Engeometría diferencial, eltensor de Einstein (llamado así porAlbert Einstein; también conocido como latraza invertida delTensor de Ricci) se utiliza para expresar lacurvatura de unavariedad pseudoriemanniana. Enrelatividad general, aparece en lasecuaciones de campo de Einstein para lagravitación que describen lacurvatura del espacio-tiempo de una manera que sea consistente con la conservación de la energía y el momento.

El tensor de Einstein${\displaystyle \mathbf{G}}$ es untensor de orden 2, definido sobre unavariedad pseudoriemanniana. En notación indicial libre se define como

${\displaystyle \mathbf{G}=\mathbf{R}-\frac{1}{2}\mathbf{g}R,}$

donde${\displaystyle \mathbf{R}}$ es eltensor de Ricci,${\displaystyle \mathbf{g}}$ es eltensor métrico y${\displaystyle R}$ es lacurvatura escalar, que se calcula como la traza del tensor de Ricci${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ por${\displaystyle R=g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }=R_{\mu }^{\mu }}$. En forma de componentes, la ecuación anterior se escribe como:

${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R}$

El tensor de Einstein es simétrico:

${\displaystyle G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }}$

y, al igual que eltensor energía-impulso, y tiene cero divergencia:

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}_{\mu }{G}^{\mu \nu }=0}$

El tensor de Ricci depende solo del tensor métrico, por lo que el tensor de Einstein se puede definir directamente con solo el tensor métrico. Sin embargo, esta expresión es compleja y rara vez se cita en los libros de texto. La complejidad de esta expresión se puede mostrar usando la fórmula para el tensor de Ricci en términos desímbolos de Christoffel:

donde${\displaystyle {\delta }_{\beta }^{\alpha }}$ es eltensor de Kronecker y el símbolo de Christoffel${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\beta \gamma }}$ se define como

$${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\frac{1}{2}{g}^{\alpha ϵ}\left(g_{\beta ϵ,\gamma }+g_{\gamma ϵ,\beta }-g_{\beta \gamma ,ϵ}\right).}$$

y los términos de la forma${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{\beta \gamma ,\mu }^{\alpha }}$ representan su derivada parcial en la dirección μ, es decir:

$${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\beta \gamma ,\mu }={\mathrm{\partial }}_{\mu }{\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\mu }}{\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\beta \gamma }}$$

Antes de las cancelaciones, esta fórmula da como resultado${\displaystyle 2\times (6+6+9+9)=60}$ términos individuales. Las cancelaciones reducen un poco este número.

En el caso especial de unsistema de referencia inercial localmente cerca de un punto, las primeras derivadas del tensor métrico desaparecen y la forma componente del tensor de Einstein se simplifica considerablemente:

donde los corchetes denotan convencionalmenteantisimetrización sobre índices entre corchetes, es decir,

$${\displaystyle g_{\alpha [\beta ,\gamma ]ϵ}=\frac{1}{2}\left(g_{\alpha \beta ,\gamma ϵ}-g_{\alpha \gamma ,\beta ϵ}\right).}$$

Latraza del tensor de Einstein se puede calcular mediantecontrayendo la ecuación en ladefinición con eltensor métrico${\displaystyle g^{\mu \nu }}$. En${\displaystyle n}$ dimensiones (de firma arbitraria):

Por lo tanto, en el caso especial de las dimensionesn = 4,${\displaystyle G=-R}$. Es decir, la traza del tensor de Einstein es el negativo de la traza deltensor de Ricci. Por lo tanto, otro nombre para el tensor de Einstein es el "tensor de Ricci invertido en traza". Este${\displaystyle n=4}$ caso es especialmente relevante en lateoría de la relatividad general.

El tensor de Einstein permite que lasecuaciones de campo de Einstein se escriban en forma concisa:

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu },}$

donde${\displaystyle \mathrm{\Lambda }}$ es laconstante cosmológica y${\displaystyle \kappa }$ es laconstante gravitacional de Einstein.

Puede verse que el tensor de Einstein depende de manerano lineal del tensor métrico, pero depende linealmente de la segundaderivada parcial de la métrica. Como tensor simétrico de segundo orden, el tensor de Einstein tiene 10 componentes independientes en un espacio-tiempo de 4 dimensiones. Se deduce que las ecuaciones de campo de Einstein son un conjunto de diez ecuaciones diferenciales cuasilineales en derivadas parciales de segundo orden para el tensor métrico.

Lasidentidades de Bianchi contraídas también se pueden expresar fácilmente con la ayuda del tensor de Einstein:

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}_{\mu }{G}^{\mu \nu }=0}$

Las identidades de Bianchi (contraídas) aseguran automáticamente la conservación covariante deltensor energía-impulso en espacios-tiempo curvos:

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0.}$

El significado físico del tensor de Einstein se destaca por esta identidad. En términos del tensor energía-impuslo contraído con unvector de Killing${\displaystyle {\xi }^{\mu }}$, lo cual da lugar a unaley de conservación ordinaria de la forma:

$${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_{\mu }\left(\sqrt{-g}{T}^{\mu }{}_{\nu }{\xi }^{\nu }\right)=0.}$$

David Lovelock ha demostrado que, en unavariedad diferenciable de cuatro dimensiones, el tensor de Einstein es la única funcióntensorial y cuyadivergencia sea nulo, formado a partir del tensor métrico${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ y a lo sumo sus derivadas parciales primera y segunda.^[1]​^[2]​^[3]​^[4]​^[5]​

Sin embargo, laecuación de campo de Einstein no es la única ecuación que satisface las tres condiciones:^[6]​

1. Parecerse pero generalizarEcuación gravitacional de Newton-Poisson
2. Aplicar a todos los sistemas de coordenadas, y
3. Garantizar la conservación covariante local de la energía-momento para cualquier tensor métrico.

Se han propuesto muchas teorías alternativas, como lateoría de Einstein-Cartan, que también satisfacen las condiciones anteriores.

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• Teorema de Vermeil
• Tensor de Ricci
• Ecuaciones de campo de Einstein

• Einstein, Albert (25 de noviembre de 1915).«Las Ecuaciones de Campo de la Gravitación (Die Feldgleichungen der Gravitation)».Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse: 844-847.  (Texto en español)
• Einstein, Albert (1916).«Los Fundamentos de la Teoría General de la Relatividad (Die Grundlage der allgemeinen Relativitatstheorie)».Annalen der Physik: 769-822.  (Texto en español)
• Ohanian, Hans C.; Remo Ruffini (1994).Gravitation and Spacetime (Second edición).W. W. Norton & Company.ISBN 978-0-393-96501-8. 
• Martin, John Legat (1995).General Relativity: A First Course for Physicists. Prentice Hall International Series in Physics and Applied Physics (Revised edición).Prentice Hall.ISBN 978-0-13-291196-2. 

• Relatividad general
• Albert Einstein

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