Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Mine sisu juurde
Vikipeedia
Otsing

Pauli maatriksid

Allikas: Vikipeedia

Pauli maatriksiteks kutsutakse matemaatilises füüsikas jafüüsikas kolme 2x2 kompleksset maatriksit, mis onherimiitilised jaunitaarsed. Reeglina tähistatakse Pauli maatriksit kreeka tähega sigma (σ{\displaystyle \sigma }).

σ1=σx=(0110)σ2=σy=(0−ii0)σ3=σz=(100−1){\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\qquad \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\qquad \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}

Pauli maatriksid on nimetatud Šveitsi ja USA teoreetilise füüsikuWolfgang Ernst Pauli järgi. Kvantmehaanikas kasutatakse maatrikseid Pauli valemis, mis võtab arvesse osakese spinni vastastikmõju välise elektromagnetväljaga.

Iga Pauli maatriks on hermiitiline ja koos ühikmaatriksigaI{\displaystyle I} (teinekord kutsutud ka nullindaks Pauli maatriksiksσ0{\displaystyle \sigma _{0}}) moodustavad Pauli maatriksid (korrutatuna reaalsete koefitsientidega) vektorruumi baasi 2x2 hermiitilistele maatriksitele.

Algerbralised omadused

[muuda |muuda lähteteksti]

Kõik kolm Pauli maatriksit saab välja kirjutada järgmiselt

σa=(δa3δa1−iδa2δa1+iδa2−δa3){\displaystyle \sigma _{a}={\begin{pmatrix}\delta _{a3}&\delta _{a1}-i\delta _{a2}\\\delta _{a1}+i\delta _{a2}&-\delta _{a3}\end{pmatrix}}},

kusi=−1{\displaystyle i={\sqrt {-1}}} onimaginaarühik jaδab{\displaystyle \delta _{ab}} on Kroneckeri delta, mis võrdub ühega, kuia=b{\displaystyle a=b} ning muudel juhtudel nulliga. Validesa{\displaystyle a} väärtuseks 1, 2 või 3, saame vastava Pauli maatriksi.

Pauli maatriksite determinant ondetσa=−1{\displaystyle \det \sigma _{a}=-1} ja jälg onTr σa=0{\displaystyle {\text{Tr }}\sigma _{a}=0}.

Omavektorid ja omaväärtused

[muuda |muuda lähteteksti]

Kõigil Pauli maatriksitel on kaks omaväärtus+1{\displaystyle +1} ja−1{\displaystyle -1}.

det(σ1−λI)=det((0110)−(λ00λ))=det(−λ11−λ)=λ2−1→λ=±1{\displaystyle {\text{det}}\left(\sigma _{1}-\lambda I\right)={\text{det}}\left({\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \end{pmatrix}}\right)={\text{det}}{\begin{pmatrix}-\lambda &1\\1&-\lambda \end{pmatrix}}=\lambda ^{2}-1\quad \to \quad \lambda =\pm 1}

det(σ2−λI)=det((0−ii0)−(λ00λ))=det(−λ−ii−λ)=λ2−1→λ=±1{\displaystyle {\text{det}}\left(\sigma _{2}-\lambda I\right)={\text{det}}\left({\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \end{pmatrix}}\right)={\text{det}}{\begin{pmatrix}-\lambda &-i\\i&-\lambda \end{pmatrix}}=\lambda ^{2}-1\quad \to \quad \lambda =\pm 1}

det(σ3−λI)=det((100−1)−(λ00λ))=det(1−λ00−1−λ)=λ2−1→λ=±1{\displaystyle {\text{det}}\left(\sigma _{3}-\lambda I\right)={\text{det}}\left({\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \end{pmatrix}}\right)={\text{det}}{\begin{pmatrix}1-\lambda &0\\0&-1-\lambda \end{pmatrix}}=\lambda ^{2}-1\quad \to \quad \lambda =\pm 1}

Neile vastavad normeeritud omavektorid on

ψx+=12(11),ψx−=12(1−1),{\displaystyle \psi _{x+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},\qquad \psi _{x-}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}},}

ψy+=12(1i),ψy−=12(1−i),{\displaystyle \psi _{y+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}},\qquad \psi _{y-}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}},}

ψz+=(10),ψz−=(01).{\displaystyle \psi _{z+}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\qquad \qquad \psi _{z-}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.}

Pauli vektor

[muuda |muuda lähteteksti]

Pauli vektor defineeritakse järgmiselt

σ=σ1x^+σ2y^+σ3z^{\displaystyle \mathbf {\sigma } =\sigma _{1}{\hat {x}}+\sigma _{2}{\hat {y}}+\sigma _{3}{\hat {z}}}

Kommutatsiooni reeglid

[muuda |muuda lähteteksti]

Pauli maatriksid järgivad kommutatsiooni reegleid[σa,σb]=2iεabcσc{\displaystyle [\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\varepsilon _{abc}\sigma _{c}} ja antikommutatsiooni reegleid{σa,σb}=2δabI{\displaystyle \{\sigma _{a},\sigma _{b}\}=2\delta _{ab}I}, kusεabc{\displaystyle \varepsilon _{abc}} onLevi-Civita sümbol,δab{\displaystyle \delta _{ab}} on Kroneckeri delta jaI{\displaystyle I} on 2x2 ühikmaatriks ning kasutatud on Einsteini summeerimise reegleid.

Näiteks:

[σ1,σ2]=2iσ3,[σ2,σ3]=2iσ1,[σ3,σ1]=2iσ2,[σ1,σ1]=0,{σ1,σ1}=2I,{σ1,σ2}=0.{\displaystyle [\sigma _{1},\sigma _{2}]=2i\sigma _{3},\qquad [\sigma _{2},\sigma _{3}]=2i\sigma _{1},\qquad [\sigma _{3},\sigma _{1}]=2i\sigma _{2},\qquad [\sigma _{1},\sigma _{1}]=0,\qquad \{\sigma _{1},\sigma _{1}\}=2I,\qquad \{\sigma _{1},\sigma _{2}\}=0.}

Kommutaatori ja antikommutaatori liidetist saab väljendada Pauli maatriksite skalaarkorrutise kaudu.

[σa,σb]+{σa,σb}=(σaσb−σbσa)+(σaσb+σbσa)=2iεabcσc+2δabI=2σaσb{\displaystyle [\sigma _{a},\sigma _{b}]+\{\sigma _{a},\sigma _{b}\}=(\sigma _{a}\sigma _{b}-\sigma _{b}\sigma _{a})+(\sigma _{a}\sigma _{b}+\sigma _{b}\sigma _{a})=2i\varepsilon _{abc}\sigma _{c}+2\delta _{ab}I=2\sigma _{a}\sigma _{b}}Seegaσaσb=δabI+iεabcσc{\displaystyle \sigma _{a}\sigma _{b}=\delta _{ab}I+i\varepsilon _{abc}\sigma _{c}}.

Pärit leheküljelt "https://et.wikipedia.org/w/index.php?title=Pauli_maatriksid&oldid=4821950"
Kategooria:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp