Engeometría, unteselado uniforme es un tipo deteselado del plano mediantepolígonos regulares, que deben ser necesariamentevértice transitivos.
Pueden existir teselados uniformes tanto en elplano euclídeo como enplano hiperbólico. Los teselados uniformes están relacionados con elpoliedros uniformes finitos, que pueden considerarse teselados uniformes de laesfera.
La mayoría de los teselados uniformes se pueden generar a partir de unaconstrucción de Wythoff, comenzando con ungrupo de simetría y un punto generador singular dentro dedominio fundamental. Un grupo de simetría plana tiene undominio fundamental poligonal y puede representarse mediante el nombre del grupo denotado a su vez por el orden de los espejos en vértices secuenciales.
Un triángulo de dominio fundamental es (pqr), y un triángulo rectángulo (pq 2), dondep,q,r son números enteros mayores que 1. El triángulo puede seresférico, un triángulo plano euclídeo o un triángulo plano hiperbólico, dependiendo de los valores dep,q yr.
Existen varias clases de símbolos para denominar a estas figuras, a partir de unsímbolo de Schläfli modificado para dominios de triángulos rectángulos: (pq 2) → {p,q}. Eldiagrama de Coxeter-Dynkin es un gráfico triangular conp,q,r etiquetados en las aristas. Sir = 2, la gráfica es lineal, ya que los nodos del dominio de orden 2 no generan reflexiones. Elsímbolo de Wythoff toma los 3 números enteros y los separa por una barra vertical (|). Si el punto del generador está fuera del espejo opuesto a un nodo de dominio, se indica antes de la barra.
Finalmente, los teselados se pueden describir por suconfiguración de vértices, la secuencia de polígonos alrededor de cada vértice.
Todos los teselados uniformes se pueden construir a partir de varias operaciones aplicadas a losteselados regulares. Estas operaciones, según la nomenclatura ideada porNorman Johnson, se denominantruncamiento (cortado de vértices),rectificación (cortado de vértices hasta hacer desaparecer las aristas originales) ycanteado (cortado de aristas). Elomnitruncamiento es una operación que combina truncamiento y canteado. El achatado es una operación detruncamiento alternado de la forma omnitruncada (véasepoliedro uniforme para obtener más detalles).
Losgrupos de Coxeter para el plano definen la construcción de Wythoff y pueden representarse mediante losdiagramas de Coxeter-Dynkin:
Los grupos con órdenes enteros son los siguientes:
| Simetría orbifold | Grupo de Coxeter | Diagrama de Coxeter | Notas | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Compacto | |||||
| *333 | (3 3 3) | [3[3]] |    | 3 formas de reflexión, 1 roma | |
| *442 | (4 4 2) | [4,4] |  | 5 formas de reflexión, 1 roma | |
| *632 | (6 3 2) | [6,3] |   | 7 formas de reflexión, 1 roma | |
| *2222 | (∞ 2 ∞ 2) | × | [∞,2,∞] |   | 3 formas de reflexión, 1 roma |
| No compacto (friso) | |||||
| *∞∞ | (∞) | [∞] | | ||
| *22∞ | (2 2 ∞) | × | [∞,2] | | 2 formas de reflexión, 1 roma |
| Simetría orbifold | Grupo de Coxeter | Diagrama de Coxeter | Notas | |
|---|---|---|---|---|
| Compacto | ||||
| *pq2 | (p q 2) | [p,q] |   | 2(p+q) < pq |
| *pqr | (p q r) | [(p,q,r)] |  | pq+pr+qr < pqr |
| Paracompacto | ||||
| *∞p2 | (p ∞ 2) | [p,∞] | | p>=3 |
| *∞pq | (p q ∞) | [(p,q,∞)] | | p,q>=3, p+q>6 |
| *∞∞p | (p ∞ ∞) | [(p,∞,∞)] | | p>=3 |
| *∞∞∞ | (∞ ∞ ∞) | [(∞,∞,∞)] | | |
Hay grupos de simetría en el plano euclidiano construidos a partir de triángulos fundamentales: (4 4 2), (6 3 2) y (3 3 3). Cada uno está representado por un conjunto de líneas de reflexión que dividen el plano en triángulos fundamentales.
Estos grupos de simetría crean 3teselados regulares y 7 semirregulares. Varios de los teselados semirregulares se repiten a partir de diferentes constructores de simetría.
Un grupo de simetría prismática denotado (2 2 2 2) está representado por dos conjuntos de espejos paralelos, que en general pueden tener un dominio fundamental rectangular. No genera nuevos teselados.
Otro grupo de simetría prismática representado por (∞ 2 2) tiene un dominio fundamental infinito. Construye dos teselados uniformes, elprisma apeirogonal y elantiprisma apeirogonal.
El apilamiento de las caras finitas de estos dos teselados prismáticos construye un teselado uniformeno wythoffiano del plano. Se llamateselado triangular elongado y está compuesto por capas alternas de cuadrados y triángulos.
Triángulos fundamentales rectángulos: (pq 2)
| (pq 2) | Triángulos fundamentales | Original | Truncado | Rectificado | Bitruncado | Birrectificado (dual) | Canteado | Omnitruncado (Cantitruncado) | Romo |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Construcción de Wythoff | q |p 2 | 2q |p | 2 |pq | 2p |q | p |q 2 | pq | 2 | pq 2 | | |pq 2 | |
| Símbolo de Schläfli | {p,q} | t{p,q} | r{p,q} | 2t{p,q}=t{q,p} | 2r{p,q}={q,p} | rr{p,q} | tr{p,q} | sr{p,q} | |
| Diagrama de Coxeter-Dynkin |  | | | | | | |  | |
| Configuración de vértices | pq | q.2p.2p | (p.q)2 | p. 2q.2q | qp | p. 4.q.4 | 4.2p.2q | 3.3.p. 3.q | |
| Teselado cuadrado (4 4 2) |  0 |  {4,4} |  4.8.8 |  4.4.4.4 |  4.8.8 |  {4,4} |  4.4.4.4 |  4.8.8 |  3.3.4.3.4 |
| Teselado hexagonal (6 3 2) |  0 |  {6,3} |  3.12.12 |  3.6.3.6 |  6.6.6 |  {3,6} |  3.4.6.4 |  4.6.12 |  3.3.3.3.6 |
Triángulos fundamentales generales: (p q r)
| Construcción de Wythoff (p q r) | Triángulos fundamentales | q | p r | r q | p | r | p q | r p | q | p | q r | p q | r | p q r | | | p q r |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Diagrama de Coxeter-Dynkin | | | | | | | | | |
| Configuración de vértices | (p.q)r | r.2p.q.2p | (p.r)q | q.2r.p. 2r | (q.r)p | q.2r.p. 2r | r.2q.p. 2q | 3.r.3.q.3.p | |
| Triangular (3 3 3) |  0 |  (3.3)3 |  3.6.3.6 |  (3.3)3 |  3.6.3.6 |  (3.3)3 |  3.6.3.6 |  6.6.6 |  3.3.3.3.3.3 |
Dominios fundamentales no simples
El único dominio fundamental posible en el espacio euclídeo bidimensional que no es unsímplex es el rectángulo (∞ 2 ∞ 2), condiagrama de Coxeter-Dynkin:. Todas las formas generadas a partir de él se convierten enteselados cuadrados.
Hay infinitos teselados uniformes de polígonos regulares convexos en elplano hiperbólico, cada uno basado en un grupo de simetría de reflexión diferente (p q r).
Aquí se incluye una muestra, representada mediante su proyección sobre eldisco de Poincaré.
Eldiagrama de Coxeter-Dynkin se presenta en forma lineal, aunque en realidad es un triángulo, con el segmento final r conectado al primer nodo.
Existen más grupos de simetría en el plano hiperbólico con dominios fundamentales cuadriláteros que comienzan con (2 2 2 3)..., que pueden generar nuevas formas. Además, existen dominios fundamentales que colocan los vértices en el infinito, como (∞ 2 3) u otros.
Triángulos fundamentales rectángulos: (pq 2)
| (p q 2) | Triángulos fundamentales | Original | Truncado | Rectificado | Bitruncado | Birrectificado (dual) | Canteado | Omnitruncado (Cantitruncado) | Romo |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Construcción de Wythoff | q | p 2 | 2 q | p | 2 | p q | 2 p | q | p | q 2 | p q | 2 | p q 2 | | | p q 2 | |
| Símbolo de Schläfli | t{p,q} | t{p,q} | r{p,q} | 2t{p,q}=t{q,p} | 2r{p,q}={q,p} | rr{p,q} | tr{p,q} | sr{p,q} | |
| Diagrama de Coxeter-Dynkin | | | | | | | | | |
| Configuración de vértices | pq | (q.2p.2p) | (p.q.p.q) | (p. 2q.2q) | qp | (p. 4.q.4) | (4.2p.2q) | (3.3.p. 3.q) | |
| (5 4 2) |  V4.8.10 |  {5,4} |  4.10.10 |  4.5.4.5 |  5.8.8 |  {4,5} |  4.4.5.4 |  4.8.10 |  3.3.4.3.5 |
| (5 5 2) |  V4.10.10 |  {5,5} |  5.10.10 |  5.5.5.5 |  5.10.10 |  {5,5} |  5.4.5.4 |  4.10.10 |  3.3.5.3.5 |
| (7 3 2) |  V4.6.14 |  {7,3} |  3.14.14 |  3.7.3.7 |  7.6.6 |  {3,7} |  3.4.7.4 |  4.6.14 |  3.3.3.3.7 |
| (8 3 2) |  V4.6.16 |  {8,3} |  3.16.16 |  3.8.3.8 |  8.6.6 |  {3,8} |  3.4.8.4 |  4.6.16 |  3.3.3.3.8 |
Triángulos fundamentales generales (p q r)
| Construcción de Wythoff (p q r) | Triángulos fundamentales | q | p r | r q | p | r | p q | r p | q | p | q r | p q | r | p q r | | | p q r |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Diagrama de Coxeter-Dynkin | | | | | | | | | |
| Configuración de vértices | (p.r)q | (r.2p.q.2p) | (p.q)r | (q.2r.p. 2r) | (q.r)p | (r.2q.p. 2q) | (2p.2q.2r) | (3.r.3.q.3.p) | |
| (4 3 3) |  V6.6.8 |  (3.4)3 |  3.8.3.8 |  (3.4)3 |  3.6.4.6 |  (3.3)4 |  3.6.4.6 |  6.6.8 |  3.3.3.3.3.4 |
| (4 4 3) |  V6.8.8 |  (3.4)4 |  3.8.4.8 |  (4.4)3 |  3.6.4.6 |  (3.4)4 |  4.6.4.6 |  6.8.8 |  3.3.3.4.3.4 |
| (4 4 4) |  V8.8.8 |  (4.4)4 |  4.8.4.8 |  (4.4)4 |  4.8.4.8 |  (4.4)4 |  4.8.4.8 |  8.8.8 |  3.4.3.4.3.4 |
Hay varias formas de ampliar la lista de teselados uniformes:
Los triángulos del grupo de simetría con disposiciones retrógradas incluyen:
Los triángulos del grupo de simetría con infinito incluyen:
Branko Grünbaum yG. C. Shephard, en el libro de 1987"Tilings and patterns" (Teselados y patrones), en la sección 12.3, enumera una lista de 25 teselados uniformes, incluidas las 11 formas convexas, y agrega 14 más que llaman "teselados huecos" que incluían los dos primeros. expansiones anteriores, caras de polígonos estrellados y figuras de vértice también estrelladas.[1]
Harold Scott MacDonald Coxeter,M. S. Longuet-Higgins yJ. C. P. Miller, en el artículo de 1954Poliedros uniformes, en la 'Tabla 8: Teselaciones uniformes', utilizan las tres primeras expansiones y enumeran un total de 38 teselados uniformes. Si se cuenta también un teselado formado por 2 apeirógonos, el total puede considerarse 39 teselados uniformes.
En 1981, Grünbaum, Miller y Shephard en su artículo"Uniform Tilings with Hollow Tiles" (Teselados Uniformes con teselas huecas) enumeraron 25 teselados usando las dos primeras expansiones y 28 más cuando se agrega la tercera (lo que hace 53, usando la definición de Coxeter et al.). Cuando agregan la cuarta condición, enumeran 23 teselados uniformes adicionales y 10 familias (8 dependiendo de parámetros continuos y 2 de parámetros discretos).[2]
Además de las 11 soluciones convexas, a continuación se muestran los 28 teselados de estrellas uniformes enumerados por Coxeteret al., agrupados por gráficos de bordes compartidos, seguidos de 15 más enumerados por Grünbaumet al., que cumplen con la definición de Coxeter, pero que no fueron incluidos por este último.
Este conjunto no se ha demostrado que sea completo. Por2,25 se entiende el teselado 25 en la tabla 2 de Grünbaum et al. de 1981.
Los siguientes tres teselados son excepcionales porque solo hay un número finito de un tipo de cara: dos apeirógonos en cada uno. A veces no se incluye el teselado apeirogonal de orden 2, ya que sus dos caras se encuentran en más de un borde.
| McNeill[3] | Diagrama | Configuración de vértices | Wythoff | Simetría | Notas |
|---|---|---|---|---|---|
| I1 |  | ∞.∞ | p1m1 | (Dos semiplanos como teselas,teselado apeirogonal de orden-2) | |
| I2 |  | 4.4.∞ | ∞ 2 | 2 | p1m1 | Prisma apeirogonal |
| I3 |  | 3.3.3.∞ | | 2 2 ∞ | p11g | Antiprisma apeirogonal |
Para mayor claridad, los apeirógonos no se colorean de aquí en adelante, y simplemente se resalta un conjunto de polígonos alrededor de un vértice. McNeill solo enumera los teselados proporcionados por Coxeter et al. (1954). Los once teselados uniformes convexos se han repetido como referencia.
| Simetría delgrupo del papel pintado | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| McNeill[3] | Grünbaum et al 1981[2] | Diagrama de aristas | Celda remarcada | Configuración de vértices | Wythoff | Simetría |
| Convexo | 1.9 |  |  | 4.4.4.4 | 4 | 2 4 | p4m |
| I4 | 2.14 |  | 4.∞.4/3.∞ 4.∞.-4.∞ | 4/3 4 | ∞ | p4m | |
| Convexo | 1.24 |  | 6.6.6 | 3 | 2 6 | p6m | |
| Convexo | 1.25 |  |  | 3.3.3.3.3.3 | 6 | 2 3 | p6m |
| I5 | 2.26 |  | (3.∞.3.∞.3.∞)/2 | 3/2 | 3 ∞ | p3m1 | |
| Convexo | 1.23 |  |  | 3.6.3.6 | 2 | 3 6 | p6m |
| I6 | 2.25 |  | 6.∞.6/5.∞ 6.∞.-6.∞ | 6/5 6 | ∞ | p6m | |
| I7 | 2.24 |  | ∞.3.∞.3/2 3.∞.-3.∞ | 3/2 3 | ∞ | p6m | |
| Convexo | 1.14 |  |  | 3.4.6.4 | 3 6 | 2 | p6m |
| 1 | 1.15 |  | 3/2.12.6.12 -3.12.6.12 | 3/2 6 | 6 | p6m | |
| 1.16 |  | 4.12.4/3.12/11 4.12.-4.-12 | 2 6 (3/2 6/2) | | p6m | ||
| Convexo | 1.5 |  | 4.8.8 | 2 4 | 4 | p4m | |
| 2 | 2.7 |  |  | 4.8/3.∞.8/3 | 4 ∞ | 4/3 | p4m |
| 1.7 |  | 8/3.8.8/5.8/7 8.8/3.-8.-8/3 | 4/3 4 (4/2 ∞/2) | | p4m | ||
| 2.6 |  | 8.4/3.8.∞ -4.8.∞.8 | 4/3 ∞ | 4 | p4m | ||
| Convexo | 1.20 |  | 3.12.12 | 2 3 | 6 | p6m | |
| 3 | 2.17 |  |  | 6.12/5.∞.12/5 | 6 ∞ | 6/5 | p6m |
| 1.21 |  | 12/5.12.12/7.12/11 12.12/5.-12.-12/5 | 6/5 6 (6/2 ∞/2) | | p6m | ||
| 2.16 |  | 12.6/5.12.∞ -6.12.∞.12 | 6/5 ∞ | 6 | p6m | ||
| 4 | 1.18 |  |  | 12/5.3.12/5.6/5 3.12/5.-6.12/5 | 3 6 | 6/5 | p6m |
| 1.19 |  | 12/5.4.12/7.4/3 4.12/5.-4.-12/5 | 2 6/5 (3/2 6/2) | | p6m | ||
| 1.17 |  | 4.3/2.4.6/5 3.-4.6.-4 | 3/2 6 | 2 | p6m | ||
| 5 | 2.5 |  |  | 8.8/3.∞ | 4/3 4 ∞ | | p4m |
| 6 | 2.15 |  |  | 12.12/5.∞ | 6/5 6 ∞ | | p6m |
| 7 | 1.6 |  |  | 8.4/3.8/5 4.-8.8/3 | 2 4/3 4 | | p4m |
| Convexo | 1.11 |  | 4.6.12 | 2 3 6 | | p6m | |
| 8 | 1.13 |  |  | 6.4/3.12/7 4.-6.12/5 | 2 3 6/5 | | p6m |
| 9 | 1.12 |  |  | 12.6/5.12/7 6.-12.12/5 | 3 6/5 6 | | p6m |
| 10 | 1.8 |  |  | 4.8/5.8/5 -4.8/3.8/3 | 2 4 | 4/3 | p4m |
| 11 | 1.22 |  |  | 12/5.12/5.3/2 -3.12/5.12/5 | 2 3 | 6/5 | p6m |
| Convexo | 1.1 |  | 3.3.3.4.4 | construcción de Wythoff | cmm | |
| 12 | 1.2 |  |  | 4.4.3/2.3/2.3/2 3.3.3.-4.-4 | No wythoffiano | cmm |
| Convexo | 1.3 |  | 3.3.4.3.4 | | 2 4 4 | p4g | |
| 13 | 1.4 |  | 4.3/2.4.3/2.3/2 3.3.-4.3.-4 | | 2 4/3 4/3 | p4g | |
| 14 | 2.4 |  | 3.4.3.4/3.3.∞ 3.4.3.-4.3.∞ | | 4/3 4 ∞ | p4 | |
| Convexo | 1.10 |  | 3.3.3.3.6 | | 2 3 6 | p6 | |
| rowspan=2 | 2.1 | rowspan=2 |  | 3/2.∞.3/2.∞.3/2.4/3.4/3 3.4.4.3.∞.3.∞ | No wythoffiano | cmm |
| 2.2 |  | 3/2.∞.3/2.∞.3/2.4.4 3.-4.-4.3.∞.3.∞ | No wythoffiano | cmm | ||
| 2.3 |  | 3/2.∞.3/2.4.4.3/2.4/3.4/3 3.4.4.3.-4.-4.3.∞ | No wythoffiano | p3 | ||
| rowspan=2 | 2.8 | rowspan=2 |  | 4.∞.4/3.8/3.8 4.8.8/3.-4.∞ | No wythoffiano | p4m |
| 2.9 |  | 4.∞.4.8.8/3 -4.8.8/3.4.∞ | No wythoffiano | p4m | ||
| rowspan=4 | 2.10 | rowspan=4 |  | 4.∞.4/3.8.4/3.8 4.8.-4.8.-4.∞ | No wythoffiano | p4m |
| 2.11 | | 4.∞.4/3.8.4/3.8 4.8.-4.8.-4.∞ | No wythoffiano | p4g | ||
| 2.12 |  | 4.∞.4/3.8/3.4.8/3 4.8/3.4.8/3.-4.∞ | No wythoffiano | p4m | ||
| 2.13 | | 4.∞.4/3.8/3.4.8/3 4.8/3.4.8/3.-4.∞ | No wythoffiano | p4g | ||
| rowspan=6 | 2.18 | rowspan=6 |  | 3/2.∞.3/2.4/3.4/3.3/2.4/3.4/3 3.4.4.3.4.4.3.∞ | No wythoffiano | p6m |
| 2.19 |  | 3/2.∞.3/2.4.4.3/2.4.4 3.-4.-4.3.-4.-4.3.∞ | No wythoffiano | p6m | ||
| 2.20 |  | 3/2.∞.3/2.∞.3/2.12/11.6.12/11 3.12.-6.12.3.∞.3.∞ | No wythoffiano | p6m | ||
| 2.21 |  | 3/2.∞.3/2.∞.3/2.12.6/5.12 3.-12.6.-12.3.∞.3.∞ | No wythoffiano | p6m | ||
| 2.22 |  | 3/2.∞.3/2.∞.3/2.12/7.6/5.12/7 3.12/5.6.12/5.3.∞.3.∞ | No wythoffiano | p6m | ||
| 2.23 |  | 3/2.∞.3/2.∞.3/2.12/5.6.12/5 3.-12/5.-6.-12/5.3.∞.3.∞ | No wythoffiano | p6m | ||
Hay dos teselados uniformes para la figura de vértice 4.8.-4.8.-4.∞ (Grünbaum et al. 2.10 y 2.11) y también dos teselados uniformes para la figura de vértice 4.8/3.4.8/3.-4.∞ (Grünbaum et al. 2.12 y 2.13), con diferentes simetrías. También hay un tercer teselado para cada figura de vértice que es solopseudo-uniforme (los vértices vienen en dos órbitas de simetría). Usan diferentes conjuntos de caras cuadradas. Por lo tanto, para los teselados euclídeos de estrellas, la figura del vértice no determina necesariamente el teselado.[2]
En las imágenes siguientes, los cuadrados incluidos con bordes horizontales y verticales están marcados con un punto central. En las imágenes se resalta un cuadrado base.[2]
Los teselados con zigzags se enumeran a continuación. La notación {∞α} denota un zigzag con ángulo 0 < &alfa; < Π. El apeirógono puede considerarse como el caso especial α = π. Las simetrías se dan para el caso genérico: a veces hay valores especiales de α que aumentan la simetría. Los teselados 3.1 y 3.12 pueden incluso volverse regulares (el 3.32 ya lo es, debido a que no tiene parámetros libres). A veces hay valores especiales de α que provocan la degeneración del teselado.[2]
| Teselados con zigzags | |||
|---|---|---|---|
| Grünbaum et al 1981[2] | Diagrama | Configuración de vértices | Simetría |
| 3.1 |  | ∞α.∞β.∞γ α+β+γ=2π | p2 |
| 3.2 |  | ∞α.∞β.-∞α+β 0<α+β≤π | p2 |
| 3.3 |  | 3.3.∞π-α.-3.∞α+2π/3 0≤α≤π/6 | pgg |
| 3.4 |  | 3.3.-∞π-α.-3.∞−α+2π/3 0≤α<π/3 | pgg |
| 3.5 |  | 4.4.∞φ.4.4.-∞φ φ=2 arctan(n/k), nk even, (n,k)=1 dibujado para φ=2 arctan 2 | pmg |
| 3.6 |  | 4.4.∞φ.-4.-4.∞φ φ=2 arctan(n/k), nk even, (n,k)=1 dibujado para φ=2 arctan 1/2 | pmg |
| 3.7 |  | 3.4.4.3.-∞2π/3.-3.-∞2π/3 | cmm |
| 3.8 |  | 3.-4.-4.3.-∞2π/3.-3.-∞2π/3 | cmm |
| 3.9 |  | 4.4.∞π/3.∞.-∞π/3 | p2 |
| 3.10 |  | 4.4.∞2π/3.∞.-∞2π/3 | p2 |
| 3.11 |  | ∞.∞α.∞.∞−α 0<α<π | cmm |
| 3.12 |  | ∞α.∞π-α.∞α.∞π-α 0<α≤π/2 | cmm |
| 3.13 |  | 3.∞α.-3.-∞α π/3<α<π | p31m |
| 3.14 |  | 4.4.∞2π/3.4.4.-∞2π/3 | p31m |
| 3.15 |  | 4.4.∞π/3.-4.-4.-∞π/3 | p31m |
| 3.16 |  | 4.∞α.-4.-∞α 0<α<π, α≠π/2 | p4g |
| 3.17 |  | 4.-8.∞π/2.∞.-∞π/2.-8 | cmm |
| 3.18 | | 4.-8.∞π/2.∞.-∞π/2.-8 | p4 |
| 3.19 |  | 4.8/3.∞π/2.∞.-∞π/2.8/3 | cmm |
| 3.20 | | 4.8/3.∞π/2.∞.-∞π/2.8/3 | p4 |
| 3.21 |  | 6.-12.∞π/3.∞.-∞π/3.-12 | p6 |
| 3.22 |  | 6.-12.∞2π/3.∞.-∞2π/3.-12 | p6 |
| 3.23 |  | 6.12/5.∞π/3.∞.-∞π/3.12/5 | p6 |
| 3.24 |  | 6.12/5.∞2π/3.∞.-∞2π/3.12/5 | p6 |
| 3.25 |  | 3.3.3.∞2π/3.-3.∞2π/3 | p31m |
| 3.26 |  | 3.∞.3.-∞2π/3.-3.-∞2π/3 | cm |
| 3.27 |  | 3.∞.-∞2π/3.∞.-∞2π/3.∞ | p31m |
| 3.28 |  | 3.∞2π/3.∞2π/3.-3.-∞2π/3.-∞2π/3 | p31m |
| 3.29 |  | ∞.∞π/3.∞π/3.∞.-∞π/3.-∞π/3 | cmm |
| 3.30 |  | ∞.∞π/3.-∞2π/3.∞.∞2π/3.-∞π/3 | p2 |
| 3.31 |  | ∞.∞2π/3.∞2π/3.∞.-∞2π/3.-∞2π/3 | cmm |
| 3.32 |  | ∞π/3.∞π/3.∞π/3.∞π/3.∞π/3.∞π/3 | p6m |
| 3.33 |  | ∞π/3.-∞2π/3.-∞2π/3.∞π/3.-∞2π/3.-∞2π/3 | cmm |
Los pares de teselados 3.17 y 3.18, así como el 3.19 y el 3.20, tienen configuraciones de vértices idénticas pero simetrías diferentes.[2]
Los teselados 3.7 a 3.10 tienen la misma disposición de aristas que 2.1 y 2.2; 3.17 a 3.20 tienen la misma disposición de aristas que 2.10 a 2.13; 3.21 a 3.24 tienen la misma disposición de aristas que 2.18 a 2.23; y del 3.25 al 3.33 tienen la misma disposición de aristas que el 1.25 (el teselado triangular normal).[2]
Los teselados también pueden serautoduales. El teselado cuadrado, consímbolo de Schläfli {4,4}, es autodual. Aquí se muestran dos teselados cuadrados (rojo y negro), duales entre sí.
Considerar unaforma estrellada como un polígono no convexo con el doble de lados permite el uso de polígonos en estrella, y contabilizarlos como polígonos regulares permite usarlos en unteselado uniforme. Estos polígonos están etiquetados como {Nα} para un 2N-góno no convexoisotoxal con ángulo diédrico externo α. Sus vértices externos están etiquetados como N*
α y sus vértices internos como N**
α. Esta ampliación de la definición requiere que las esquinas con solo 2 polígonos no se consideren vértices. El teselado se define por suconfiguración de vértices como una secuencia cíclica de polígonos convexos y no convexos alrededor de cada vértice. Hay 4 teselados uniformes con ángulos ajustables α y 18 teselados uniformes que solo funcionan con ángulos específicos, dando un total de 22 teselados uniformes que utilizan polígonos estrellados.[4]
Todos estos teselados están relacionados topológicamente con los teselados uniformes ordinarios formados por polígonos regulares convexos, con los vértices de valencia 2 ignorados y las caras cuadradas consideradas como dígonos, reducidas a una sola arista.
 3.6* α.6** α Topología3.12.12 |  4.4* α.4** α Topología4.8.8 |  6.3* α.3** α Topología6.6.6 |  3.3* α.3.3** α Topología3.6.3.6 |
 4.6.4* π/6.6 Topología4.4.4.4 |  (8.4* π/4)2 Topología4.4.4.4 |  12.12.4* π/3 Topología4.8.8 |  3.3.8* π/12.4** π/3.8* π/12 Topología4.8.8 |  3.3.8* π/12.3.4.3.8* π/12 Topología4.8.8 |  3.4.8.3.8* π/12 Topología4.8.8 |
 5.5.4* 4π/10.5.4* π/10 Topología3.3.4.3.4 |  4.6* π/6.6** π/2.6* π/6 Topología6.6.6 |  (4.6* π/6)3 Topología6.6.6 |  9.9.6* 4π/9 Topología6.6.6 |  (6.6* π/3)2 Topología3.6.3.6 |  (12.3* π/6)2 Topología3.6.3.6 |
 3.4.6.3.12* π/6 Topología4.6.12 |  3.3.3.12* π/6.3.3.12* π/6 Topología3.12.12 |  18.18.3* 2π/9 Topología3.12.12 |  3.6.6* π/3.6 Topología3.4.6.4 |  8.3* π/12.8.6* 5π/12 Topología3.4.6.4 |  9.3.9.3* π/9 Topología3.6.3.6 |
Los polígonos estrellados de la forma {pα} también pueden representar 2p-gónos convexos que alternan dos ángulos, siendo el más simple un rombo {2α}. Al permitirlos como polígonos regulares, se crean teselados más uniformes, como el ejemplo que figura a continuación:
 3.2*.6.2** Topología3.4.6.4 |  4.4.4.4 Topología4.4.4.4 |  (2* π/6.2** π/3)2 Topología4.4.4.4 |  2* π/6.2* π/6.2** π/3.2** π/3 Topología4.4.4.4 |  4.2* π/6.4.2** π/3 Topología4.4.4.4 |
Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobreTeselado uniforme.| Control de autoridades |
|
|---|
Datos:Q7885119 Multimedia:Uniform tilings /Q7885119