Eluniverso de Gödel ométrica de Gödel es una solución exacta de lasecuaciones de campo de Einstein de larelatividad general, propuesta porKurt Gödel en 1949. Describe un tipo de universo oespacio-tiempo homogéneo lleno de materia pulverulenta en rotación.

Aunque no parece que el universo de Gödel describa un tipo de universo similar al nuestro, el trabajo de Gödel supuso un gran estímulo en la investigación teórica de búsqueda de soluciones exactas más complejas que las examinadas hasta entonces, caracterizadas por un muy alto grado de simetría. Más tarde Gödel generalizó su modelo para hacerlo compatible con la expansión del universo.

Lageometría del universo de Gödel viene representada por unaespacio-tiempo${\displaystyle ({\mathbb{R}}^4,g)}$ donde la métrica puede representarse en coordenadas pseudocartesianas (t, x, y, z) y unidades en las quec = 1 en la forma:

(1)${\displaystyle g=-dt\otimes dt+dx\otimes dx-\frac{e^{2\sqrt{2}\omega x}}{2}dy\otimes dy+dz\otimes dz-e^{\sqrt{2}\omega x}(dt\otimes dy+dy\otimes dt)}$

Donde${\displaystyle \omega >0}$ es una constante, asociada a lavorticidad del flujo de materia, además esta vorticidad puede relacionarse con la densidad de materia de este universo, tal como se explica en la sección sobre elContenido material.

La métrica anterior puede escribirse comosuma directa de una métrica que actúa sobre la subvariedad definida por (t, x, y) y otra métrica que actúa sobre las subvariedades unidimensionales dadas asociadas a la variación dez, es decir:

${\displaystyle ({\mathbb{R}}^4,g)=({\mathbb{R}}^3\times \mathbb{R},g_1\oplus g_2)}$

Para describir las propiedades de este espacio tiempo basta con restringirse a la subvariedad tridimensional que se obtiene suprimiendo la coordenadaz. Para examinar las propiedades del espacio-tiempo frecuentemente se usan las coordenadas (T, R, φ, Z) relacionadas con las pseudocartesianas mediante las relaciones:

En estas nuevas coordenadas la métrica, ignorando la parte enZ toma la forma:

(2)${\displaystyle g=2{\omega }^{-2}\left[-dt\otimes dt+dR\otimes dR-({\text{sinh}}^4(R)-{\text{sinh}}^{2}R)d\phi \otimes d\phi +2\sqrt{2}{\text{sinh}}^2(R)d\phi \otimes dT\right]}$

El universo de Gödel es una solución de las ecuaciones de Einstein conconstante cosmológica repleto de materia pulverulenta, es decir, sin presiónp = 0. El tensor gravitacional de EinsteinG_ij viene dado por:

Es sencillo ver que si se toma un valor de la constante cosmológica que cumpla:

${\displaystyle -\mathrm{\Lambda }=\frac{4\pi G\rho }{c^2}=\frac{{\omega }^2}{c^2}>0}$

Entonces eltensor de energía-impulso viene dado en las coordenadas (t, x, y, z):

Si${\displaystyle \gamma (\tau )=(t(\tau ),x(\tau ),y(\tau ),z(\tau ))}$ es la expresión de una curva usando elsistema de referencia asociado a las coordenadas de (1) y deltiempo propio entonces esa curva será geodésica si se cumple que:

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\ddot{t}+2\sqrt{2}\omega \dot{t}\dot{x}-\sqrt{2}\omega e^{\sqrt{2}\omega x}\dot{x}\dot{y}=0\\ \ddot{x}-\sqrt{2}\omega \dot{t}\dot{x}+\frac{\sqrt{2}\omega }{2}{e}^{2\sqrt{2}\omega x}{\dot{y}}^2=0\\ \ddot{y}+2\sqrt{2}\omega e^{\sqrt{2}\omega x}\dot{t}\dot{x}=0\\ \ddot{z}=0\end{array}}$

De las potencialmente 55 componentes independientes deltensor de Riemann, en las mismas coordenadas usadas en la métrica (1), el tensor de Riemann se puede escribir a partir de sólo cuatro componentes diferentes de cero:

El universo de Gödel tiene ungrupo de isometría de dimensión 5, cuyaacción de grupo opera transitivamente sobre toda la variedad, y por tanto, el universo de Gödel es un espacio-tiempo completamente homogéneo. El grupo de isometría consta de un subgrupo tridimensional de traslaciones:

${\displaystyle (t,x,y,z)\mapsto (t+a,x,y+c,z+d)}$

Los otros subgrupos pueden representarse respectivamente en las coordenadas (t, x, y, z) y (T, R, φ, Z):

${\displaystyle \{\begin{array}{l}(t,x,y,z)\mapsto (t,x+b,y{e}^{-b\omega \sqrt{2}},z)\\ (T,R,\phi ,Z)\mapsto (T,R,\phi +e,Z)\end{array}}$

Una isometría general del universo de Gödel puede obtenerse combinando un número arbitrario de las anteriores transformaciones.

Una propiedad matemáticamente interesante del universo de Gödel, es que alrededor de todo punto existencurvas temporales cerradas, tales que lacualidad de lo observable hace físicamente posible formularlo hacia el futuro y llegar a un punto de su pasado, repitiendo cíclicamente este movimiento. Esta propiedad sugiere que esta solución es físicamente poco realista o imposible. Lo sorprendente de la solución de Gödel es que a pesar de esta extraña propiedad el universo está formado por materia convencional no exótica y que si fuera posible dotar a esta del movimiento de vorticidad que implica la ecuación tendríamos un universo con esta extrañapropiedad causal.

De la forma del tensor métrico (1) se desprende que el vector${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_{\varphi }}$, que es de tipo espacial para valores deR pequeños pasa a ser de tipo luminoso para${\displaystyle R\approx 0,\mathrm{881373587...}}$ (es decir cuando${\displaystyle \sinh (R)=1}$). Y en ese caso el covector${\displaystyle dt}$ también es de tipo luz (tangente alcono de luz). El círculo con${\displaystyle \sinh (R)=1}$ es una curva luminosa cerrada, aunque no sea una curva geodésica.

Examinando el sistema de referencia anterior, puede verse que la coordenada${\displaystyle z}$ puede omitirse; el espacio-tiempo de Gödel es el producto de un factor${\displaystyle \mathbb{R}}$ con unavariedad pseudoriemanniana tridimensional de signatura -++. Dejando a un lago la coordenada${\displaystyle z}$, lo cual equivale a proyectar sobre la variedad tridimensional, la apariencia de los conos de luz cambia a medida que nos separamos del eje de simetría${\displaystyle R=0}$ tal como muestra la siguiente figura:

A medida que se consideran curvas más cercanas al radio del círculo mencionado anteriormente, los conos llegan a ser tangentes al plano coordenado${\displaystyle t=0}$ y también son tangentes a la curva cerrada de tipo luminoso:

• Hawking, Stephen; and Ellis, G. F. R. (1973):The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge:Cambridge University Press.ISBN 0-521-09906-4. La sección 5.7 contiene una discusión clásica sobre las CTC en el universo de Gödel..

• Soluciones de la ecuación de Einstein
• Tensores métricos

• Wikipedia:Páginas con enlaces mágicos de ISBN