Berdin zeinuaren lehen erabilera, gaur egungo notazioan 14x + 15 = 71 ekuazioaren baliokidea litzatekeena, GaleskoRobert RecorderenThe Whetstone of Witte[1] liburutik ateratakoa.
Matematikan,ekuazioa ezezagun bat edo gehiago dituenberdintza aljebraikoa da, adibidez ekuazio bat da, non bi adierazpen matematiko berdintzen diren eta ezezaguna den. Zenbakizko berdintzetan (2+3=5, esaterako) ez bezala, ekuazioa ez da, oro har, egiazkoa ezezagunaren edozein baliotarako (aurreko ekuazioan adibidez,).Horrela,ekuazioa ebaztea berdintza betetzen duten ezezagunen balioak aurkitzea da,ezezaguna aurkitzea alegia, ekuazioa identitate edo zenbakizko berdintza bihurtzeko (aurreko ekuazioan,). Horrela,bakandu edoaskatu egin dela esaten da.
Oro har, ezezagunakx,y,z, etab. hizkiez adierazten dira, etakonstanteakalfabetoko lehenengo hizkiez (a,b,c, eta abar).
Alfabeto-egiunez finkatzeko ideia, ezezagunakkonstanteetatik desberdintzeko,François Viète matematikari frantziarrarena izan zen. François Viètekkontsonanteak aldagaietarako etabokalak konstanteetarako erabili zituen.
Ekuazio baten ilustrazioa, zeinetanx, y etaz direnezezagunak.
Ekuazio batpisu balantza bat bezala irudika genezake, berdin zeinuaren alde bakoitza balantzaren beso bat delarik. Bi besoetan, elementu ezberdinak jar daitezke eta, pisua berdina den bitartean, balantza orekatua egongo da.Desberdintza bat gertatzen den momentuan,inekuazio bat edukiko genuke.
Ilustrazioan,x,y etaz kopuru ezberdinetan dauzkagu (zenbaki errealak dira, kasu honetan), horietako bakoitzak pisu ezberdina duelarik.
Batzuetan, ekuazioek ez ezagunetaz gain elementu gehiago izaten dituzte, balio ezagun bat izan ohi dutenak, parametro, konstante edota koefiziente bezala ezagutzen direnak.
Normalean, ezezagunak alfabetoaren amaierako hizkiekin adierazten dira:x, y, z, w...[2]. Konstanteak, aldiz, alfabetoaren hasierako hizkiak erabilita adierazten dira:a, b, d... Esate baterako,bigarren mailako ekuazioa, normalean, ondorengo notazioarekin adierazten da:ax2 + bx + c = 0.
Ekuazioaren soluzioa aurkitzearen prozesuari,ekuazio ebaztea deritzo.
Ekuazio-sistema bat hainbat ezezagun komun dituzten ekuazioek osatutako multzoa da. Ekuazio-sistema horren soluzioa ezezagun bakoitzarentzako balio multzo bat da, multzoko ekuazio guztientzako baliagarria dena. Adibidez:
Ekuazio-sistema honek soluzio bakarra dauka, zeinetan x = –1 eta y = 1 diren.
Ekuazioak,zientzian, oso erabiliak dira legeak modu zehatzean adierazteko, ekuazioek aldagaien arteko harremana adierazten dute eta. Adibidez, fisikan,Newtonen bigarren legeakF indarraren,a azelerazioaren etam masaren arteko harremana adierazten du:. Ekuazio horren emaitza baliozkoak diren balioek Newton-en bigarren legea betetzen dute. Esate baterako,m = 1 kg bada eta azelerazioaa = 1m/s, ekuazioaren soluzio bakarra F = 1 kg·m/s = 1newton izango da, legearen ekuazioak onartzen duen balio bakarra delako.
Ekuazioen aplikazio eremua oso zabala da, eta, hortaz, esparru askotan erabiltzen da.Ian Stewart matematikariaren arabera, «ekuazioen boterea (...) matematikaren (giza garunaren asmakuntza kolektiboa dena) eta errealitate fisikoaren arteko harreman zaila egin ahal izatean datza».[3]
K.a. XVI. mendean,egiptoarrek eguneroko arazoak ebazten zituzten, elikagaiak, uztak eta materialak banatzearekin zerikusia zutenak eta lehen mailako ekuazio aljebraiko sinpleak ebazteko balio zutenak;notazio aljebraikoa existitzen ez zenez, gutxi gorabeherako metodo iteratibo bat erabiltzen zuten, «kokapen faltsuaren metodoa» izenekoa.
Gure aroaren hasierako Txinako matematikariekMatematika-arteari buruzko bederatzi kapituluak liburua idatzi zuten. Bertan, lehen eta bigarren mailako ekuazio aljebraikoak ebazteko zenbait metodo eta bi ezezaguneko bi ekuazioko sistemak planteatu zituzten.
Diofanto Alexandriakoa matematikari grekoak bereArithmetika obra III. mendean argitaratu zuen,lehen etabigarren mailako ekuazioak landuz; ekuazioak irudikatzeko sinboloak erabiltzen lehenetako bat izan zen.Ekuazioak soluzio osoekin ere planteatu zituen, ekuazio diofaniko deituak.[4]
Aro Modernoan, ekuazio aljebraikoen azterketak bultzada handia izan zuen. XV. mendean, erronka matematiko publikoak zeuden aztergai, irabazleari sariak emanez; hala, erronka famatu batek hirugarren mailako ekuazioak ebaztera behartu zituen bi matematikari, eta irabazleaNiccolò Fontana Tartaglia izan zen,aljebrari aditua.
XVI. mendearen erdialdean,Girolamo Cardano etaRafael Bombelli matematikari italiarrek jakin zuten ezen bigarren, hirugarren eta laugarren graduko ekuazio guztiak ebazteko, ezinbestekoa zela zenbaki irudikariak erabiltzea. Tartagliaren etsai amorratua zen Cardano, eta laugarren mailako ekuazioak ebazteko metodoak ere aurkitu zituen.
Mendeberean,René Descartes matematikari frantsesaknotazio aljebraiko modernoa ospetsu egin zuen. Notazio horren, konstanteak alfabetoko lehen letrek adierazten dituzte, a, b, c, …, eta aldagaiak edo ezezagunak azkenek,x, y, z.
Garai horretan, orain dela gutxi ebatzi diren ekuazio-problemak aipatzen dira; besteak beste,Fermat-en azken teorema, matematikaren teorema ezagunenetako bat, 1995 arteAndrew Wilesek etaRichard Taylorrek frogatu ez zutena.
Aurreko garaietako ahalegin guztiak gorabehera, bosgarren mailako eta goi-mailako ekuazio aljebraikoak ez ziren ebatzi; kasu partikularretan bakarrik lortu zen, baina ez zegoen irtenbide orokorrik. . mendearen hasieran,Niels Henrik Abelek frogatu zuen ekuazio ez-ebazgarriak daudela; zehazki, erakutsi zuen ez dagoela formula orokorrikbosgarren mailako ekuazioa ebazteko; ondoren, ÉvaristeGaloisek, beretalde-teoria erabiliz, frogatu zuen gauza bera esan daitekeela bost edo gehiagoko graduko ekuazio orori buruz.
XIX. mendean, zientzia fisikoek ekuazio diferentzialak erabili zituztenderibatu partzialetan eta/edoekuazio integraletan, hala nolaJames Clerk Maxwellenelektrodinamikan, mekanika hamiltondar edo fluidoenmekanikan. Ekuazio horien eta ebazpen-metodoen ohiko erabilerak espezialitate berri bat sortzea ekarri zuen,fisika matematikoa.
Praktikan aurkezten diren ekuazio gehienak analitikoki ebazteko oso zailak edo ezinezkoak direnez, ohikoa dazenbakizko metodoak erabiltzea gutxi gorabeherako erroak aurkitzeko. Informatikaren garapenak, gaur egun, milaka eta milioika aldagairen ekuazio arrazoizkoak ebazteko aukera ematen duzenbakizko algoritmoak erabiliz.
Bi ekuazio edo bi ekuazio-sistema baliokideak dira, soluzio multzo bera badute. Ekuazio edota ekuazio-sistema bati eragiketa oinarrizko bera aplikatzen bazaie,berdintza mantentzen duena, horren baliokide bat lortuko dugu:
Ekuazioaren bi aldeei kopuru bera gehitu edo kentzen badiegu, berdintza mantentzen da:
Ekuazioaren bi aldeak kopuru berarekin biderkatuz gero (balio positibo zein negatiboa), berdintza mantentzen da:
Ekuazioaren bi aldeak kopuru berarekin zatituz gero (0 ez den balio positibo zein negatiboa), berdintza mantentzen da:
Eragiketa batzuk ekuazioaren bi aldeei aplikatuta ekuazioaren soluzioez gain soluzio berriak ager daitezke. Esaterako, ekuazioak soluzio bakarra dauka,. Hala ere, ekuazioaren bi aldeei ber 2 berreketa aplikatuko bagenie, ekuazioa bilakatuko litzateke, aurreko soluzioaz gain soluzioa ere edukiko lukeena. Hortaz, horrelako transformazioak tentuz egin behar dira ekuazioaren soluzioak ez eraldatzeko.
Aldagai edo ezezagun bakarreko ekuazioa: ezezagun horren balio egokiarentzat bakarrik egiaztatzen den ekuazioa; adibidez, 3x+1=10; x=3.
Aljebrako ekuazioa: ezezaguna aljebrako eragiketa arrunten (batuketa, kenketa, biderketa, erroketa) mende dagoen ekuazioa. Aztertu ziren lehenengo ekuazioak aljebrakoak izan ziren; horretarako, hainbat polinomio berdindu ziren beren artean, balio ezezagunak argitzeko.
Ekuazio bat ebaztea haren soluzio domeinua aurkitzea da, berdintasuna betetzen duten ezezagunen balioen multzoa dena.
Oro har, problema matematikoak ekuazio baten edo gehiagoren bidez adieraz daitezkeTxantiloi:Erref. behar; hala ere, ekuazio guztiek ez dute ebazpenik, izan ere, izan ere, baliteke berdintasun jakin bat egia bihurtzen duen ezezagunaren baliorik ez egotea. Kasu horretan, ekuazioaren emaitzen multzoa hutsa izango da, eta ekuazioa ezin dela ebatzi esaten da. Era berean, balio bakarra izan dezake, edo balio bat baino gehiago, edo baita baloreinfinitu ere, eta horietako bakoitza ekuazioaren emaitza jakin bat da.
Inkognitaren edozein baliok berdintasuna betearazten badu (hau da, ez dago betetzen ez den baliorik) ekuazioa, berez,identitate bat da[Oh 1].
Ekuazio aljebraiko bat adierazpen aljebraikoak baino ez dituena da, hala nola polinomioak, adierazpen arrazionalak, erradikalak eta beste batzuk. Adibidez:
Ezezagun bat duen ekuazio aljebraiko deritzo honetara murrizten den ekuazioari:
nonn zenbaki oso positibo bat den;α0,α1,α2, ...,αn – 1,αn ekuazioarenkoefiziente edoparametro deritze, eta emanda hartzen dira;x ezezaguna izendatzen da, eta bere balioa bilatzen da.n zenbaki positiboari ekuazioarengradu deritzo[5]. Zenbaki aljebraiko bat definitzeko, zenbaki arrazionalak hartzen dira koefizientetzat.
Ekuazio baten bi ataletan transformazio-serie bera eginez, horietako bat zerora murriztea lor daiteke. Horrez gain, terminoak ezezagunen gainean dauden berretzaileen arabera ordenatzen badira, handienetik txikienera, ekuazioarenforma kanoniko izeneko adierazpen bat lortzen da. Askotan, ekuazio polinomikoak forma kanonikotik abiatuta aztertzen dira, hau da, lehenengo gorputz-adarra polinomio bat dena eta bigarren gorputz-adarrak zero.
Emandako adibidean,2xy batuz eta bi ataletan5 kenduz eta gero ordenatuz, hau lortzen dugu:
Ekuazio polinomial batengradu deritzo ezezagunak goratuta dituen berretzaile handienari. Adibidez:
Hirugarren mailako ekuazioa dax aldagaia kubora berretua dagoelako kasurik gehienetan.
Zenbaki errealen edo konplexuen gaineko aldagai bakarrekon graduko ekuazio polinomikoek, erradikalen metodoaren bidez ebatz daitezken < 5 denean (izan ere, kasu horietan, ekuazioaren erroei lotutakoGaloisen taldea ebazgarria da). Bigarren mailako ekuazioaren ebazpena antzinatik ezagutzen da; hirugarren eta laugarren mailako ekuazioak XV. eta XVI. mendeetatik ezagutzen dira, eta erradikalen metodoa erabiltzen dute. Bosgarren mailako ekuazioaren emaitza ezin da lortu erradikalen metodoaren bidez, bainaJacobiren theta funtzioaren terminoetan idatz daiteke.
Ekuazio aljebraiko bat lehen gradukoa dela esaten da ezezaguna (hemenx letraz adierazia) 1 potentziara berretua dagoenean (gradu = 1), hau da, 1 dela berretzailea.
Lehen mailako ekuazioek forma kanoniko hau dute:
nona etab (ℚ,ℝ)a zero ez den zenbakizko multzo batean dauden.Emaitza erraza da:. Ebazpenak eskatzen dubiderketa-alderantzizkoak egotea. Ekuazio lineal bat ebaztearen helburua ezezagunaren balioa aurkitzea da, «ekuazioaren aldeen artean dagoen berdintasuna errespetatuz, ezezagun bakoitzeko balioen bakartasuna ekuazioaren ezaugarri bat da»[6].
Ekuazio koadratiko baten grafikoa parabola bat da.
Bigarren mailako ekuazio polinomikoek[7] forma kanoniko hau dute:
Nona baitatermino koadratikoaren koefizientea (ezezaguna 2. potentziara berretua duena),btermino linealaren koefizientea (ezezaguna berretzailerik gabe duena, hau da, 1. potentziara berretua dagoena) etactermino independentea den (aldagaiaren mende ez dagoena, hau da, konstantez edo zenbakiz soilik osatuta dagoena).
Ekuazio hauℂ gainean planteatzen denean, beti bi irtenbide ditugu,Eulerren metodoarekin kalkulatuz:
Ekuazioakℝ zenbaki errealen gainean soluzioa izateko baldintzab2 ≥ 4ac behar du, etaℚ zenbaki arrazionalen ebazpenak izan ditzanb2 – 4ac zenbaki oso baten karratua izan behar du.
Ekuazio mota horiek ebazteko, hainbat metodo daude: hala ere, metodo horiek erabiltzea ez da nahikoa, lortutako zenbakien esanahia ezagutu behar da. Ekuazio koadratiko baten ebazpena lortzeko hainbat metodo aljebraiko daude; «ohikoa da ikasleek prozedura aljebraikoak mekanizatzea, eta ez dira ohartzen erantzuna zuzena den ala ez, egindako eragiketak ez dituelako ulertzen eta, ondorioz, ez dituelako akatsak identifikatzen» (Méndez, 2012).
nonP etaQ eremuren batean koefizienteak dituzten polinomioak diren (adibidez,zenbaki arrazionalak,zenbaki errealak,zenbaki konplexuak). Ekuazio aljebraiko bataldagaibakarrekoa da, aldagai bakarra inplikatzen badu. Bestalde, ekuazio polinomiko batek aldagai bat baino gehiago izan ditzake, kasu horretan, aldagai anitzeko deritzo (aldagai anizkoitzak, x, y, z, etab.).Ekuazio polinomiko terminoaekuazio aljebraikoa baino gehiago erabiltzen da.
aldagai bakarreko ekuazio aljebraikoa (polinomikoa) da, koefiziente osoak dituena, eta
zenbaki arrazionalen gaineko aldagai anitzeko ekuazio polinomiko bat da.
Koefiziente arrazionalak dituzten ekuazio polinomiko batzuek (baina ez guztiek)adierazpen aljebraiko bat den ebazpen bat dute, koefiziente horiek baino ez dituzten eragiketen kopuru finitu batekin (hau da, aljebraikoki ebatz daiteke). Hori egin daiteke bat, bi, hiru edo lau graduko ekuazio horietarako guztietarako; baina bost graduko edo gehiagoko ekuazioetarako, ebatz daiteke ekuazio batzuetarako, baina,Abel-Ruffiniren teoremak erakusten duen moduan, ez ekuazio guztietarako.
Ikerketa asko egin dira aldagai bakarreko ekuazio aljebraiko batenzenbaki erreal edokonplexu baten ebazpenen hurbilketa zehatzak modu eraginkorrean kalkulatzeko eta aldagai anitzeko zenbait ekuazio polinomikoren emaitza komunak.
Erakarle bat, ekuazio diferentzial jakin bat ebaztean sortzen dena
Ekuazio diferentzial bat da funtzio bat bere deribatuekin erlazionatzen duen ekuaziomatematiko bat. Aplikazioetan,funtzioek kantitate fisikoak adierazten dituzte;deribatuek, berriz, beren kanbio-tasak adierazten dituzte, eta ekuazioak bien arteko erlazio bat definitzen du. Harreman horiek oso arruntak direnez, ekuazio diferentzialek zeregin garrantzitsua dute diziplina askotan,fisika,ingeniaritza,ekonomia etabiologia barne.
Matematika purutan,ekuazio diferentzialak hainbat ikuspuntutatik aztertzen dira, batez ere, haien konponbideei dagokienez, ekuazioa betetzen duten funtzioen multzoa. Ekuazio diferentzial sinpleenak baino ezin dira ebatzi formula esplizituen bidez; hala ere, ekuazio diferentzial jakin baten ebazpenen propietate batzuk zehaztu daitezke haien forma zehatza aurkitu gabe.
Ez badago soluziorako kontrol-formularik, zenbakien bidez hurbil daiteke, ordenagailuen bidez.Sistema dinamikoen teoriak ekuazio diferentzialen bidez deskribatutako sistemen analisi kualitatiboa nabarmentzen du, eta, aldi berean,zenbakizko metodo asko garatu dira soluzioak doitasun-maila jakin batekin zehazteko.
Matematikan,fisikan eta beste zientzia aplikatuetan, askotan, ekuazio ez-aljebraikoak erabiltzen dira, non ezezagunak ez baitira zenbakizko balioak soilik, funtzioak baizik. Adibidez, partikula arin batek izar baten eremu grabitatorioan egiten duen ibilbidea, gutxi gorabehera aurki daiteke mota honetako ekuazio diferentzial baten emaitza bilatzeari esker:
Ekuazioetan, ebazpen guztiek halako funtzio-eremu bat osatzen dute, non denek betetzen baitute ekuazioa. Ebazpen multzoa hasierako baldintza kopuru mugatu batez zehatz badaiteke, orduan, espazio hori neurri finituko aldaera bereizgarria da lokalki, eta hori maiz gertatzen da ekuazio diferentzial arruntekin. Deribatu partzialetako ekuazioetan, askotan, mugalde-baldintza desberdinak dituzten ebazpen posibleen multzoak dimentsio ez-finituko espazio bat osa dezakete.
Ekuazio diferentzial arrunt bat edoEDO aldagai aske baten eta haren deribatuen funtzio bat duen ekuazio bat da. Termino arruntaekuazio diferentzial partzial terminoarekin kontrastean erabiltzen da, zeina aldagai aske bat baino gehiagorekiko izan baitaiteke.
Ekuazio diferentzial linealak, koefizienteen bidez batu eta biderkatu daitezkeen soluzioak dituztenak, ondo definituta daude; elkar ulertzen dute, eta emaitza zehatzak modu itxian lortzen dira. Aldiz, batuketa-soluziorik ez duten EDOak ez-linealak dira, eta askoz ere korapilatsuagoa da bere erabakia; izan ere, oso gutxitan irudika daitezke oinarrizko funtzioen bidez modu itxian: Aldiz, EDOen irtenbide zehatzak eta analitikoak serie edo integral moduan daude. Metodo grafiko eta zenbakizkoak, eskuz edo ordenagailuz aplikatuak, EDOen irtenbideak hurbildu ditzakete, eta, agian, informazio erabilgarria eman, maiz nahikoa soluzio zehatz eta analitikorik ezean.
Deribatu partzialetako ekuazio diferentzial bat (EDP) da aldagai anitzeko funtzio ezezagunak eta haien deribatu partzialak dituena (hori ez dator bat ekuazio diferentzial arruntekin, aldagai bakarreko funtzioekin eta haien deribatuekin lan egiten dutenak). EDPak hainbat aldagairen funtzioak dituzten problemak formulatzeko erabiltzen dira, eta eskuz konpontzen dira, edo eredu informatiko egokia sortzeko erabiltzen dira.
Sekzio koniko bat da plano baten eta biraketa-kono baten arteko ebakidura.
Geometria euklidearrean, koordenatu-multzo bat lot dakioke espazioko puntu bakoitzari, adibidez, lauki-sare ortogonal baten bidez. Metodo horrek irudi geometrikoak ekuazioen bidez karakterizatzeko aukera ematen du. Hiru dimentsioko espazio bateko plano bat honela adieraz daiteke: formako ekuazio baten ebazpen multzoa, non eta zenbaki errealak baitira, eta, berriz, erretikula ortogonalak emandako sistemako puntu baten koordenatuei dagozkien ezezagunak. balioak dira ekuazioak definitutako planoarekiko perpendikularra den bektore baten koordenatuak. Zuzen bat bi planoren arteko ebakidura gisa adierazten da, hau da, balioa duen ekuazio lineal bakar baten emaitza multzo gisa edo-n balioak dituzten bi ekuazio linealen ebazpen multzoa.
Sekzio koniko bat ekuazioa duenkono baten eta plano baten arteko ebakidura da. Bestela esanda, espazioan, koniko guztiak definitzen dira plano baten ekuazio baten eta eman berri den kono baten ekuazioaren emaitza gisa. Formalismo horrek aukera ematen du koniko baten fokuen posizioak eta propietateak zehazteko.
Ekuazioak erabiliz, matematikaren eremu zabal batera jo daiteke geometriari buruzko gaiak ebazteko.Koordenatu kartesiarren sistemak problema geometrikoa analisi-problema bihurtzen du irudiak ekuazio bihurtzen direnean; hortik datorkiogeometria analitiko izena. Ikuspuntu hori,Descartesek zirriborratua, antzinako matematikari greziarrek asmatutako geometria mota aberastu eta aldatzen du.
Gaur egun,geometria analitikoak matematikaren adar aktibo bat izendatzen du. Irudiak karakterizatzeko ekuazioak erabiltzen jarraitzen duen arren, beste teknika sofistikatu batzuk ere erabiltzen ditu, hala nolaanalisi funtzionala etaaljebra lineala.
Printzipio bera erabil daiteke hiru dimentsiokoespazioan edozein punturen posizioa zehazteko hiru koordenatu kartesiar erabiliz, zinak hiru plano elkarrekiko perpendikularrekiko zeinua duten distantziak diren (edo, bestela esanda, elkarzutak diren hiru lerroren gainean perpendikularki proiektatuz).
René Descartesen (latinizatutako izena: Cartesius) koordenatu kartesiarren asmakuntzak, XVII. mendean, matematikak irauli zituen,geometria euklidiarraren etaaljebraren arteko lehen lotura sistematikoa eman baitzuen. Koordenatu kartesiarren sistema erabiliz,irudi geometrikoak (kurbak, adibidez) ekuazio kartesiarren bidez deskriba daitezke:ekuazio aljebraikoak, zeinak forman dauden puntuen koordenatuak adierazten dituzten. Adibidez, plano bateko 2 erradioko zirkulu bat, jatorria izeneko puntu jakin batean zentratua, deskriba daitekex2 +y2 = 4 ekuazioa betetzen dutenx etay koordenatuak dituzten puntu guztien multzo gisa.
Kurba batentzako ekuazio parametriko batek adierazten ditu kurbako puntuenkoordenatuak parametro deiturikoaldagai baten funtzio gisa[9][10]
.
ekuazio parametrikoak dira zirkulu unitarioarentzat, nont parametroa den. Oro har, ekuazio horiei, kurbarenadierazpen parametriko deritze.
Ekuazio parametrikoaren nozioa orokortu da dimentsio handiagokoazalerara,barietateetara etabarietate aljebraikoetara, berdinak izanik parametroen kopurua eta barietatearendimentsioa, eta ekuazioen kopurua eta barietatea kontuan hartzen den espazioaren dimentsioa berdinak (kurbentzat, dimentsioabat da, eta parametrobat erabiltzen da; azaleren neurriabi, etabi parametro, eta abar.).
