Matematikan,biderketa damultzo batekoelementu-bikote bakoitzari multzoko beste elementu bat esleitzen dioneragiketaaritmetikoa, ikurrez adierazi ohi dena[1]. Biderketak hartzen dituen elementuakbiderkagaiak edofaktoreak direla esaten da. Biderketaren emaitzaribiderkadura deritzo.
Biderketa oinarrizkoenazenbaki arrunten artekoa da, etabatuketa errepikatutzat har daiteke; hau da,zenbaki bat beste zenbaki batek adierazitako adina aldiz bere buruarekin batzean datza.
Biderketatrukakorra da: 12 elementu 4 elementuko 3 lerrotan edo 3 elementuko 4 lerrotan bil daitezke, hau da, 3 × 4 = 12 = 4 × 3.
Adibidez, 3 eta 4 zenbakien arteko biderketa idazten da, eta “3 bider 4” irakurtzen. Emaitza hiru aldiz 4 zenbakia batuz lortzen da:Hemen, 3 eta 4biderkagaiak dira, eta 12biderkadura da. Zenbaki arrunten arteko biderketen propietate nagusietako battrukakortasuna da. Hau da, aurreko adibidean, 4 aldiz 3 zenbakia batuta emaitza bera lortuko dugu:
. Lau eta bost luzerako aldeak dituen laukizuzen handia 20 karratuk osatzen dute.
Zenbakien biderkadura uler daiteke luzera horiek dituzten aldeek sortutakolaukizuzen batenazalera moduan ere.
Biderketaren alderantzizko eragiketazatiketa da. Adibidez, 4 bider 3 eginda 12 denez, 12 zati 3 eginez gero, 4 lortzen da. Bestela esanda, 3rekin biderkatzeak eta ondoren 3rekin zatitzeak jatorrizko zenbakia ematen du. 0 ez den zenbaki bat bere buruaz zatitzean, emaitza 1 da.
Zenbait kontzeptu matematikok biderketaren oinarrizko ideia orokortzen dute beste egitura batzuetan erabili ahal izateko. Esaterako,segideen,bektoreen,zenbaki konplexuen edomatrizeen arteko biderketa modu honetan definitzen dira.
Aritmetikan, biderketa gurutze baten ikurraren bidez adieraz daiteke:
Bestenotazio batzuk ere badaude biderketa adierazteko:
biderketa-ikurra eta aldagai komuna elkar ez nahasteko, biderketa puntu ikurraren bidez ere adierazten da:((Hamartarrak adierazteko koma erabiltzen duten herrialdeetan, puntua erabili ohi da biderketa adierazteko.))
Aljebran, biderketa batean zenbaitaldagaik parte hartzen badute, aldagaiak elkarren ondoan jarriz adierazten da biderketa (adib., idazten da aldiz).
Bektoreen arteko biderketan, bereizketa bat dago gurutzearen eta puntu-ikurraren artean. Gurutzearen ikurrak, orokorrean,biderketa bektoriala adierazten du, eta, horren ondorioz, bektore bat lortzen da emaitza gisa; puntuak, berriz,biderketa eskalarra adierazten du, eta, ondorioz, eskalar bat lortzen da.
Programazio informatikoan, izartxoak (5*2) notazio arruntena izaten jarraitzen du. Izan ere, ordenagailu gehienak karaktere-multzo txikietara mugatzen ziren historikoki (ASCII eta EBCDIC, esaterako), eta ez zuten biderketa-zeinurik (adibidez, [beharrezko zitazioa]). Erabilera horiFORTRANprogramazio-lengoaian sortu zen.
n eta m bizenbaki arrunten biderketa honela adierazten da:Hori «m bere buruari batu n aldiz» esamoldea sinbolizatzeko modu bat besterik ez da. Ulermena erraztu dezake aurreko adierazpena zabaltzean:
Zenbaki oso bat zero, positiboa edo negatiboa izan daiteke.Zeroren eta zenbaki oso baten arteko biderkadura zero da. Bi zenbaki oso ez-nuluren biderkadurarenbalio absolutua haien balio absolutuen biderkadurak zehazten du. Biderkadura horren zeinua, berriz, honako arau honek adierazten du:
(Arau hau batuketaren gaineko biderketaren banaketa propietatearen ondorioa da.)
Biderketa-algoritmoek 0tik 10erako zenbakien arteko biderketak buruz jakitea eskatzen dute gehienetan. Oinarrizko biderketa horiek ikasteko erabiltzen da biderketa-taula:
×
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
4
0
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6
0
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
7
0
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
8
0
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
9
0
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
8 × 7 = 56, 5 hatzamar atera (5 hamarreko) eta atera gabeko hatzamarrak bidertuz 2 × 3 = 6 (6 bateko) lortzen delako.
Biderketa-taulako emaitzak buruz jakitea ez da guztiz erraza, batez ere biderkatu beharreko zenbakiak tartean badaude. Halere, eskuko hatzak erabiliz azkar egin daiteke kalkulua.
Adibidez, egin behar bada, ezkerreko eskutik 5etik hasita 8 arteko atzamarrak ateratzen dira: 3 guztira. Eskuineko eskutik 5etik hasita 7 arteko atzamarrak ateratzen dira: 2 guztira. Jarraian, ateratako atzamar kopuruak batu eta atera gabekoak biderkatu egiten dira. Amaitzeko, bi emaitzak batera jarriz biderkadura lortzen da.
Kalkulu-metodo honen azalpena biderketaren banatze propietatea erabiliz egin daiteke. eta bi eskuetan ateratako hatzak eta eta atera gabeko hatzak badira, hurrenez hurren:Halaber, bitarteko zenbakiak biderkatzeko antzeko metodo bat erabil daiteke, baina oraingoan, emaitza lortzeko, ateratako hatzak bakarrik erabiltzen dira. Ateratako hatz kopuruen baturak 100 zenbakiari gehitu beharreko hamarrekoen kopurua adierazten du. Ateratako hatz kopuruen biderketak, berriz, gehitu beharreko unitateen kopurua adierazten du. Horrela egiteko, 1 eta 2 hatz ateratzen da hurrenez hurren. 100era gehitu beharreko hamarkada kopurua da. Gehitu beharreko unitateak dira. Horrela:
Edozein bi zenbaki eskuz biderkatzeko, bi biderkagaiak bata bestearen azpian jartzen dira, unitateen, hamarrekoen... zutabeak parean jarriz. Adibidez, egin behar bada,
Biderketa-taula erabiliz, azpiko biderkagaiaren azken zifra (4) hartu eta lehenengo biderkagaiaren zifra guztiekin biderkatzen da, hamarrekoak hurrengo zutabera eramanez. Adibidez, azken bi zifrak biderkatuz, lortzen da, eta hamarreko bat eraman behar da batugai moduan hurrengo eragiketarako:, 1 eramana izanik. Eta horrela lehenengo biderkagaiko zifra guztiekin bukatu arte:Bigarren biderkagaiko hurrengozifrarekin (5) berdina egiten da, emaitzak aurreko emaitzen azpian jarriz, baina aldi berean emaitzak zutabe bat ezker aldera eramanez:
Eta berdina hurrengo zifrarekin:Azkenean, hiru lerroen batuketa egiten da, hutsuneak 0 moduan hartuz:Eta, beraz,.
Arkatza eta papera erabiliz, zenbakiak biderkatzeko ohiko metodo askok goiko atalean agertzen denbiderketa-taula behar dute. Beheko adibidean,biderketa luzea (algoritmo estandarra, eskola-mailako biderketa) ilustratzen da:
Hainbat herrialdetan,Alemanian adibidez, goiko biderketa antzera irudikatzen da, baina jatorrizko produktua horizontalean mantenduz eta kalkulua biderkatzailearen lehen zifratik hasita[3]:.
Bestalde, zenbakiak hamartar pare bat baino gehiago baditu, eskuz biderkatzea aspergarria izan daiteke eta normalean akatsak egiten dira. Logaritmo arruntak halako kalkuluak errazteko asmatu ziren, logaritmoak gehitzea biderketaren baliokidea baita. Kalkulatzeko erregelak zenbakiak azkar biderkatzea ahalbidetu zuen hiru digituko zehaztasun maila arte.
Azkenik, XX. mendearen hasieran,kalkulagailu mekanikoek, Marchant kalkulagailuek adibidez, 10 zifrako zenbakien biderketa automatizatu zuten.Ordenagailu eta kalkulagailu elektroniko modernoek eskuz biderkatzeko beharra asko murriztu dute.
Zenbaki osoak eta zatikiak biderkatzeko egiptoarren metodoa, Rhind Matematika Papiroan dokumentatua dagoena, batuketa eta bikoizketa kontsekutiboen bitartez egiten zen. Adibidez, 13ren eta 21en produktua aurkitzeko, aurrena 21 hiru aldiz bikoiztu behar zen: lortuz. Produktu osoa bikoizketaren sekuentzian aurkitutako termino egokiak gehituz aurki liteke[5]:
Babiloniarrek posizio-zenbakisistema sexagesimala erabiltzen zuten, egungo sistema hamartarraren antzekoa. Beraz, babiloniarren biderketa eta sistema hamartar modernoaren biderketa oso antzekoak dira. 60 × 60 biderkadura ezberdin gogoratzea zaila zenez, Babiloniako matematikariekbiderketa-taulak erabili zituzten. Taula horiek n zenbaki jakin baten lehen hogei multiploen (n, 2n, 3n, ..., 20n) eta 10n-ren multiplo batzuen (30n, 40n, 50n) zerrendaz osatuta zeuden. Ondoren, edozein produktu sexagesimal kalkulatzeko, demagun 53n, taulatik kalkulatutako 50n eta 3n batu behar dira.
Zenbaki-sistema hindu-arabiarrean oinarritutako biderketa metodo modernoaBrahmagupta indiar matematikariak (K.o. 590-670) deskribatu zuen lehen aldiz. Brahmaguptak batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketa arauak eman zituen.
Izan ere, Henry Burchard Finek (1858-1928), orduanPrinceton Unibertsitateko matematika irakasleak, honako hau idatzi zuen:
«
Indiarrak, sistema hamartarraren asmatzaileak ez ezik, sistema horretako oinarrizko kontakizunean parte hartzen duten prozesu gehienen asmatzaileak dira. Batuketak eta kenketak, gaur egungoaren modu antzekoan egiten zituzten; biderketa, modu askotan egin zuten, gurea haien artean; baina zatiketa era astunean egiten zuten[7].
Lauki-sare metodoaren biderketa, edo kutxa metodoa,Ingalaterrako etaGaleseko lehen hezkuntzako eskoletan etaEstatu Batuetako zenbait eremutan erabiltzen da, zifra anitzeko biderketak nola funtzionatzen duen ulertzen laguntzeko. 34 zenbakia 13z biderkatzeko, adibidez, bi biderkagaiak deskonposatu (30+4, 10+3) eta ateratzen diren zenbaki guztiak lauki-sare batean jarriko lirateke
×
30
4
5
150
20
10
300
40
3
90
12
Orduan, biderketa osoaren emaitza, emaitzen arteko batura da.
n zifrako bi zenbaki biderkatzeko, metodo klasikoak n2 biderketa egiten ditu. Zenbaki handiak bidertzerakoan, konputazio-denbora nabarmen murrizteko, biderketa-algoritmoak diseinatu dira. Fourier-en transformatu diskretuan oinarritutako metodoek konplexutasun konputazionala O(n log n log log n)-ra murrizten dute.
2016an, log n faktorea askoz motelago handitzen den funtzio batekin ordezkatu zen, nahiz eta oraindik konstantea ez den[9].
2019ko martxoan, David Harvey-k eta Joris van der Hoeven-ek zenbaki osoen arteko biderketa-algoritmo bat azaltzen zuen lan bat aurkeztu zuten, hurrengo konplexutasun konputazionalarekin: O(n logn)[10]. Algoritmo hori, Fourier transformatu azkarrean oinarritua, asintotikoki optimoa dela uste da[11]. Hala ere, algoritmoa praktikan ez da oso erabilgarria, zenbaki oso handiak biderkatzean soilik bihurtzen baita besteak baino azkarragoa (21729^12 bit baino gehiago izatean baino ez)[12].
Magnitude berekokantitateak soilik gehitu edo kendu daitezke; aldiz,magnitude desberdinetako kantitateak ezin dira gehitu ez kendu. Hala ere, magnitude desberdinetako kantitateak arazorik gabe biderkatu edo zatitu daitezke. Esate baterako, hiruna puxtarri dituzten lau poltsa daude: [4 poltsa] × [3 puxtarri poltsa bakoitzeko] = 12 puxtarri.
Bineurketa elkarrekin biderkatzen direnean, haien biderkadura, neurketa-moten araberakoa izango da. Azterketadimentsionalak ematen du teoria orokorra. Analisi horifisikan aplikatu ohi da, bainafinantzetan eta beste eremu batzuetan ere aplikatzen da.
Segida baten elementuen biderkadura 𝚷 biderkaduraren sinboloarekin idatz daiteke.[2][13] Notazio horren esanahia ondoko honetan ikusten da:
Idazkera horretan, aldagaiak zenbaki oso bat adierazten du, biderketa-indize deritzona, eta azpiindizean adierazitako 1 balio txikienetik goi-indizeak emandako 4 balio goreneraino doa. Biderkadura lortzeko, biderketa-indizea azpi- eta goi-indizeen arteko zenbaki oso bakoitzarekin ordezkatu eta elementu guztiak biderkatu behar dira. Oro har, honela definitzen da notazioa:
non eta zenbaki osoak diren.
denean, biderkaduraren balioa balioa bera da; bada,
biderkadura 1 balioa da, elementuen adierazpena edozein dela ere.
Infinitu terminoko biderkadurak ere har daitezke; horieiproduktu infinitu deritze. Notazio aldetik, goi-indizean infinituaren sinboloaz () ordeztean datza. Sekuentzia infinitu horren biderkadura lehenengo gaien biderkadurarenlimite gisa definitzen da, borne gabe hazi ahala. Hau da,
.
Era berean, azpiindizean infinitu negatiboagatik ordezkatu daiteke, hurrengoa definituz:
(hori egin ahal izateko bi limiteek existitu behar dute).
Berreketa bi zenbakiren, berrekizunaren eta berretzailearen, arteko eragiketa matematikoa da. Honela definitzen daa ber n berreketa,a berrekizuna edozein zenbaki etan berretzailea zenbaki arrunta izanik:Adibidez, 2ber 4:
, non 2 berrekizuna eta 4 berretzailea den.
Berretzailea 1 zenbakia denean:
.
Berretzailea 2 denean, berriz,karratu hitza erabil daiteke,ber bi ordez (adibidez, 42lau karratu edolau ber bi esan daiteke).
Berretzailea 3 denean, aldiz,kubo hitza erabil daiteke,ber hiru ordez (adibidez, 43lau kubo edolau ber hiru esan daiteke).
Zenbaki positibo baten biderketakordena gordetzen du, hau da, eta badira, orduan.
Zenbaki negatibo batekin biderkatzeak, berriz, ordena alderantzikatzen du, hots,
eta badira, orduan.
Zenbaki konplexuek ez dute batuketarekin eta biderketarekin bateragarria den ordenarik.[14]
Biderketa-eragiketa bat duten beste sistema matematiko batzuek baliteke propietate horiek guztiak ez izatea. Adibidez, biderketa ez da matrizeentzako trukakorra.
Bektore-aljebran,biderketa eskalarra bi bektoreren arteko eragiketa mota bat da, emaitza moduan eskalar bat ematen duena. Oro har,
eta bektoreak emanda, · biderkadura eskalar "sinpleena", hau da, estandarra, honela definitzen da:Biderketa eskalarretik abiatuta,norma definitu daiteke:
Ikuspuntu geometrikotik, biderkadura eskalarra bektore bat bere gain proiektaturiko beste bektore batekin biderkatzean datza:
Biderketa bektoriala hiru dimentsioko bektore-espazio batean definitzen den eragiketa bitarra da. Bi bektore harturik, haiekiko norabideelkarzuta duen bektorea du emaitza.
Biderketa bektorialadeterminante baten gisa ere adieraz daiteke:
Biderkaduraren modulua kalkulatzeko, biderkagaien moduluak eta bi bektoreen artekoangeluarensinua biderkatzea nahikoa da:
Bimatrizeren arteko biderketa definitu ahal izateko, lehenengo biderkagaia den matrizearen zutabe kopuruak bigarren biderkagaia den matrizearen errenkada kopuruarekin bat etorri behar du. Bi matrize emanik eta
Multzo teorian,biderketa kartesiarra hainbat multzoren artean egiten den eragiketari deritzo, eta honen emaitza multzo berri bat izango da,n-kote ordenatuez osaturikoa.[15]
Izan bitez eta bi multzo. Orduan, eta-ren arteko biderkadura kartesiarra izango da bikote ordenatu guztiekin osaturiko multzoa, eta izanik. Hau da,.
Multzo askok, biderketa eragiketarekiko ,talde egitura definitzen dutenaxiomak betetzen dituzte. Axioma horiek honakoak dira:itxitura, elkartze propietatea, elementu neutroa (edo identitatea) izatea eta elementu guztiek alderantzizkoa izatea.
Adibide sinple bat zenbaki arrazional ez-nuluen multzoa da. Talde hauetan 1 zenbakia identitatea da biderketarekiko (batuketarekin sortutako taldeetan ez bezala, hauetan identitatea 0 baita). Ohar bediarrazionalen multzoan zeroa baztertu behar dugula; izan ere, biderketan, zerok ez du alderantzizkorik, hau da, ez dago zenbakirik zeroz biderkatu eta 1 emaitza lortuko denik. Adibide hau, gainera, talde abeldar bat dugu; baina hau ez da beti horrela izaten.
Biderketarekiko talde egitura duen beste adibide batgorputz baten gaineko dimentsio jakin batekomatrize karratu alderantzikagarrien multzoa da. Hemen, erraz egiazta daitezke multzoaren itxitura, elkarkortasuna, identitatearen existentzia (identitate-matrizea) eta elementu guztiek alderantzizkoa dutela. Hala ere, matrizearen biderketa ez da trukakorra, eta horrek erakusten du talde hori ez delaabeldarra.
Ohartu zenbaki osoek ez dutela talde bat osatzen biderketarekin, ezta zeroa baztertzen badugu ere. Erraz ikus daiteke hori, 1 eta -1 elementuek izan ezik, beste elementu guztiek ez baitute alderantzizko elementurik biderketarekiko (zenbaki osoen multzoan).
Talde teorian, biderketa puntu batez edo justaposizioa erabiliz adierazten da. Beraz, a elementua b elementuaz biderkatzea a·b edo ab idazten da. Talde bat multzo eta eragiketa bidez adierazten bada, puntua erabiltzen da.[16] Adibidez,.
↑Pletser, Vladimir (2012-04-04). "Does the Ishango Bone Indicate Knowledge of the Base 12? An Interpretation of a Prehistoric Discovery, the First Mathematical Tool of Humankind".https://arxiv.org/abs/1204.1019.
