Untriángulo hiperbólico es unafigura de tres lados propio de lageometría hiperbólica. Consta de tressegmentos llamadoslados oaristas y de trespuntos llamadosvértices oesquinas.

Al igual que en el caso delespacio euclídeo, siempre existe un plano que pase por tres puntos cualesquiera de unespacio hiperbólico dedimensión arbitraria. Por lo tanto, los triángulos hiperbólicos planos también describen triángulos posibles en cualquier dimensión superior de espacios hiperbólicos.

Un triángulo hiperbólico consta de tres puntos que no soncolineales y de los tres segmentos tendidos entre ellos.^[1]​

Los triángulos hiperbólicos tienen algunas propiedades análogas a las de lostriángulos en lageometría euclídea:

• Cada triángulo hiperbólico tiene unacircunferencia inscrita pero no todos los triángulos hiperbólicos tienen unacircunferencia circunscrita (véase más abajo). Sus vértices pueden estar en unhorociclo ocircunferencia hiperbólica.

Los triángulos hiperbólicos tienen algunas propiedades análogas a las de los triángulos en lageometría esférica o en lageometría elíptica:

• Dos triángulos con la misma suma de ángulos tienen la misma área.
• Hay un límite superior para el área de los triángulos.
• Hay un límite superior para el radio de lacircunferencia inscrita.
• Dos triángulos son congruentes si y solo si se corresponden bajo un producto finito de reflexiones lineales.
• Dos triángulos con ángulos correspondientes iguales son congruentes (es decir, todos los triángulos semejantes son congruentes).

Los triángulos hiperbólicos tienen algunas propiedades que son opuestas a las propiedades de los triángulos en geometría esférica o elíptica:

• La suma de los ángulos de un triángulo es menor que 180°.
• El área de un triángulo es proporcional al déficit de la suma de sus ángulos con respecto a 180°.

Los triángulos hiperbólicos también tienen algunas propiedades que no se encuentran en otras geometrías:

• Algunos triángulos hiperbólicos no tienencircunferencia circunscrita, este es el caso cuando al menos uno de sus vértices es unpunto ideal o cuando todos sus vértices se encuentran en unhorociclo o en unacircunferencia hiperbólica de un solo lado.
• Los triángulos hiperbólicos sondelgados, de forma que existe una distancia máxima δ desde un punto de una arista a una de las otras dos aristas. Este principio dio origen alδ-espacio hiperbólico.

La definición de un triángulo se puede generalizar, permitiendo vértices en elcontorno ideal del plano mientras se mantienen los lados dentro del plano. Si un par de lados sonparalelos límite (es decir, la distancia entre ellos tiende a cero cuando tienden alpunto ideal, pero no se intersecan), entonces terminan en unvértice ideal denominadopunto omega.

También se puede decir que tal par de lados forman un ángulo decero grados.

Un triángulo con un ángulo cero es imposible engeometría euclidiana para ladosrectos que se encuentran en líneas distintas. Sin embargo, tales ángulos cero son posibles concírculos tangentes.

Un triángulo con un vértice ideal se llamatriángulo omega.

Los triángulos especiales con vértices ideales son:

Un triángulo donde un vértice es un punto ideal, un ángulo es recto: el tercer ángulo es elángulo de paralelismo de la longitud del lado entre el ángulo recto y el tercer ángulo.

El triángulo donde dos vértices son puntos ideales y el ángulo restante esrecto, uno de los primeros triángulos hiperbólicos (1818) descritos porFerdinand Karl Schweikart.

El triángulo donde todos los vértices son puntos ideales. Un triángulo ideal es el triángulo más grande posible en geometría hiperbólica debido a la suma cero de sus ángulos.

Las relaciones entre los ángulos y los lados son análogas a las de latrigonometría esférica. La escala de longitud tanto para la geometría esférica como para la geometría hiperbólica se puede definir, por ejemplo, como la longitud de un lado de un triángulo equilátero con ángulos dados.

La escala de longitud es más conveniente si las longitudes se miden en términos delongitud absoluta (una unidad especial de longitud análoga a las relaciones entre distancias engeometría esférica). Esta elección para esta escala de longitud simplifica las fórmulas.^[2]​

En cuanto a la longitud absoluta en elmodelo de semiplano de Poincaré corresponde a lamétrica infinitesimal${\displaystyle ds=\frac{|dz|}{\mathrm{Im}(z)}}$ y en eldisco de Poincaré a${\displaystyle ds=\frac{2|dz|}{1-|z{|}^2}}$.

En términos de lacurvatura de GaussK de un plano hiperbólico (constante y negativa), una unidad de longitud absoluta corresponde a una longitud de

${\displaystyle R=\frac{1}{\sqrt{-K}}}$.

En un triángulo hiperbólico, lasuma de los ángulosA,B,C (respectivamente opuestos al lado con la letra correspondiente) es estrictamente menor que un ángulo recto. La diferencia entre la medida de un ángulo recto y la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo se llamadefecto angular del triángulo. Elárea de un triángulo hiperbólico es igual a su defecto multiplicado por elcuadrado de R:

${\displaystyle (\pi -A-B-C)R^2}$

Este teorema, probado por primera vez porJohann Heinrich Lambert,^[3]​ está relacionado con latrigonometría esférica en geometría esférica.

En todas las fórmulas indicadas a continuación, los ladosa,b yc deben medirse enlongitud absoluta, una unidad para la que lacurvatura de GaussK del plano sea −1. En otras palabras, se supone que la cantidadR en el párrafo anterior es igual a 1.

Las fórmulas trigonométricas para triángulos hiperbólicos dependen de lasfunciones hiperbólicas sinh, cosh y tanh.

SiC es unángulo recto entonces:

• Elseno del ánguloA es elseno hiperbólico del lado opuesto al ángulo dividido por elseno hiperbólico de lahipotenusa.

${\displaystyle \mathrm{sen}A=\frac{\text{sinh(opuesto)}}{\text{sinh(hipotenusa)}}=\frac{\sinh a}{\sinh c}.}$

• Elcoseno del ánguloA es latangente hiperbólica del cateto adyacente dividida por latangente hiperbólica de la hipotenusa.

${\displaystyle \cos A=\frac{\text{tanh(adyacente)}}{\text{tanh(hipotenusa)}}=\frac{\tanh b}{\tanh c}.}$

• Latangente del ánguloA es latangente hiperbólica del cateto opuesto dividida por elseno hiperbólico del cateto adyacente.

${\displaystyle \tan A=\frac{\text{tanh(opuesto)}}{\text{sinh(adyacente)}}=\frac{\tanh a}{\sinh b}}$.

• Elcoseno hiperbólico del cateto adyacente al ángulo A es elcoseno del ángulo B dividido por elseno del ángulo A.

${\displaystyle \text{cosh(adyacente)}=\frac{\cos B}{\mathrm{sen}A}}$.

• Elcoseno hiperbólico de la hipotenusa es el producto de loscosenos hiperbólicos de los catetos.

${\displaystyle \text{cosh(hipotenusa)}=\text{cosh(adyacente)}\text{cosh(opuesto)}}$.

• Elcoseno hiperbólico de la hipotenusa es también el producto de loscosenos de los ángulos dividido por el producto de sussenos.^[4]​

${\displaystyle \text{cosh(hipotenusa)}=\frac{\cos A\cos B}{\mathrm{sen}A\mathrm{sen}B}=\cot A\cot B}$

También se dan las siguientes ecuaciones:^[5]​

${\displaystyle \cos A=\cosh a\mathrm{sen}B}$

${\displaystyle \mathrm{sen}A=\frac{\cos B}{\cosh b}}$

${\displaystyle \tan A=\frac{\cot B}{\cosh c}}$

${\displaystyle \cos B=\cosh b\mathrm{sen}A}$

${\displaystyle \cosh c=\cot A\cot B}$

El área de un triángulo rectángulo es:

${\displaystyle \text{Area}=\frac{\pi }{2}-\mathrm{\angle }A-\mathrm{\angle }B}$

y además

${\displaystyle \text{Area}=2\arctan (\tanh (\frac{a}{2})\tanh (\frac{b}{2}))}$^[6]​

La instancia de untriángulo omega con un ángulo recto proporciona la configuración para examinar elángulo de paralelismo en el triángulo.

En este caso el ánguloB = 0, a = c =${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ y${\displaystyle \text{tanh}(\mathrm{\infty })=1}$, resultando en${\displaystyle \cos A=\text{tanh(adyacente)}}$.

Las fórmulas trigonométricas de los triángulos rectángulos también dan las relaciones entre los ladoss y los ángulosA de untriángulo equilátero (un triángulo donde todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos son iguales).

Las relaciones son:

${\displaystyle \cos A=\frac{\text{tanh}(\frac{1}{2}s)}{\text{tanh}(s)}}$

${\displaystyle \cosh (\frac{1}{2}s)=\frac{\cos (\frac{1}{2}A)}{\mathrm{sen}(A)}=\frac{1}{2\mathrm{sen}(\frac{1}{2}A)}}$

Ya sea que "C" sea un ángulo recto o no, se cumplen las siguientes relaciones:

Elteorema del coseno es el siguiente:

${\displaystyle \cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos C,}$

Suteorema dual es

${\displaystyle \cos C=-\cos A\cos B+\mathrm{sen}A\mathrm{sen}B\cosh c,}$

También hay una "ley de los senos":

${\displaystyle \frac{\mathrm{sen}A}{\sinh a}=\frac{\mathrm{sen}B}{\sinh b}=\frac{\mathrm{sen}C}{\sinh c},}$

y una fórmula de cuatro partes:

${\displaystyle \cos C\cosh a=\sinh a\coth b-\sin C\cot B}$

que se deduce de la misma forma que en el caso de latrigonometría esférica.

• Pantalón (matemáticas)
• Grupo triangular

Para trigonometría hiperbólica:

• Teorema del coseno
• Ley hiperbólica de los senos
• Cuadrilátero de Lambert
• Cuadrilátero de Saccheri

• Svetlana Katok (1992)Fuchsian Groups,University of Chicago PressISBN 0-226-42583-5

• Geometría hiperbólica
• Tipos de triángulos

• Wikipedia:Páginas con referencias que requieren registro