Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Edukira joan
WikipediaEntziklopedia askea
Bilatu

Esfera

Artikulu hau "Kalitatezko 2.000 artikulu 12-16 urteko ikasleentzat" proiektuaren parte da
Wikipedia, Entziklopedia askea

Esfera bat
Esfera zer den ulertzeko bideoa.
Bideo hau Jakindun elkarteak egin du. Gehiago dituzu eskuragarrieuren gunean. Bideoak dituzten artikulu guztiak ikus ditzakezuhemen.
3D irudia

Esfera (grezieratik: σφαίρα -sphaira, "globoa, baloia") hiru dimentsioko espazioan puntu jakin batetik distantzia berera dauden espazioko puntu guztiek osatzen duten azalera da. Era berean,zirkulu bat bereardatzaren inguruan biratzen denean sortzen dengorputz geometrikoa ere bada. Alde guztietatik begiratuta, esfera gorputz erabatbiribila da.

Esferaren atalak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]
Esferaren atalak
  • [1]Zentroa: puntu guztietatik distantzia berera dagoen barne-puntua da.
  • Erradioa: zentrotik gainazaleraino dagoen distantzia da.
  • Korda: bi puntu lotzen dituen zuzena da.
  • Diametroa: zentrotik pasatzen den korda da. Erradioa halako bi luze da.
  • Biraketa-ardatza: esferako puntu guztiak biratzen diren lerroa da.
  • Poloak: biraketa-ardatzaren eta gainazalaren artekoebaki-puntuak dira.

Esferaren zirkunferentziak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Esferaren gaineko koordenatuak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Esferaren gainazalean dagoen puntu bat aurkitzeko, egokiagoa dakoordenatu esferikoak erabiltzeakoordenatu kartesiarrak baino, honako arrazoiengatik: batetik, azalera esferikoa bi dimentsioko espazioa delako eta koordenatu kartesiarrak hiru koordenatuetan banatzen direlako; bestetik, esfera batean lan egitean,angeluen terminoa erabiltzea egokiagoa delako, koordenatuortogonalak erabiltzea baino.

Esferaren[Betiko hautsitako esteka] koordenatuen adierazpena.

Koordenatu esferikoen bi jatorri ortogonalak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Koordenatu esferikoen bi jatorri ortogonalak kalkulatzeko, ekuatore bat eta horren puntu bat angelu horizontalen abiapuntu gisa aukeratzen dira. Lehenik eta behin,φ{\displaystyle \varphi } angeluaren ikurra definitzeko, ekuatorearen orientazio bat hautatzen da. Ondoren,θ{\displaystyle \theta } angeluaren ikurra definitzeko, esferaren bi poloetatik polo bakarra aukeratzen da. Poloak esferaren ekuatoretik urrutien dauden puntuak dira, eta esfera batek, hain zuzen, bi polo ditu.

Puntuak angeluen bidez zehaztea

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

θ{\displaystyle \theta } etaφ{\displaystyle \varphi } angeluek esferaren puntu guztiak mugatzen dituzte. Plano horizontaleko (ekuatorearen planoa) eta plano bertikaleko angeluei esker esferaren edozein puntu aurki daiteke.

Geometrian etageografianθ{\displaystyle \theta } etaφ{\displaystyle \varphi } angeluak modu ezberdinetan neurtzen dira. Normaleanarku-luzera kalkulatu ahal izateko, geometrian, angelu horiekradianetan neurtzen dira. Geografian, aldiz,gradu sexagesimalak edoehundarrak erabiltzen dira angeluak lortzeko. Geografiaren kasuan, puntuak angeluen bidez zehazteko, jatorriakGreenwich-eko meridianoaren ekuatoreko puntuan eta Ipar poloko puntuan hartzen dira; era horretan,θ{\displaystyle \theta } angelualatitudea dela lortzen da, etaφ{\displaystyle \varphi } angelua,longitudea.

Koordenatu esferikoekin espazioko edozein puntu aurkitu ahal izateko,r{\displaystyle r} izeneko hirugarren parametroa sartu behar da(r,φ,θ){\displaystyle (r,\varphi ,\theta )}; esferaren erradioa dar{\displaystyle r}.

(r,φ,θ){\displaystyle (r,\varphi ,\theta )} koordenatu esferikoen bitartez, espazioko edozein puntu aurkitu daiteke. Hori kontuan hartuta,(x,y,z){\displaystyle (x,y,z)}koordenatu kartesiarrak(r,φ,θ){\displaystyle (r,\varphi ,\theta )} koordenatu esferikoen bidez adieraz daitezke. Honako eran adierazten dira:

{x=rsin⁡θcos⁡φy=rsin⁡θsin⁡φz=rcos⁡θ{\displaystyle {\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi \\y=r\sin \theta \sin \varphi \\z=r\cos \theta \end{cases}}}, non−π2<φ≤π2{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\varphi \leq {\frac {\pi }{2}}} eta0<θ≤2π{\displaystyle 0<\theta \leq 2\pi } diren.

Koordenatu kartesiarretatik abiatuta, koordenatu esferikoak lortzen dira:

{r=x2+y2+z2≠0θ=arccos⁡zr=arccos⁡zx2+y2+z2φ=arcsin⁡yrcos⁡θ=2arcsin⁡yx2+y2+x.{\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\neq 0\\\theta =\arccos {\frac {z}{r}}=\arccos {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\\\varphi =\arcsin {\frac {y}{r\cos \theta }}=2\arcsin {\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}.\end{cases}}}

Ekuazioak hiru dimentsioko espazioan

[aldatu |aldatu iturburu kodea]
Esfera baten bi erradio ortogonal

Hiru dimentsioko espazio euklidear batekokoordenatu kartesiarreko sistema batean, esfera unitarioaren (erradioar{\displaystyle r} duen esferaren) ekuazioa honakoa da:

x2+y2+z2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}.

Jarraian azalduko da nola lortzen den aurreko ekuazioa.

Izan bitez esferarenjatorria(0,0,0){\displaystyle (0,0,0)} eta esferaren edozein puntu(x,y,z){\displaystyle (x,y,z)}. Lehenengo elementuaO{\displaystyle O} baten bidez adieraziko da, eta bigarren elementua, aldiz,M{\displaystyle M} baten bidez. EsferarenM{\displaystyle M} puntuanOM→{\displaystyle {\vec {OM}}}bektore normalak1{\displaystyle 1} balioa duela jota, hasierako formula lortzen da.

Formula hori orokortzeko, demagun esferaren jatorria(x0,y0,z0){\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} dela. Hortaz,

(x−xo)2+(y−y0)2+(z−z0)2=r2{\displaystyle (x-x_{o})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}}.

Bestalde,M{\displaystyle M} puntuan(x′,y′,z′){\displaystyle (x\prime ,y\prime ,z\prime )}plano tangentearen ekuazioa aldagai-banaketaren bitartez lortzen da. Esfera unitarioaren kasuan, jatorria(0,0,0){\displaystyle (0,0,0)} da:

x⋅x′+y⋅y′+z⋅z′=0{\displaystyle x\cdot x\prime +y\cdot y\prime +z\cdot z\prime =0}.

Formula hori orokortzeko, demagun esferaren jatorria(x0,y0,z0){\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} dela. Beraz,

(x−x0)⋅x′+(y−y0)⋅y′+(z−z0)⋅z′=0{\displaystyle (x-x_{0})\cdot x\prime +(y-y_{0})\cdot y\prime +(z-z_{0})\cdot z\prime =0}.

Izan biteza,b,c,d{\displaystyle a,b,c,d} etae{\displaystyle e}zenbaki errealak,a≠0{\displaystyle a\neq 0} izanik eta

xo=−ba,{\displaystyle x_{o}=-{\frac {b}{a}},}yo=−ca,{\displaystyle y_{o}=-{\frac {c}{a}},}zo=−da,{\displaystyle z_{o}=-{\frac {d}{a}},}ρ=b2+c2+d2−aea2{\displaystyle \rho ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}}.

Orduan, esfera adierazteko beste era bat honako hau da:

f(x,y,z)=a⋅(x2+y2+z2)+2⋅(b⋅x+c⋅y+d⋅z)+e{\displaystyle f(x,y,z)=a\cdot (x^{2}+y^{2}+z^{2})+2\cdot (b\cdot x+c\cdot y+d\cdot z)+e}.

ρ{\displaystyle \rho } -k hartzen duen balioaren arabera, zenbait esfera mota ezberdindu daitezke.

·ρ<0{\displaystyle \rho <0} bada,f(x,y,z)=0{\displaystyle f(x,y,z)=0} ekuazioaren soluzioak ez dauka puntu errealik. Beraz, aurreko ekuazioaesfera irudikari baten ekuazioa da.

·ρ=0{\displaystyle \rho =0} bada,f(x,y,z)=0{\displaystyle f(x,y,z)=0} ekuazioaren soluzio bakarraP0=(x0,y0,z0){\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})} puntua da. Beraz, aurreko ekuazioaesfera puntual baten ekuazioa da.

·ρ>0{\displaystyle \rho >0} bada,f(x,y,z)=0{\displaystyle f(x,y,z)=0} ekuazioak, aldiz,P0{\displaystyle P_{0}} zentrodun etaρ{\displaystyle {\sqrt {\rho }}} erradiodun esferaren ekuazioa adierazten du.[2]

Aurreko ekuazioana{\displaystyle a}-ren balioa0{\displaystyle 0} bada, orduanf(x,y,z)=0{\displaystyle f(x,y,z)=0} plano baten ekuazioa da.

Gainera, hiru dimentsioko espazio euklidear batean, esferaren gainazaleko puntuak modu honetan parametriza daitezke:

{x=x0+rsin⁡θcos⁡φy=y0+rsin⁡θsin⁡φz=z0+rcos⁡θ{\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+r\sin \theta \cos \varphi \\y=y_{0}+r\sin \theta \sin \varphi \\z=z_{0}+r\cos \theta \end{cases}}}, non0≤θ≤π{\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi } eta0≤φ≤2π{\displaystyle 0\leq \varphi \leq 2\pi } diren[3].

r{\displaystyle r} da esferaren erradioa;(x0,y0,z0){\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}, zentroaren koordenatuak, eta(θ,φ){\displaystyle (\theta ,\varphi )}, ekuazioaren parametro angeluarrak.

Bestalde,(0,0,0){\displaystyle (0,0,0)} puntuan zentratutako edozein erradiotako esferagainazal integral bat da. Honela definitzen da esferaforma diferentzialean:

x⋅dx+y⋅dy+z⋅dz=0{\displaystyle x\cdot dx+y\cdot dy+z\cdot dz=0}.

Azken ekuazio horrek adierazten du esfera baten posizio-bektorea(x,y,z){\displaystyle (x,y,z)} eta puntuaren abiadura(dx,dy,dz){\displaystyle (dx,dy,dz)} elkarrekikoortogonalak direla.

Bolumena

[aldatu |aldatu iturburu kodea]
Zilindro[Betiko hautsitako esteka] zirkunskribatuaren bolumena eta azalera ateratzeko eredua.

Esferarenbolumena

V=4πr33{\displaystyle V={4\pi r^{3} \over 3}}

da, nonr{\displaystyle r} esferaren erradioa den.

Esfera baten bolumena esfera horretanzirkunskribatutakozilindroaren bolumenaren23{\displaystyle {\frac {2}{3}}} dela esan daiteke. Kontuan izanda zilindroaren oinarria esferak duendiametro bereko zirkulu bat dela eta altuerak aipatutako diametroaren neurri bera duela, ondorengoa adieraz daiteke:

V=23⋅2πr3{\displaystyle V={2 \over 3}\cdot 2\pi r^{3}}.

Adierazitako bolumenen arteko erlazioaArkimedesek frogatu zuen.

Bestalde, posible da esferaren bolumena kalkulatzeaπ{\displaystyle \pi } erabili gabe, horrenerrore-marjina%0.03{\displaystyle \%0.03}koa izanik.

V=6716⋅r3{\displaystyle V={67 \over 16}\cdot r^{3}}.

Azalera

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

r{\displaystyle r} erradiodun esfera batenazalera hurrengoa da:

A=4πr2{\displaystyle A=4\pi r^{2}}.

Arkimedesek[4]A=4πr2{\displaystyle A=4\pi r^{2}} formula lortu zuenzilindrozirkunskribatuaren alboko gainazalerako proiekzioak eremua mantentzen duela kontuan hartuz. Dena den, azaleraren formula beste era batera lor daiteke: bolumenaren formular{\displaystyle r}-rekikoderibatuz.

Edozeinr{\displaystyle r} erradio emanda, bolumen graduala(δV){\displaystyle (\delta V)}r{\displaystyle r} erradiodun azaleraren(A(r)){\displaystyle (A(r))} eta egituraren lodieraren(δr){\displaystyle (\delta r)} arteko biderkadurarena bezalakoa da.

δV≈A(r)⋅δr{\displaystyle \delta V\approx A(r)\cdot \delta r}.

Egituren arteko bolumen guztien gehiketa esferaren bolumenaren totala da.

V≈∑A(r)⋅δr{\displaystyle V\approx \sum A(r)\cdot \delta r}.

(δr){\displaystyle (\delta r)}-ren limitean0{\displaystyle 0}-ra[5] hurbiltzen denez,

V=∫0rA(r)dr{\displaystyle V=\int _{0}^{r}A(r)dr}.

Bolumena ordezkatuz,

43πr3=∫0rA(r)dr{\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}A(r)dr}.

Bi aldeakr{\displaystyle r}-rekiko deribatuz gero,

4πr2=A(r){\displaystyle 4\pi r^{2}=A(r)}.

Horren ondorioz, azalera hurrengoa da:

A=4πr2{\displaystyle A=4\pi r^{2}},

nonr{\displaystyle r} esferaren erradioa den.

Kurbak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]
Esfera baten sekzio lana: zirkulu bat
Esfera baten eta zilindro baten ebakidura ardazkidea: 2 zirkulu

Zirkuluak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Zirkulu bat denean,ekuazio parametriko batekin adieraz daiteke.

x→=(e→0+e→1cos⁡t+e→2sin⁡t)T.{\displaystyle {\vec {x}}=({\vec {e}}_{0}+{\vec {e}}_{1}\cos t+{\vec {e}}_{2}\sin t)^{T}.}

Aldiz, beste zenbait gorputzak esfera mozteanzirkuluak ere sortzen dituzte:

  • Biraketa-gainazal baten eta esfera baten arteko ebakidura ez hutsak zirkuluez edota puntuez osatuta daude.

Irudian ikus daitekeenez, zilindroa eta esfera ebakitzen direnean, bi zirkulu sortzen direla. Zilindroak eta esferak erradio bera badute eta haien artean tangenteak badira zirkulu bakarra sortzen da.

Espiral esferikoac=8{\displaystyle c=8} denerako

Clelia kurbak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Esfera modu honetan definituta badago,

x→=(rcos⁡θcos⁡φ,rcos⁡θsin⁡φ,rsin⁡θ)T{\displaystyle {\vec {x}}=(r\cos \theta \cos \varphi ,r\cos \theta \sin \varphi ,r\sin \theta )^{T}}

Clelia kurbak lortzen dira angeluek hurrengo ekuazioa betetzen badute:  

Kasu bereziak:Viviani´s kurba(c=1){\displaystyle (c=1)} etaespiral esferikoak(c>2){\displaystyle (c>2)}.

Zilindro esferikoaren elkargune orokorra

Gorputz orokorren eta esferaren arteko ebaketa

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Esfera bat beste gainazal batekin ebakitzean, kurba esferiko konplexuagoak sortu daitezke.

Adibidea: esfera eta zilindroa

Esferaren eta zilindroaren arteko ebaketen emaitzak ekuazioen arteko sistema eginez lortzen dira eta ez dira beti bi zirkulu edo zirkulu bakarra izan behar.

Esferaren ekuazioa: x2+y2+z2=r2{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}.

Zilindroaren ekuazioa:(y−y0)2+z2=a2,{\displaystyle (y-y_{0})^{2}+z^{2}=a^{2},}y0≠0{\displaystyle y_{0}\neq 0}.

Esfera baten hemisferioak eta esferaerdiak.
Esfera baten ziri-gainazala eta horren azalera kalkulatzeko parametroak.
Esfera baten ziria, kalota eta esfera-zona.

Esferetatik lortzen diren irudi geometrikoak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

-[6]Hemisferioa: esferaren zentrotik pasatzen den planoak bi zatitan banatzen du gainazala. Bi zati horiei hemisferio deritze.

-Esferaerdia: esferaren diametroan ebakitzen diren bi planoen artean dagoen esferaren zatia da.

-Ziri-gainazal esferikoa: esferaren diametroan ebakitzen diren bi planoen arteko gainazalaren zatia da.

Ziri-gainazal esferikoaren azaleraA=4πr2360⋅n{\displaystyle A={\frac {4\pi r^{2}}{360}}\cdot n} da nonn{\displaystyle n} bi planoen arteko angelua den.

-Ziri esferikoa: esferaren diametroan ebakitzen diren bi planoen arteko esferaren zatia da.

Ziri esferiko baten bolumenaV=43⋅πr3360⋅n{\displaystyle V={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {\pi r^{3}}{360}}\cdot n} da nonn{\displaystyle n} bi planoen arteko angelua den.

-Kalota esferikoa:plano ebakitzaile batek zehazten duen esferaren zati bakoitza da.

Kalota esferikoaren azalera:A=2π⋅R⋅h{\displaystyle A=2\pi \cdot R\cdot h}.

Kalota esferikoaren bolumena:V=13π⋅h2⋅(3R−h){\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi \cdot h^{2}\cdot (3R-h)}.

-Esfera-zona: Bi plano ebakitzaile paraleloen arteko esferaren zatia da.

Esfera-zonaren azalera:A=2π⋅R⋅h{\displaystyle A=2\pi \cdot R\cdot h}.

Esfera-zonaren bolumena:V=16π⋅h⋅(h2+3R2+3r2){\displaystyle V={\frac {1}{6}}\pi \cdot h\cdot (h^{2}+3R^{2}+3r^{2})}.

Esferaren hamaika propietateak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Geometry and the Imagination liburuan[7]David Hilbertek etaStephan Cohn-Vossenek esferaren hamaika propietate deskribatzen dituzte, eta eztabaidatzen dute ea hamaika propietate horiek esfera modu bakarrean zehazten duten edo ez. Hamaika propietate horiek ondorengoak dira:

1. Esferaren puntu guztiak puntu finko batekiko distantzia berera daude. Gainera, bere puntuetatik bi puntu finkoetara dagoen distantziaren ratioa konstantea da.

2. Esferarenperimetroak eta sekzio lauak zirkuluak dira.

3. Esferaren zabalera etazirkunferentzia konstanteak dira.

4. Esferaren puntu guztiakunbilikalak dira.

5. Esferak ez dauka zentro gainazalik.

6. Esferaren geodesiko guztiak kurba itxiak dira.

7. Bolumena duten gorputz guztietatik esfera da gainazal txikiena duen gorputza, eta gainazala duten gorputz guztietatik esfera da bolumen handiena duen gorputza.

8. Esfera, gainazal zehatza duten gorputz ganbil guztietatik, batez besteko kurbadura txikiena duen gorputza da.

9. Esferak batez besteko kurbadura konstantea du.

10. Esferak Gaussen kurbadura positiboa eta konstantea du.

11. Esfera bere baitan transformatzen da hiru parametroetako familia zurrun baten higiduraren bidez.

Esfera forma duten hainbat objektu

[aldatu |aldatu iturburu kodea]

Erreferentziak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]
  1. ↑ (Gaztelaniaz)Serra, Bernat Requena. (2017-05-06). «Esfera» Universo Formulas (kontsulta data: 2020-11-15).
  2. ↑Albert, A. Adrian (Abraham Adrian), 1905-1972,. Solid analytic geometry. ISBN978-0-486-81468-1. PMC953977182. (kontsulta data: 2020-11-15).
  3. ↑Kreyszig, Erwin.. ([1972]). Advanced engineering mathematics.. (3d ed. argitaraldia) Wiley ISBN0-471-50728-8. PMC314161. (kontsulta data: 2020-11-15).
  4. ↑Weisstein, Eric. (2007-08-07). «Making MathWorld» The Mathematica Journal 10 (3)  doi:10.3888/tmj.10.3-3. ISSN1097-1610. (kontsulta data: 2020-11-15).
  5. ↑Borowski, E. J. (Ephraim J.). (1989). Dictionary of mathematics. Collins ISBN0-00-434347-6. PMC21295708. (kontsulta data: 2020-11-15).
  6. ↑ (Gaztelaniaz)Maths, Sangaku. «Esferas y sus figuras geométricas» www.sangakoo.com (kontsulta data: 2020-11-15).
  7. ↑Hilbert, David, 1862-1943.. (1990). Geometry and the imagination. Chelsea ISBN0-8284-1087-9. PMC22280007. (kontsulta data: 2020-11-15).

Bibliografia

[aldatu |aldatu iturburu kodea]
  • Albert, Abraham Adrian (2016) [1949],Solid Analytic Geometry, Dover,ISBN 978-0-486-81468-1.
  • Woods, Frederick S. (1961) [1922],Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry, Dover.
  • Kreyszig, Erwin (1972),Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley,ISBN978-0-471-50728-4.
  • Serra, Bernat Requena. (2017-05-06).«Esfera» Universo Formulas.
  • Maths, Sangaku. «Esferas y sus figuras geométricas» www.sangakoo.com.

Kanpo estekak

[aldatu |aldatu iturburu kodea]
Autoritate kontrola
"https://eu.wikipedia.org/w/index.php?title=Esfera&oldid=9259232"(e)tik eskuratuta
Kategoriak:
Ezkutuko kategoriak:
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp