Latrisección del ángulo es uno de lostres problemas clásicos de la antiguamatemática griega. El problema consiste en encontrar unángulo cuya medida sea un tercio de otro ángulo dado, utilizando únicamenteregla y compás.
El problema es sencillo en algunos casos (por ejemplo, si el ángulo dado es recto o si en el barrido por la circunferencia total puede construirse un ángulo que sea la tercera parte del mismo), pero esimposible de resolver en general, como demostróPierre Wantzel en su artículoRecherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas, de 1837.[1] Su demostración utiliza lateoría de Galois.
La trisección del ángulo es uno de los problemas clásicos de la antigüedad griega que sobrevivió sin ser resuelto hasta el siglo XIX, junto con lacuadratura del círculo y laduplicación del cubo.[2] Este último fue resuelto en el mismo artículo por Wantzel, demostrando su irresolubilidad. La cuadratura del círculo también es imposible, como probóCarl Louis Ferdinand von Lindemann en 1882.
Es posible trisecar un ángulo arbitrario utilizando herramientas distintas a la regla y el compás. Por ejemplo, elmétodo neusis, también conocido por los antiguos griegos, implica el deslizamiento y la rotación simultáneos de una regla graduada, lo que no se puede lograr con las herramientas originales. Los matemáticos desarrollaron otras técnicas en los siglos posteriores.
Debido a que el problema de la trisección del ángulo está definido en términos simples, pero es complejo hasta el punto de ser irresoluble, se convirtió en un tema frecuente de intentospseudomatemáticos de resolución por parte de entusiastas ingenuos. Estassoluciones a menudo implican interpretaciones erróneas de las reglas o simplemente son incorrectas.[3]
Usando solamente unaregla sin marcar y un compás, losmatemáticos griegos encontraron la manera de dividir unalínea recta en un conjunto arbitrario de segmentos iguales, dibujar rectasparalelas,bisecar ángulos, construir algunospolígonos regulares y generarcuadrados de igual o dos veces el área de un determinado polígono.
Sin embargo, tres problemas específicos resultaron ser especialmente esquivos: trisecar un ángulo,duplicar un cubo ycuadrar un círculo. El problema de la trisección del ángulo se enuncia así:
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Pierre Wantzel publicó una prueba de la imposibilidad de trisecar clásicamente un ángulo arbitrario en 1837.[4] La prueba de Wantzel, reformulada en terminología moderna, usa elálgebra abstracta deextensión de cuerpos, un tema que ahora se combina típicamente con lateoría de Galois. Sin embargo, Wantzel publicó estos resultados antes que Galois (cuyo trabajo se publicó en 1846) y no utilizó la conexión entre extensiones de cuerpos ygrupos que es el tema específico de la teoría de Galois.[5]
El problema de construir un ángulo de una medida dadaθ es equivalente a construir dos segmentos de manera que la razón de su longitud seacos θ. De una solución a uno de estos dos problemas, se puede pasar a la solución del otro mediante una construcción con regla y compás. Existe unaexpresión trigonométrica que relaciona los cosenos del ángulo original y de su trisección:
De ello se deduce que, dado un segmento que se define con una longitud unitaria, el problema de la trisección del ángulo es equivalente a construir un segmento cuya longitud es la raíz de unpolinomio de tercer grado. Esta equivalencia reduce el problema geométrico original a un problema puramente algebraico.
Todo número racional es construible. Cadanúmero irracional que esconstruible con regla y compás en un solo paso a partir de algunos números dados es una raíz de unpolinomio de grado 2 con coeficientes en elcuerpo al que pertenecen estos números. Por lo tanto, cualquier número que se pueda construir mediante una secuencia finita de pasos es una raíz de unpolinomio mínimo cuyo grado es unapotencia de dos. El ánguloπ/3radianes (60grados, 60°) esconstruible. El siguiente argumento demuestra que es imposible construir un ángulo de 20°, lo que implica que no se puede trisecar un ángulo de 60° y, por lo tanto, que no se puede trisecar un ángulo arbitrario.
Denótese el conjunto de losnúmeros racionales porQ. Si se pudiera trisecar un ángulo de 60°, el grado de un polinomio mínimo decos 20° sobreQ sería una potencia de dos. Ahora, considéresex = cos 20°. Se debe tener en cuenta quecos 60° =cosπ/3 =1/2. Luego, por la fórmula del triple ángulo,cosπ/3 = 4x3 − 3x, e igualmente,4x3 − 3x =1/2.
Entonces,8x3 − 6x − 1 = 0, y se definep(t) como el polinomiop(t) = 8t3 − 6t − 1.
Dado quex = cos 20° es una raíz dep(t), el polinomio mínimo paracos 20° es un factor dep(t). Debido a quep(t) tiene grado 3, si tiene solución enQ, entonces tiene una raíz racional. Según elteorema de la raíz racional, esta raíz debe ser±1, ±1/2, ±1/4 o±1/8, pero ninguna de ellas es una raíz del polinomio. Por lo tanto,p(t) esirreducible sobreQ, y el polinomio mínimo paracos 20° es de grado 3.
Por lo tanto, un ángulo de60° no se puede trisecar.
Sin embargo, algunos ángulos se pueden trisecar. Por ejemplo, para cualquier ánguloconstructibleθ, un ángulo de medida3θ se puede construir de forma trivial triplicando directamente un ángulo de medidaθ. Hay ángulos que no son construibles pero que son trisecables (a pesar de que el ángulo de un tercio en sí mismo no es construible). Por ejemplo,3π/7 es un ángulo de este tipo: cinco ángulos de medida3π/7 se combinan para formar un ángulo de medida15π/7, que es un círculo completo más elπ/7 deseado.
Para unnúmero naturalN, un ángulo de medida2π/N estrisecable si y solo si3 no divide aN.[6][7] En contraste,2π/N esconstruible si y solo siN es una potencia de2 o el producto de una potencia de2 con el producto de uno o másnúmeros de Fermat distintos.
Nuevamente, denótese el conjunto de losnúmeros racionales porQ.
Teorema: un ángulo de medidaθ se puede trisecarsi y solo si
se puede reducir sobre laextensión del cuerpoQ(cos(θ)).
Lademostración es una generalización relativamente sencilla de la prueba dada anteriormente de que un ángulo de60° no es trisecable.[8]
El problema general de la trisección de ángulos se puede resolver utilizando herramientas adicionales y, por lo tanto, saliendo del marco griego original de la regla y el compás.
Se han propuesto muchos métodos incorrectos para trisecar un ángulo en general. Algunos de estos métodos proporcionan aproximaciones razonables; otros (algunos de los cuales se mencionan a continuación) involucran herramientas no permitidas en el problema clásico. El matemáticoUnderwood Dudley ha detallado algunos de estos intentos fallidos en su libro"The trisectors" (Los Trisectores).[3]
Esta construcción requiere trazar una circunferencia de radio arbitrario y con centro en el vérticeO del ángulo a trisecar (∠AOB), y situar un puntoF en la bisectriz del ángulo dado a una distancia del doble del radio de la circunferencia. Considerando ∠AOB = 2a y ∠HOG = 2x, entonces se tiene que eltriángulo ΔOCF incluye el ángulo ∠OCF = ½ (a + x) ya que es un ángulo inscrito en lacircunferencia que comprende unarco de medidaa + x, y también se tiene que ∠CFO = ½ (a - x) porque al extender labisectriz se obtiene un ángulo opuesto al ángulo ∠EOB = a, que por otro lado, es un ángulo externo al triángulo ΔOCF no adyacente a los ángulos ∠OCF = ½ (a + x ) y ∠CFO. En consecuencia:
Usando la ley de lossenos y loscosenos en el triángulo ΔOCF y considerando los ladosOF yOC que miden respectivamente2.r yr, donder es el radio de la circunferencia, entonces:
Con la segunda igualdad se llega a:
Dividiendo el numerador y el denominador del primer miembro de la expresión anterior, resulta:.
Esto demuestra que. De ello se deduce quex esaproximadamente.
La trisección se puede aproximar mediante la repetición del método de la regla y el compás para bisecar un ángulo. Las series geométricas1/3 =1/4 +1/16 +1/64 +1/256 + ⋯ o1/3 =1/2 −1/4 +1/8 −1/16 + ⋯ se pueden utilizar como base para las bisecciones. Se puede obtener una aproximación hasta cualquier grado de precisión en un número finito de pasos, pero la resolución exacta requeriría realizar un número infinito de pasos.[9]
Un ángulo se puede trisecar con un dispositivo que es esencialmente una versión de cuatro brazos de un compás, con conexiones articuladas intermedias diseñadas para mantener iguales los tres ángulos entre los brazos adyacentes.[10] Este dispositivo fue estudiado porRené Descartes en 1629, según consta en su correspondencia conIsaac Beeckman.[11]
Posteriormente, se idearían otrosmecanismos simples capaces de trisecar ángulos, incluido el Trisector de Kempe y el mecanismo de abanico deSylvester (también conocido comoIsoklinostat).[12]
La trisección, como muchas construcciones imposibles con la regla y el compás, se puede lograr fácilmente mediante las operaciones de plegado de papel, uorigami. Losaxiomas de Huzita (tipos de operaciones de plegado) permiten construir extensiones cúbicas (raíces cúbicas) de longitudes determinadas, mientras que con la regla y el compás solo pueden construirse extensiones cuadráticas (raíces cuadradas).
La construcción en origami adjunta (ideada por de Hisashi Abe en 1980) ilustra el procedimiento:
La demostración es simple: por simetría con respecto a la rectap, el punto medio P de AB da el punto medio P' de A'B' y, así como A'P es perpendicular a AB, se tiene que AP' es perpendicular a A'B'. Los dos triángulos rectángulos P'A'A y P'B'A son, por lo tanto,triángulos semejantes.
Por otro lado, sea H la proyección ortogonal de A' sobreh0. Dado que los triángulos HAA' y PA'A son semejantes como mitades del mismo rectángulo, y dado que los triángulos PA'A y P'AA' también son semejantes por simetría con respecto a P, se deduce que los triángulos HAA' y P'AA' son semejantes entre sí.
La semejanza de los tres triángulos HAA', P'AA' y P'AB' demuestra que las rectas AP' y AA' dividen el ángulo dAh0 en tres ángulos de la misma medida.
En 1932,Ludwig Bieberbach publicó en el "Journal für die reine und angewandte Mathematik" su obra "Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen".[13] Según sus propias palabras (traducción libre):
La siguiente descripción de la construcción (animación adyacente) contiene su continuación hasta la trisección completa del ángulo.
La construcción comienza con unacircunferencia goniométrica alrededor del punto, el primer lado del ángulo a trisecar sobre el diámetro horizontal y a continuación un segundo círculo unitario alrededor de. Ahora, se traza un arco con radio igual al diámetro y centro en, que pasa por el punto. A continuación, se dibuja el segundo lado del ángulo, obteniéndose el punto. En el siguiente paso se utiliza el llamado "medio de construcción adicional", que en el ejemplo ilustrado es el "Geodreieck". El triángulo se debe colocar sobre el dibujo de la siguiente manera: el vértice del ángulo recto determina el punto sobre el lado del ángulo cuando uncateto del triángulo pasa por el punto y el otro es tangente al círculo unitario con centro en.Después se conecta el punto con y se dibuja la tangente desde al círculo unitario alrededor de (de acuerdo con elajuste del ángulo recto mencionado anteriormente comoRechtwinkelhaken). El ángulo encerrado por los segmentos y es, por tanto, exactamente.
Para comprobarlo, se traza la paralela a desde, creando dosángulos entre paralelas de valor y el punto. Una paralela adicional a desde determina el punto de contacto de la tangente con el círculo unitario alrededor de. Finalmente, si se traza una línea recta desde a través de hasta que se cruce con el círculo unitario en, se comprueba que el ángulo ha quedado dividido exactamente en tres partes.
Hay ciertas curvas llamadastrisectrices que, si se dibujan en el plano usando otros métodos distintos de la regla y el compás, se pueden usar para trisecar ángulos arbitrarios.[14] Los ejemplos incluyen latrisectriz de Maclaurin, que encoordenadas cartesianas viene dada por laecuación implícita
y laespiral de Arquímedes. De hecho, la espiral se puede utilizar para dividir un ángulo en "cualquier" número de partes iguales.
Otro medio de trisecar un ángulo arbitrario con un "pequeño" paso fuera del marco clásico griego es mediante una regla con dos marcas separadas por una distancia determinada. La siguiente construcción se debe originalmente aArquímedes. Este tipo de soluciones se caracterizan por utilizar elmétodo neusis, incluyendo el empleo de herramientas distintas de un compás y de una regla no marcada. Los diagramas muestran esta construcción para un ángulo agudo, pero de hecho funciona para cualquier ángulo de hasta 180 grados.
La construcción implica asumir tres principios de la geometría euclídea:
Construcción:
Seal la línea horizontal en el diagrama adyacente. El ánguloa (a la izquierda del puntoB) es el objeto de la trisección. Para ello, primero, se dibuja el puntoA que delimita al ánguloa con el vértice enB, y a continuación se dibuja una circunferencia deradioAB. Entonces, entra en juego la regla en la que se ha marcado la distanciaAB: mientras mantiene la regla (pero no la marca) pasando porA, la regla se desliza y gira hasta que una marca esté en la circunferencia y la otra en la rectal. La marca en el círculo figura comoC y la marca en la recta está indicada comoD. Esto asegura queCD =AB. Si se dibuja un radioBC, se hace evidente que los segmentosAB,BC yCD tienen todos la misma longitud. Ahora, los triángulosABC yBCD sonisósceles, por lo tanto (según el tercer principio), cada uno tiene dos ángulos iguales.
Hipótesis: Dado queAD es una línea recta, y queAB,BC yCD tienen la misma longitud,
Conclusión: Entonces el ángulob =a/3.
Demostración:
En consecuencia, (a − 3b = 0), o lo es lo mismo, (a = 3b), y elteorema quedademostrado.
Una vez más, el uso de una regla marcada hace que esta construcción quede fuera de las "reglas" de lamatemática griega clásica, en la que solo se permitían construcciones conregla y compás exclusivamente.
El método deNicomedes también se vale de una regla marcada para ajustar una longitud conocida.
Construcción:
Dado cualquieránguloCÂB (véase la figura adjunta), se considera unarecta,perpendicular a, que cruza en y a en. A continuación, por se traza unarecta paralela a y por se traza unarecta paralela a; lasrectas y se cruzan en. Ahora, desde se traza larecta, que se cruza con en y con en, ajustándola de forma que (véasemétodo neusis):
Demostración:
La construcción cumple las siguientes condiciones:
Sea elpunto medio de, entonces se tiene que:
Y además, también se cumple que
Por otro lado
El ánguloCĜH es el ángulo externo deltriángulo y, por lo tanto,
Pero también
De aquí se deduce que
y en consecuencia,
Thomas Hutcheson publicó un artículo en elMathematics Teacher[15] que usaba una cuerda en lugar de un compás y una regla. Una cuerda se puede utilizar como regla (estirándola) o como compás (fijando un punto e identificando otro), pero también se puede enrollar alrededor de un cilindro, la clave de la solución de Hutcheson.
Hutcheson construyó un cilindro a partir del ángulo a ser trisecado -dibujando un arco a través del ángulo, y completándolo como una circunferencia-, en la que se inscribe un triángulo equilátero para dividirla en tres partes iguales. A continuación, tras desarrollar el cilindro, procedía a proyectar estas tres partes iguales sobre el ángulo a ser trisecado mediante una simple construcción de triángulos semejantes. Tras devolver el cilindro a su posición original, los dos nuevos puntos generados se corresponden con la trisección del ángulo de partida.
Undispositivo trisector o"tomahawk" es una forma geométrica que consta de un semicírculo y dos segmentos ortogonales, de modo que la longitud del segmento más corto es igual al radio del círculo. La trisección se ejecuta apoyando el extremo del segmento más corto deltomahawk en uno de los segmentos del ángulo, y el borde del círculo en el otro, de modo que el "mango" (el segmento más largo) pase por el vértice del ángulo. Una vez ajustado el dispositivo trisector, una línea de trisección pasa por el vértice del ángulo y por el centro del semicírculo; y la otra coincide con el "mango" del aparato.
Aunque el"tomahawk" se puede construir con regla y compás, generalmente no es posible colocarlo en la posición que resuelve el problema utilizando exclusivamente estos dos elementos. En consecuencia, la construcción anterior no contradice la no trisectibilidad de los ángulos utilizando exclusivamente regla y compás.
El dispositivo produce el mismo efecto geométrico que el método de plegado de papel: la distancia entre el centro del círculo y la punta del segmento más corto es el doble de la distancia del radio, lo que siempre se cumple gracias a la que la circunferencia es tangente a uno de los lados del ángulo. También es equivalente al uso de una regla en L (unaescuadra de carpintero).
Unaecuación de tercer grado con coeficientes reales se puede resolver geométricamente con compás, regla y un trisector de ángulos si y solo si tiene tresraícesreales.[16]: Thm. 1
Unpolígono regular conn lados se puede construir con regla, compás y un trisector de ángulos si y solo si donder, s, k ≥ 0 y dondepi son primos distintos de 3 de la forma (es decir, sonnúmeros primos de Pierpont mayores que 3).[16]: Thm. 2
Para cualquier entero distinto de ceroN, un ángulo de medida2π⁄N radianes se puede dividir enn partes iguales con regla y compás si y solo sin es una potencia de2 o es una potencia de2 multiplicada por el producto de uno o más Fermat distintos. primos, ninguno de los cuales divide aN. En el caso de la trisección (n = 3, que es unnúmero primo de Fermat), esta condición se convierte en el requisito mencionado anteriormente de queN no sea divisible por3.[7]
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Datos:Q733081
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