Movatterモバイル変換

Üldisuskvantor

Allikas: Vikipeedia

Üldisuskvantor (sümbol $\forall$ ) onpredikaatloogikas sümbol, mille abil väljendatakse, et miski on tõsi kõige kohta (või kõige asjasse puutuva kohta).

Sissejuhatus

[muuda |muuda lähteteksti]

Olgu meil tarvis öelda, et

2·0 = 0 + 0 ja 2·1 = 1 + 1 ja 2·2 = 2 + 2 jne.

See meenutabkonjunktsiooni, sest kordub sõna "ja". Aga "ja nii edasi" ei ole väljendatav konjunktsiooni abil. Öeldut võib ümber sõnastada nii:

Mis tahes (või: iga)naturaalarvun korral 2·n =n +n.

Fraas "mis tahes ... korral" on siin üldisuskvantori rollis.

See ümbersõnastus on õigupoolest täpsem kui algne, sest väljend "ja nii edasi" ei ütle, et jutt on just kõigist naturaalarvudest.

See lause väljendabtõest propositsiooni, sestmuutujan võib valemis "2·n =n +n" asendada mis tahes naturaalarvuga, ning iga kord saame tõesevõrduse. Seevastu lause "Mis tahes naturaalarvun korral 2·n > 2 +n" väljendabväära propositsiooni, sest kui asendadan näiteks 1-ga, saame väära väite "2·1 > 2 + 1". See ei loe, et "2·n > 2 +n" on enamiku naturaalarvuden puhul tõene: ühestainsastvastunäitest piisab, et tõestada üldisuskvantori abil väljendatud propositsiooni väärust.

Küll aga on tõene "Mis taheskordarvust naturaalarvun korral 2·n > 2 +n", sest ühtki vastunäidetest ei anna kordarv. See näitab, et tähtis onuniversum, millest muutujanväärtused tuleb võtta. Etteantud universumi korral saab võimalike väärtuste piiramiseks kasutadamateriaalset implikatsiooni: näiteks lause "Mis tahes kordarvust naturaalarvun korral 2·n > 2 +n" onloogiliselt ekvivalentne lausega "Mis tahes naturaalarvun korral kuin on kordarv, siis 2·n > 2 +n". Väljend "kui ... siis" väljendab siin materiaalset implikatsiooni.

Predikaatloogikas on kasutusel sümbol $\forall$ . KuiP(n) onpredikaat "2·n > 2 +n" jaN onnaturaalarvude hulk, siis

\forall n\!\in \!\mathbb {N} \;P(n)

^[1]

väljendab (väära) väidet

Mis tahes naturaalarvun korral 2·n > 2 +n.

Analoogselt, kuiQ(n) on predikaat "n on kordarv", siis

\forall n\!\in \!\mathbb {N} \;{\bigl (}Q(n)\rightarrow P(n){\bigr )}

väljendab (tõest) väidet:

Mis tahes naturaalarvun korral kuin on kordarv, siis 2 ·n > 2 + n.

Mõnikord kasutatakse tähistust, milles

\forall n\!\in \!\mathbb {N} \;P(n)

asemel kirjutatakse

(n{\in }\mathbb {N} )\,P(n)

seega piirdutakse sulgudega.

Omadused

[muuda |muuda lähteteksti]

Eitus

[muuda |muuda lähteteksti]

Üldisuskvantori abil saadakseväide; seda saab kaeitada. Eitust märgitakse sümboliga $\lnot \$ .

Olgu näiteks P(x)lausefunktsioon "x on abielus" ning olguuniversumiks kõigi elavate inimeste hulkX. Vaatleme väidet "Mis tahes elava inimesex korralx on abielus":

\forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)

Et tegemist on väära väitega, siis tõene väide oleks "Ei pea paika, et mis tahes elava inimesex korralx on abielus":

\lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)

Kui väide ei ole tõene universumi igaelemendi korral, siis peab olema vähemalt üks element, mille korral see väide on väär. Seega on väite $\forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)$ eitus loogiliselt ekvivalentne väitega "Eksisteerib niisugune elav inimenex, etx ei ole abielus: