyle (X,d)} bikotea da nonX(≠∅){\displaystyle X(\neq \emptyset )} multzoa etad{\displaystyle d} ondorengoaplikazioa izanik:d:X×X⟶R{\displaystyle d:X\times X\longrightarrow \mathbb {R} }non propietate hauek beteko dituen:

  1. d(x,y)≥0{\displaystyle d(x,y)\geq 0}
  2. d(x,y)=0⟺x=y{\displaystyle d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y}
  3. d(x,y)=d(y,x){\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}
  4. d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z){\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}

Ohar gaitezke lehen propietatea hurrengo hiruen ondorio gisa har daitekeela:d(x,x)≤d(x,y)+d(y,x)⟹d(x,x)≤d(x,y)+d(x,y)⟹0≤2d(x,y)⟹0≤d(x,y){\displaystyle d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)\Longrightarrow d(x,x)\leq d(x,y)+d(x,y)\Longrightarrow 0\leq 2d(x,y)\Longrightarrow 0\leq d(x,y)}d{\displaystyle d} aplikazioa,X{\displaystyle X}-ren gainekometrika edo distantzia dela esaten da.

Espazio metrikoen adibideak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Multzo ireki eta itxiak, topologia eta konbergentzia

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Espazio metriko batek, betiespazio topologiko bat sortzen du (distantzia batek beti topologia bat sortzen du) eta ondorioz, espazio topologikoei buruzko teorema eta definizio oro, hauekin ere aplikatu daitezke.

(X,d){\displaystyle (X,d)} espazio metriko batenx{\displaystyle x} edozein puntutarako,r>0{\displaystyle r>0}erradioko(r∈R){\displaystyle (r\in \mathbb {R} )} etax{\displaystyle x}zentruko bola irekia defini dezakegu honako multzo gisa:B(x,r)={y∈X:d(x,y)<r}{\displaystyle B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)<r\}}Adibidez,R{\displaystyle \mathbb {R} }-ren ohiko topologiaz,B(x,r)=(x−r,x+r){\displaystyle B(x,r)=(x-r,x+r)} izango da eta metrika diskretuaz,B(x,r)={x}{\displaystyle B(x,r)=\{x\}}.

Bola irekien multzoak,X{\displaystyle X} multzoaren gaineko topologia baten oinarria osatzen du,espazio topologikoa eratuz.

Esplizituki,U{\displaystyle U}X{\displaystyle X}-renazpimultzoari ireki deritzo,∀x∈X,∃r>0:B(x,r)⊆U{\displaystyle \forall x\in X,\exists r>0:B(x,r)\subseteq U} betetzen bada. Multzo ireki batenosagarriari, multzo itxi deritzo.

x∈X{\displaystyle x\in X} bakoitzerako,Bx={B(x,ϵ):ϵ>0}{\displaystyle B_{x}=\{B(x,\epsilon ):\epsilon >0\}} familia hartuz gero,{Bx}x∈X{\displaystyle \{B_{x}\}_{x\in X}} bildumak topologiaren baten ingurune-oinarria izateko baldintzak betetzen ditu beti, eta beraz, honako topologia hau sortzen du:τd={U⊆X:∀x∈U,∃B∈Bx:B⊆U}{\displaystyle \tau _{d}=\{U\subseteq X:\forall x\in U,\exists B\in \mathrm {B} _{x}:B\subseteq U\}}Adibidez,τu={U⊆R:∀x∈U,∃ϵ>0:(x−ϵ,x+ϵ)⊆U}{\displaystyle \tau _{u}=\{U\subseteq \mathbb {R} :\forall x\in U,\exists \epsilon >0:(x-\epsilon ,x+\epsilon )\subseteq U\}} ohiko topologia, ohiko metrikatik dator eta bestetik,τdisk={U⊆X:∀x∈U,∃B∈Bx:B⊆U}=P(X){\displaystyle \tau _{disk}=\{U\subseteq X:\forall x\in U,\exists B\in \mathrm {B} _{x}:B\subseteq U\}=P(X)} topologia diskretua, metrika diskretutik.

(X,d){\displaystyle (X,d)} espazio metrikoa izanik etar>0{\displaystyle r>0}, orduanB¯(x,r)={y∈X:d(x,y)=r}{\displaystyle {\bar {B}}(x,r)=\{y\in X:d(x,y)=r\}} multzoari,x{\displaystyle x}zentruko etar{\displaystyle r}erradioko bola itxia deritzo. Bestalde,S(x,r)={y∈X:d(x,y)=r}{\displaystyle S(x,r)=\{y\in X:d(x,y)=r\}} multzoari,x{\displaystyle x}zentruko etar{\displaystyle r}erradioko esfera esaten zaio.

(X,d){\displaystyle (X,d)}espazio metrikoa izanik, hurrengo propietateak betetzen dira:

(X,τ){\displaystyle (X,\tau )} espazio topologikoa metrizagarria dela esaten da,τ{\displaystyle \tau }topologiametrika batetik datorrenean, hau da, existitzen badad{\displaystyle d}X{\displaystyle X}-ren gaineko metrika nonτd=τ{\displaystyle \tau _{d}=\tau } den. Bestetik,(X,d){\displaystyle (X,d)} espazio metrikoa eta{xn}n∈N{\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}bertan definitutakosegida izanik, esaten da segida honen limiteaa∈X{\displaystyle a\in X} puntua dela, beraz konbergentea dela, baldin eta:∀ϵ>0,∃n∈N:∀n≥n0,d(xn,a)<ϵ{\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists n\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{0},d(x_{n},a)<\epsilon }Segidek oso tresna baliogarria izaten jarraitzen dute espazio metrikoetan, izan ere,R{\displaystyle \mathbb {R} }-n dituzten funtsezko propietateak mantentzen dituzte,espazio topologikoetan ez bezala. Esaterako, limitearen bakartasuna betetzen da (espazio topologikoetan, espazioaHausdorff denean soilik) etajarraitutasuna eta beste zenbait kontzeptutopologiko deskribatzeko baliogarriak zaizkigu.

Espazio metriko motak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Espazio osoa

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

(X,d){\displaystyle (X,d)} espazio metriko bat osoa dela esaten da,Cauchyren segida guztiakX{\displaystyle X}multzoan konbergenteak badira. Baliokidea dena:limn,m→∞d(xn,xm){\displaystyle \lim _{n,m\to \infty }d(x_{n},x_{m})} bada, orduan∃y∈X:limn→∞d(xn,y){\displaystyle \exists y\in X:\lim _{n\to \infty }d(x_{n},y)}.

Espazio euklidear oro osoa da, etazenbaki arrazionalen multzoa aldiz,balio absolutuarend(x,y)=|x−y|{\displaystyle d(x,y)=|x-y|} distantzia erabiliz, ez da osoa.

Espazio bornatuak eta guztiz bornatuak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

(X,d){\displaystyle (X,d)}espazio metriko bat bornatua dela esaten da, existitzen badar∈R{\displaystyle r\in \mathbb {R} }nond(x,y)≤r{\displaystyle d(x,y)\leq r} betetzen den∀x,y∈X{\displaystyle \forall x,y\in X}.r{\displaystyle r} ahalik eta txikiena hartuz,X{\displaystyle X}-ren diametroa lortuko da. Bestetik, guztiz bornatua dela esaten da, edozeinr>0{\displaystyle r>0} baliotarako existitzen badar{\displaystyle r}erradioko bola irekien kopuru finitua non bola hauen bildurakX{\displaystyle X}estaliko duen. Bola ireki hauen zentruek osatzen duten multzoa finitua denez,X{\displaystyle X}espazioak diametro finitua du, eta beraz ondoriozta daiteke (desberdintza triangeluarraren bidez) guztiz bornatua den espazio metrikoa, bornatua ere izango dela. Alderantzizko kasua ez da beti emango. Kontradibide gisa, edozein multzo infinituri metrika diskretua egokituz gero, hau bornatua da, baina ez guztiz bornatua (ohartu kasu honetanB(x,1)={x}{\displaystyle B(x,1)=\{x\}} dela).

Espazio trinkoak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

(X,d){\displaystyle (X,d)}espazio metrikoa trinkoa izango da,X{\displaystyle X} multzoan definitutako edozein segidak,X{\displaystyle X} multzoko elementu batera konbergentea den azpisegida bat badu. Kontuan izan trinkotasunaren definizio hau espazio metrikoetarako soilik erabili daitekeela, eta ez edozeinespazio topologikorako.

Heine Borel-en teorema:

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

(Rn,τu){\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\tau _{u})} espazioan,A⊆Rn{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}} trinkoa⟺{\displaystyle \Longleftrightarrow }itxia+{\displaystyle +}bornatua

Ohartu hauτu{\displaystyle \tau _{u}} ohiko topologiarekin soilik beteko dela eta ez espazio metrizagarri guztietan. Esaterako,(X,τdisk){\displaystyle (X,\tau _{disk})} espazioa metrizagarria izan arren, inpikazioa ez da bi aldetara beteko. Orokorrean, espazio metrikoetarako beteko da:(X,d){\displaystyle (X,d)} trinkoa⟺{\displaystyle \Longleftrightarrow }osoa eta guztiz bornatua

Espazio lokalki trinkoak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Espazio metriko bat lokalki trinkoa dela esaten da, espazioko puntu guztietarako, ingurune trinko bat existitzen bada.Espazio euklidearrak lokalki trinkoak dira, bainainfinitudimentsiodunBanach-en espazioak ez.

Espazio konexuak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

(X,d){\displaystyle (X,d)} espazio metrikoa konexua dela esaten da, aldi berean itxiak eta irekiak direnX{\displaystyle X}-ren azpimultzo bakarrak, multzo hutsa etaX{\displaystyle X} bera baldin badira. Ideia intuitibo gisa,(X,d){\displaystyle (X,d)} konexua izango da,X{\displaystyle X} "pieza bakar batez osatua" baldin bada.A⊂X{\displaystyle A\subset X} multzoa konexua dela esaten da(A,dA){\displaystyle (A,d_{A})} konexua baldin bada.

Beste modu batera definituz,(X,d){\displaystyle (X,d)}konexua dela esaten da, ez bada espazio metriko ez-konexua.A⊂X{\displaystyle A\subset X} izanik,A{\displaystyle A}ez-konexua dela esaten da baldin eta soilik baldin existitzen badiraU{\displaystyle U} etaV{\displaystyle V}multzoak,(X,d){\displaystyle (X,d)}espazio metrikoan irekiak non hiru baldintza hauek beteko diren:

{U∩A≠∅≠A∩VA∩U∩V=∅A⊆U∪V{\displaystyle {\begin{cases}U\cap A\neq \emptyset \neq A\cap V\\A\cap U\cap V=\emptyset \\A\subseteq U\cup V\end{cases}}}Adibidez;

Espazio banagarriak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Espazio metriko bat banagarria dela esaten da, kontagarria etadentsoa denazpimultzo bat baldin badu. Adibide ohikoenak,zenbaki errealen kasua edo edozeinespazio euklidearrenak dira. Espazio metrikoetarako (baina ezespazio topologikoetarako) bigarren zenbakigarritasuna etaLindelöf-en propietatea baliokideak dira.

Espazio metrikoen arteko aplikazio motak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Demagun(M1,d){\displaystyle (M_{1},d)} eta(M2,ρ){\displaystyle (M_{2},\rho )} espazio metrikoak direla.

Aplikazio jarraituak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

f:(M1,d)⟶(M2,ρ){\displaystyle f:(M_{1},d)\longrightarrow (M_{2},\rho )} aplikazioajarraitua dela diogu baldin eta baliokideak diren propietate hauek betetzen badira (bat betetzen bada, besteak ere beteko dira):

Adibideak:

[aldatu |aldatu iturburu kodea]
  1. f:(M1,d)⟶(M2,ρ){\displaystyle f:(M_{1},d)\longrightarrow (M_{2},\rho )}konstantea bada, jarraitua da.
  2. 1M1:(M1,d)⟶(M1,d){\displaystyle 1_{M_{1}}:(M_{1},d)\longrightarrow (M_{1},d)}jarraitua da.
  3. (M1,d){\displaystyle (M_{1},d)} diskretua bada,(M2,ρ){\displaystyle (M_{2},\rho )} edozein espazio metrikorako eta edozeinf{\displaystyle f} funtziorako,f:(M1,d)⟶(M2,ρ){\displaystyle f:(M_{1},d)\longrightarrow (M_{2},\rho )} aplikazioa jarraitua izango da.

Isometriak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

f:(M1,d)⟶(M2,ρ){\displaystyle f:(M_{1},d)\longrightarrow (M_{2},\rho )}aplikazioa isometria izango da baldin eta:ρ(f(x),f(y))=d(x,y):∀x,y∈M1{\displaystyle \rho (f(x),f(y))=d(x,y):\forall x,y\in M_{1}}Isometria bat beti izango da injektiboa eta multzo bat trinkoa edo osoa bada, bere irudia (isometria batean) ere trinkoa edo osoa izango da. Hala ere, isometria bat ez da beti suprajektiboa, hau da, ez du zertanM2{\displaystyle M_{2}}-ko elementu bakoitza gutxienezM1{\displaystyle M_{1}}-eko elementu baten irudia izan.

Uniformeki jarraituak diren aplikazioak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

f:M1⟶M2{\displaystyle f:M_{1}\longrightarrow M_{2}} aplikazioa uniformeki jarraitua dela esango duguϵ>0{\displaystyle \epsilon >0} guztietarako existitzen badaδ>0{\displaystyle \delta >0} non:∀x,y∈M1:d(x,y)<δ⟹ρ(f(x),f(y))<ϵ{\displaystyle \forall x,y\in M_{1}:d(x,y)<\delta \Longrightarrow \rho (f(x),f(y))<\epsilon }Uniformeki jarraitua den espazio metrikoen arteko edozeinf{\displaystyle f} aplikazio jarraitua da. Alderantzizkoa egia izango daM1{\displaystyle M_{1}} trinkoa baldin bada (Heine-Cantor-ren teorema).

Adibideak:

[aldatu |aldatu iturburu kodea]
  1. Identitatea.id:(M1,d)⟶(M1,d){\displaystyle id:(M_{1},d)\longrightarrow (M_{1},d)}
  2. Aplikazio konstanteak uniformeki jarraituak dira.
  3. Kontuan hartuz metrika diskretutik datorrenespazio topologikoari espazio topologiko diskretua deritzola,(M1,d){\displaystyle (M_{1},d)} edozein espazio metrikorako,f:(X,ddisk)⟶(M1,d){\displaystyle f:(X,d_{disk})\longrightarrow (M_{1},d)}itxurako aplikazioa uniformeki jarraitua izango da.
  4. Isometriak uniformeki jarraituak dira, baina alderantzizkoa ez da egia:1R:(R,ddisk)⟶(R,du){\displaystyle 1_{R}:(R,d_{disk})\longrightarrow (R,d_{u})} aplikazioa bijektiboa eta uniformeki jarraitua da, baina ez da isometria bat.

Aplikazio lipschitziar jarraituak edo lipschitziarrak eta uzkurdurak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

k>0{\displaystyle k>0}zenbaki erreala izanik,f:(M1,d)⟶(M2,ρ){\displaystyle f:(M_{1},d)\longrightarrow (M_{2},\rho )}aplikazioa, lipschitziar jarraitua edo lipschitziarra izango da baldin etaρ(f(x),f(y))≤k⋅d(x,y):∀x,y∈M1{\displaystyle \rho (f(x),f(y))\leq k\cdot d(x,y):\forall x,y\in M_{1}}Lipschitziar jarraitua den aplikaio oro, uniformeki jarraitua da, baina alderantzizkoa ez da beti gertatzen.

k>1{\displaystyle k>1} den kasuan,f{\displaystyle f}uzkurdura bat baldin bada, orduan puntu finko bakarra onartuko du (Banachen puntu finkoaren teorema).M1{\displaystyle M_{1}}trinkoa den kasuan aldiz,f{\displaystyle f} aplikazioak puntu finko bakarra onartuko du baldin eta:d(f(x),f(y))≤d(x,y):∀x≠y∈M1{\displaystyle d(f(x),f(y))\leq d(x,y):\forall x\neq y\in M_{1}}

Espazio metrikoen arteko baliokidetasun nozioak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Demagun(M1,d){\displaystyle (M_{1},d)} eta(M2,ρ){\displaystyle (M_{2},\rho )} espazio metrikoak direla:

  • Homeomorfoak direla esaten da, existitzen badaf:(M1,d)⟶(M2,ρ){\displaystyle f:(M_{1},d)\longrightarrow (M_{2},\rho )}homeomorfismoa, hau da, existitzen bada bi espazio metrikoen artekof{\displaystyle f} aplikazioa nonf{\displaystyle f} bijektiboa, jarraitua eta bere alderantzizkoa ere jarraitua den.
  • Uniformeki isomorfoak direla esaten da, existitzen bada bi espazio metrikoen arteko isomorfismo uniforme bat, hau da, existitzen bada bi espazio metrikoen artekof{\displaystyle f} aplikazioa nonf{\displaystyle f} injektiboa,buniformeki jarraitua eta bere alderantzizkoa ere uniformeki jarraitua den.
  • Isometrikoak direla esaten da existitzen bada bi espazio metrikoen arteko isometria bijektibo bat. Kasu honetan, bi espazio metrikoak izatez berdinak izango dira.

Puntuen eta multzoen arteko distantzia; Hausdorffen distantzia

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Puntu bat, multzo itxi batengandik bereiziko duen funtzio bat eraikitzeko modu sinple bat, puntu horren eta multzo horren arteko distantzia hartzea da.(X,d){\displaystyle (X,d)} espazio metrikoa bada,A⊆X{\displaystyle A\subseteq X}bada etax∈X{\displaystyle x\in X} bada,x{\displaystyle x}-tikA{\displaystyle A}-ra definitzen den distantzia honako hau izango da:d(x,A)=inf{d(x,a):a∈A}{\displaystyle d(x,A)=\inf\{d(x,a):a\in A\}}.

d(x,A)=0{\displaystyle d(x,A)=0} izango da baldin eta soilik baldinx∈A¯{\displaystyle x\in {\bar {A}}}, nonA¯{\displaystyle {\bar {A}}}multzoa,A{\displaystyle A}-ren itxitura den. Are gehiago, desberdintza triangeluarraren orokorpen gisa:d(x,A)≤d(x,y)+d(y,A){\displaystyle d(x,A)\leq d(x,y)+d(y,A)}Hortik ondoriozta dezakegux⟼d(x,A){\displaystyle x\longmapsto d(x,A)} aplikazioa jarraitua izango dela.

A{\displaystyle A} etaS{\displaystyle S},X{\displaystyle X}-ren azpimultzoak izanik, bi azpimultzoen arteko Hausdorffen distantzia honako hau izango da:dH(A,S)=max{sup{d(a,S):a∈A},sup{d(s,A):s∈S}}{\displaystyle d_{H}(A,S)=\max\{\sup\{d(a,S):a\in A\},\sup\{d(s,A):s\in S\}\}}Orokorrean, Hausdorffen distantzia,dH(A,S){\displaystyle d_{H}(A,S)}, infinitua izan daiteke. Bi multzo elkarrekiko hurbil daude Hausdorffen distantzian baldin eta multzo bateko elementu oro, hurbil badago beste multzoko elementuren batekiko.

Biderkadura espazio metrikoak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

(M1,d1),(M2,d2),...,(Mn,dn){\displaystyle (M_{1},d_{1}),(M_{2},d_{2}),...,(M_{n},d_{n})}espazio metrikoak baldin badira etaN{\displaystyle N}norma euklidearra badaRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}-n, orduan(M1×M2×...×Mn,N(d1,d2,...,dn)){\displaystyle (M_{1}\times M_{2}\times ...\times M_{n},N(d_{1},d_{2},...,d_{n}))}espazio metrikoa da non biderkadura distantzia modu honetan definitzen den:N(d1,d2,...,dn)((x1,x2,...,xn),(y1,y2,...,yn))=N(d1(x1,y1),...,dn(xn,yn)){\displaystyle N(d_{1},d_{2},...,d_{n})((x_{1},x_{2},...,x_{n}),(y_{1},y_{2},...,y_{n}))=N(d_{1}(x_{1},y_{1}),...,d_{n}(x_{n},y_{n}))}Era berean, espazio metrikoen familia kontagarri baten biderkadura distantzia modu honetan kalkula dezakegu:d(x,y)=∑i=1∞12i⋅di(xi,yi)1+di(xi,yi){\displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}\cdot {\frac {d_{i}(x_{i},y_{i})}{1+d_{i}(x_{i},y_{i})}}}Espazio metrikoen familia ez-kontagarri baten biderkadurak ez du zertan metrizagarria izan.

Espazio metrikoen orokortzeak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]
  • Espazio metriko oro espazio uniforme bat da, modu natural batean, eta espazio uniforme oro naturalki espazio topologiko bat da. Espazio uniforme eta topologikoak beraz, espazio metrikoen orokortze gisa kontsideratzen dira.
  • Arestian aipaturiko espazio metrikoen lehen definizioa kontsideratzen badugu, eta bigarren baldintza kendu, espazio pseudometrikoaren zenbait kontzeptutara iritsi gaitezke. Hirugarren ala laugarren baldintza ezabatzen badugu aldiz, espazio quasimetrikora ala espazio semimetrikora iritsi gaitezke.
  • Distantzia funtzioak zuzen erreal hedatuan balioak hartzen baditu, eta definizioko lau baldintzak betetzen baditu, orduan metrika hedatua deritzo eta izango duen espazioa,∞{\displaystyle \infty }-espazio metrikoa izango da.

Kanpo estekak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]
Autoritate kontrola
"https://eu.wikipedia.org/w/index.php?title=Espazio_metriko&oldid=8779865"(e)tik eskuratuta
Kategoriak:
Ezkutuko kategoriak:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp