Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Ir al contenido
WikipediaLa enciclopedia libre
Buscar

Sucesión de Fibonacci

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Enmatemáticas, lasucesión de Fibonacci es:

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597…{\displaystyle 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597\ldots \,}.
La espiral de Fibonacci: una aproximación de laespiral áurea generada dibujando arcos circulares conectando las esquinas opuestas de los cuadrados ajustados a los valores de la sucesión;[1]​ adosando sucesivamente cuadrados de lado 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34.
Gráfica de la sucesión de Fibonacci hastaf7{\displaystyle f_{7}}

La sucesión comienza con dos números naturales (dependiendo de la referencia, con 0 y 1 en ciertos casos, otras inician con 1 y 1) y a partir de estos, «cada término es la suma de los dos anteriores», es larelación de recurrencia que la define.

Esta sucesión fue descrita en Europa porLeonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido comoFibonacci. Tiene numerosas aplicaciones enciencias de la computación,matemática,tendencias bursátiles yteoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, enla disposición de las hojas en el tallo, en las flores dealcachofas ygirasoles, en las inflorescencias del brécolromanesco, en la configuración de laspiñas de las coníferas, en la reproducción de varias especies, en la estructura espiral del caparazón de algunos moluscos, como elnautilus, dinámica de loshuracanes, organización de lasgalaxias,proporciones del cuerpo humano, sus partes y subpartes y en cómo elADN codifica el crecimiento de las formas orgánicas complejas.

Historia

[editar]

La sucesión fue descrita y dada a conocer en occidente porFibonacci ejemplificándolo con la solución a un problema de la cría de conejos, dando inicio a ese simpático mito de que así la descubriera.[2]​

Leonardo Pisano,Leonardo de Pisa, o Leonardo Bigollo, también conocido como Fibonacci, nació en 1170 y murió en 1240. Fue un divulgador y estudioso de la matemática indo-arábiga aprendida en Alejandría, Argelia, Bujía y otras ciudades del mediterráneo sur, exponiendo múltiples aplicaciones prácticas de una matemática desconocida en Occidente, como los numerales árabes (con unsistema de numeración decimal,notación posicional y un dígito de valor nulo: elcero), con énfasis en su uso encontabilidad,física ypedagogía ydisciplina matemática, tanto que la República de Pisa lo honra concediéndole un salario permanente en agradecimiento a sus servicios asesorando en materias de contabilidad a la ciudad y enseñado a los ciudadanos.[cita requerida]

Antes de ser conocida enOccidente, la sucesión de Fibonacci ya estaba descrita en lamatemática en la India, en conexión con laprosodia sánscrita.[3]​[4]​

Susantha Goonatilake sugiere que el desarrollo de la secuencia de Fibonacci «es atribuido en parte aPingala (año 200), posteriormente asociado conVirahanka (hacia el año 700), Gopāla (hacia 1135) yHemachandra (hacia 1150)».[5]​ Parmanand Singh cita a Pingala (hacia 450) como precursor en el descubrimiento de la secuencia.[6]​

Aplicación de las secuencias de Fibonacci aplicadas al ejemplo de los conejos:

Número de mesExplicación de la genealogíaParejas de conejos
Comienzo del mes 1Nace una pareja de conejos (pareja A).1 pareja en total.
Fin del mes 1La pareja A tiene un mes de edad. Se cruza la pareja A.1+0=1 pareja en total.
Fin del mes 2La pareja A da a luz a la pareja B. Se vuelve a cruzar la pareja A.1+1=2 parejas en total.
Fin del mes 3La pareja A da a luz a la pareja C. La pareja B cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A y B.2+1=3 parejas en total.
Fin del mes 4Las parejas A y B dan a luz a D y E. La pareja C cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A, B y C.3+2=5 parejas en total.
Fin del mes 5A, B y C dan a luz a F, G y H. D y E cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D y E.5+3=8 parejas en total.
Fin del mes 6A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L y M. F, G y H cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D, E, F, G y H.8+5=13 parejas en total.
.........
.........

Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas totales que hay hasta ese mes.

Página delLiber Abaci de Fibonacci de laBiblioteca Nacional Central de Florencia mostrando (en un recuadro a la derecha) la sucesión de Fibonacci con las posiciones de la secuencia etiquetadas en números romanos y en latín; y el valor de los números en cifras arábigas.

De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libroLiber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas porÉdouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.[7]​

TambiénKepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocésRobert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivosfn+1/fn{\displaystyle f_{n+1}/f_{n}} se acerca a la relaciónáureafi (ϕ{\displaystyle \phi }) cuandon{\displaystyle n} tiende ainfinito. Esta sucesión tuvo popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre comoBéla Bartók,Olivier Messiaen, la bandaTool yDelia Derbyshire la utilizaron para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.

Definición recurrente

[editar]

Los números de Fibonacci quedan definidos por las ecuaciones

(1)f0=0{\displaystyle f_{0}=0\,}

(2)f1=1{\displaystyle f_{1}=1\,}

(3)fn=fn−1+fn−2{\displaystyle f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}\,}

Con n>=2.

Esto produce los siguientes números:

y así sucesivamente.

Si bien, en algunas publicaciones se omite en la presentación el términof0{\displaystyle f_{0}}, y en otras se inicia conf1=0,f2=1{\displaystyle f_{1}=0,f_{2}=1}, la definición usual inicia conf0=0,f1=1{\displaystyle f_{0}=0,f_{1}=1} con lo cual los valoresf1=1,f2=1{\displaystyle f_{1}=1,f_{2}=1} coinciden con los valores de la cantidad de conejos en los primeros dos meses, en el problema correspondiente delLiber Abaci.

Función generadora

[editar]

Unafunción generadora ordinaria para una sucesión cualquieraa0,a1,a2,…{\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots } es laserie formal de potenciasf(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+⋯{\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+\cdots }, donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora

(4)f(x)=x1−x−x2{\displaystyle f\left(x\right)={\frac {x}{1-x-x^{2}}}}

Cuando esta función se expande en potencias dex{\displaystyle x\,}, los coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:

x1−x−x2=0x0+1x1+1x2+2x3+3x4+5x5+8x6+13x7+⋯{\displaystyle {\frac {x}{1-x-x^{2}}}=0x^{0}+1x^{1}+1x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+5x^{5}+8x^{6}+13x^{7}+\cdots }

Fórmula explícita

[editar]

La definición de la sucesión de Fibonacci esrecurrente; es decir: se necesitan calcular todos los términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen la relación de recurrencia

fn+2−fn+1−fn=0{\displaystyle f_{n+2}-f_{n+1}-f_{n}=0\,}

con las condiciones iniciales

f0=0{\displaystyle f_{0}=0\,} yf1=1{\displaystyle f_{1}=1\,}

Elpolinomio característico de esta relación de recurrencia est2−t−1=0{\displaystyle t^{2}-t-1=0}, y sus raíces son

t=1±52{\displaystyle t={\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}}

De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tendrá la forma

fn=b(1+52)n+d(1−52)n{\displaystyle f_{n}=b\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+d\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}.

Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantesb{\displaystyle b} yd{\displaystyle d} satisfacen la ecuación anterior cuandon=0{\displaystyle n=0} yn=1{\displaystyle n=1}, es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones

b+d=0b(1+52)+d(1−52)=1}{\displaystyle \left.{\begin{array}{rcl}b+d&=&0\\b\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)+d\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)&=&1\end{array}}\right\}}

Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene

b=15,d=−15{\displaystyle b={\frac {1}{\sqrt {5}}},d=-{\frac {1}{\sqrt {5}}}}

Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser expresado como

(5)fn=15(1+52)n−15(1−52)n{\displaystyle f_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}

Para simplificar aún más es necesario considerar elnúmero áureo

φ=1+52{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}

de manera que la ecuación (5) se reduce a

(6)fn=φn−(−φ−1)n5{\displaystyle f_{n}={\frac {\varphi ^{n}-\left(-\varphi ^{-1}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}}

Esta fórmula, conocida como fórmula deBinet se le atribuye al matemático francésÉdouard Lucas, y es fácilmente demostrable porinducción matemática. A pesar de que la sucesión de Fibonacci consta únicamente de números naturales, su fórmula explícita incluye alnúmero irracionalφ{\displaystyle \varphi \,}. De hecho, la relación con este número es estrecha.

Observando los valores que adoptan los dos sumandos de la fórmula (5), se comprueba que el segundo sumando siempre tiene un valor absoluto menor que1{\displaystyle 1}, y va cambiando de signo sucesivamente, compensando la parte no entera, irracional, que tiene el primer sumando, para que la suma de dos números irracionales dé un número natural.

Teniendo en cuenta entonces que ese segundo sumando de la fórmula (5) es siempre un número de valor absoluto menor que0.5{\displaystyle 0.5}, (el máximo valor absoluto es paran=0{\displaystyle n=0}, aproximadamente0.4472{\displaystyle 0.4472}), la fórmula puede escribirse, eliminando este segundo sumando, así:

(7)fn=int⁡(15(1+52)n+12){\displaystyle f_{n}=\operatorname {int} \left({\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+{\frac {1}{2}}\right)}

o lo que es lo mismo, empleando el número áureoφ{\displaystyle \varphi } :

(8)fn=int⁡(φn5+12){\displaystyle f_{n}=\operatorname {int} \left({\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2}}\right)}

Forma matricial

[editar]

Otra manera de obtener la sucesión de Fibonacci es considerando elsistema lineal de ecuaciones

fn=fnfn−1+fn=fn+1}{\displaystyle \left.{\begin{array}{rcl}f_{n}&=&f_{n}\\f_{n-1}+f_{n}&=&f_{n+1}\end{array}}\right\}}

Este sistema se puede representar mediante su notación matricial como

[0111][fn−1fn]=[fnfn+1]{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f_{n-1}\\f_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}f_{n}\\f_{n+1}\end{bmatrix}}}

Conociendo af0=0{\displaystyle f_{0}=0} yf1=1{\displaystyle f_{1}=1}, al aplicar la fórmula anteriorn{\displaystyle n} veces se obtiene

(9)[0111]n[01]=[fnfn+1]{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}}^{n}{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}f_{n}\\f_{n+1}\end{bmatrix}}}

Los autovalores de la matriz[0111]{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}}}, son precisamenteφ=1+52{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} yψ=1−52{\displaystyle \psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}, (el número áureoφ{\displaystyle \varphi }; y el negativo de su inverso o conjugadoψ=−1φ=1−φ{\displaystyle \psi ={\frac {-1}{\varphi }}=1-\varphi }); y sus autovectores(ψ,−1){\displaystyle (\psi ,-1)} y(φ,−1){\displaystyle (\varphi ,-1)}.

Aplicando técnicas dedescomposición espectral de la matriz, utilizando sus autovalores, y la base de sus autovectores, o diagonalizando la matriz, se puede substituir o simplificar la operación de potenciación de la matriz, y obtener, por otros dos métodos, la fórmula explícita (5) que proporciona el término general de la sucesión.

También se verifica

(10)[0111]n=[fn−1fnfnfn+1]{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}f_{n-1}&f_{n}\\f_{n}&f_{n+1}\end{bmatrix}}}

Esta igualdad puede probarse mediante inducción matemática.

Propiedades de la sucesión

[editar]
Al construir bloques cuya longitud de lado sean números de Fibonacci se obtiene un dibujo que se asemeja alrectángulo áureo (véaseNúmero áureo).

Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el número de cadenas de bits de longitudn{\displaystyle n} que no tienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe una publicación especializada llamadaFibonacci Quarterly[8]​ dedicada al estudio de la sucesión de Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a la amplitud con la que los números de Fibonacci aparecen en matemática y sus aplicaciones en otras áreas. Algunas de las propiedades de esta sucesión son las siguientes:

  • La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anterior varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo. Es decir:

limn→∞fn+1fn=φ{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f_{n+1}}{f_{n}}}=\varphi }

Los cocientes son oscilantes; es decir, que un cociente es menor al límite y el siguiente es mayor. Los cocientes pueden ordenarse en dos sucesiones que se aproximanasintóticamente por exceso y por defecto al valor límite.
fn=αn−βnα−β{\displaystyle f_{n}={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\alpha -\beta }}} yfn≈αn5{\displaystyle f_{n}\approx {\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {5}}}\,}
  • Cada número de Fibonacci es el promedio del término que se encuentra dos posiciones antes y el término que se encuentra una posición después. Es decir
fn=fn−2+fn+12{\displaystyle f_{n}={\frac {f_{n-2}+f_{n+1}}{2}}}
  • Lo anterior también puede expresarse así: calcular el siguiente número a uno dado es 2 veces este número menos el número 2 posiciones más atrás.
fn+1=fn∗2−fn−2{\displaystyle f_{n+1}=f_{n}*2-f_{n-2}}
f0+f1+f2+⋯+fn=fn+2−1{\displaystyle f_{0}+f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n}=f_{n+2}-1}
  • Otras identidades interesantes incluyen las siguientes:
f0−f1+f2−⋯+(−1)nfn=(−1)nfn−1−1{\displaystyle f_{0}-f_{1}+f_{2}-\cdots +(-1)^{n}f_{n}=(-1)^{n}f_{n-1}-1}


f1+f3+f5+⋯+f2n−1=f2n{\displaystyle f_{1}+f_{3}+f_{5}+\cdots +f_{2n-1}=f_{2n}}


f0+f2+f4+⋯+f2n=f2n+1−1{\displaystyle f_{0}+f_{2}+f_{4}+\cdots +f_{2n}=f_{2n+1}-1}


f02+f12+f22+⋯+fn2=fnfn+1{\displaystyle f_{0}^{2}+f_{1}^{2}+f_{2}^{2}+\cdots +f_{n}^{2}=f_{n}f_{n+1}}


f1f2+f2f3+f3f4+⋯+f2n−1f2n=f2n2{\displaystyle f_{1}f_{2}+f_{2}f_{3}+f_{3}f_{4}+\cdots +f_{2n-1}f_{2n}=f_{2n}^{2}}


f1f2+f2f3+f3f4+⋯+f2nf2n+1=f2n+12−1{\displaystyle f_{1}f_{2}+f_{2}f_{3}+f_{3}f_{4}+\cdots +f_{2n}f_{2n+1}=f_{2n+1}^{2}-1}


Sik≥1{\displaystyle k\geq 1}, entoncesfn+k=fkfn+1+fk−1fn{\displaystyle f_{n+k}=f_{k}f_{n+1}+f_{k-1}f_{n}\,} para cualquiern≥0{\displaystyle n\geq 0}


fn+1fn−1−fn2=(−1)n{\displaystyle f_{n+1}f_{n-1}-f_{n}^{2}=(-1)^{n}} (Identidad deCassini)


fn+12+fn2=f2n+1{\displaystyle f_{n+1}^{2}+f_{n}^{2}=f_{2n+1}}


fn+22−fn+12=fnfn+3{\displaystyle f_{n+2}^{2}-f_{n+1}^{2}=f_{n}f_{n+3}}
Phi forma parte de una expresión de la sucesión de Fibonacci.


fn+22−fn2=f2n+2{\displaystyle f_{n+2}^{2}-f_{n}^{2}=f_{2n+2}}


fn+23+fn+13−fn3=f3n+3{\displaystyle f_{n+2}^{3}+f_{n+1}^{3}-f_{n}^{3}=f_{3n+3}}


fn=φn+1−(fn+1)φ{\displaystyle f_{n}=\varphi ^{n+1}-(f_{n+1})\varphi } (con φ = número áureo) o, despejando f(n+1) y aplicando 1/φ = φ-1:


fn+1=φn+(1−φ)fn{\displaystyle f_{n+1}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )f_{n}}


mcd(fn,fm)=fmcd(n,m){\displaystyle \mathrm {mcd} \left(f_{n},f_{m}\right)=f_{\mathrm {mcd} \left(n,m\right)}}
Esto significa quefn{\displaystyle f_{n}\,} yfn+1{\displaystyle f_{n+1}\,} sonprimos relativos y quefk{\displaystyle f_{k}\,}divide exactamente afnk{\displaystyle f_{nk}\,}
Los números de Fibonacci son la suma de las diagonales (marcadas en rojo) deltriángulo de Pascal.
fn+1=∑j=0⌊n2⌋(n−jj){\displaystyle f_{n+1}=\sum _{j=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\begin{pmatrix}n-j\\j\end{pmatrix}}}
y más aún
f3n=∑j=0n(nj)2jfj{\displaystyle f_{3n}=\sum _{j=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\j\end{pmatrix}}2^{j}f_{j}}

Generalización

[editar]
Gráfica de la sucesión de Fibonacci extendida al campo de los números reales.

El concepto fundamental de la sucesión de Fibonacci es que cada elemento es la suma de los dos anteriores. En este sentido la sucesión puede expandirse al conjunto de losnúmeros enteros como…,−8,5,−3,2,−1,1,0,1,1,2,3,5,8,…{\displaystyle \ldots ,-8,5,-3,2,-1,1,0,1,1,2,3,5,8,\ldots } de manera que la suma de cualesquiera dos números consecutivos es el inmediato siguiente. Para poder definir los índices negativos de la sucesión, se despejafn−2{\displaystyle f_{n-2}\,} de la ecuación (3) de donde se obtiene

fn−2=fn−fn−1{\displaystyle f_{n-2}=f_{n}-f_{n-1}\,}

De esta manera,f−n=fn{\displaystyle f_{-n}=f_{n}\,} sin{\displaystyle n} es impar yf−n=−fn{\displaystyle f_{-n}=-f_{n}\,} sin{\displaystyle n} es par.[10]​

La sucesión se puede expandir al campo de losnúmeros reales tomando la parte real de la fórmula explícita (ecuación (6)) cuandon{\displaystyle n} es cualquier número real. La función resultante

f(x)=φx−cos⁡(πx)φ−x5{\displaystyle f(x)={\frac {\varphi ^{x}-\cos(\pi x)\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}

tiene las mismas características que la sucesión de Fibonacci:

Unasucesión de Fibonacci generalizada es una sucesióng0,g1,g2,…{\displaystyle g_{0},g_{1},g_{2},\ldots } donde

(11)gn=gn−1+gn−2{\displaystyle g_{n}=g_{n-1}+g_{n-2}\,} paran=2,3,4,5,…{\displaystyle n=2,3,4,5,\ldots }

Es decir, cada elemento de una sucesión de Fibonacci generalizada es la suma de los dos anteriores, pero no necesariamente comienza en 0 y 1.

Una sucesión de fibonacci generalizada muy importante, es la formada por las potencias del número áureo.

φn=φn−1+φn−2{\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}}.

La importancia de esta sucesión reside en el hecho de que se puede expandir directamente al conjunto de los números reales.

φx=φx−1+φx−2{\displaystyle \varphi ^{x}=\varphi ^{x-1}+\varphi ^{x-2}}.

...y al de los complejos.

φz=φz−1+φz−2{\displaystyle \varphi ^{z}=\varphi ^{z-1}+\varphi ^{z-2}}.

Una característica notable es que, sig0,g1,g2,…{\displaystyle g_{0},g_{1},g_{2},\ldots } es una sucesión de Fibonacci generalizada, entonces

gn=fn−1g0+fng1 {\displaystyle g_{n}=f_{n-1}g_{0}+f_{n}g_{1}~}

Por ejemplo, la ecuación (11) puede generalizarse a

[0111]n[g0g1]=[gngn+1]{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}}^{n}{\begin{bmatrix}g_{0}\\g_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{n}\\g_{n+1}\end{bmatrix}}}

Esto significa que cualquier cálculo sobre una sucesión de Fibonacci generalizada se puede efectuar usando números de Fibonacci.

Sucesión de Lucas

[editar]
Gráfica de la sucesión de Lucas extendida al campo de los números reales.

Un ejemplo de sucesión de Fibonacci generalizada es lasucesión de Lucas, descrita por las ecuaciones

La sucesión de Lucas tiene una gran similitud con la sucesión de Fibonacci y comparte muchas de sus características. Algunas propiedades interesantes incluyen:

  • La proporción entre un número de Lucas y su sucesor inmediato se aproxima al número áureo. Es decir
limn→∞ln+1ln=φ{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {l_{n+1}}{l_{n}}}=\varphi }
  • La fórmula explícita para la sucesión de Lucas es
ln=φn+(−φ)−n{\displaystyle l_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}}
l0+l1+l2+⋯+ln=ln+2−1{\displaystyle l_{0}+l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{n}=l_{n+2}-1}
  • Cualquier fórmula que contenga un número de Lucas puede expresarse en términos de números de Fibonacci mediante la igualdad
ln=fn−1+fn+1 {\displaystyle l_{n}=f_{n-1}+f_{n+1}~}
  • Cualquier fórmula que contenga un número de Fibonacci puede expresarse en términos de números de Lucas mediante la igualdad
fn=ln−1+ln+15{\displaystyle f_{n}={\frac {l_{n-1}+l_{n+1}}{5}}}

Algoritmos de cálculo

[editar]
Cálculo def7{\displaystyle f_{7}} usando el algoritmo1. El árbol descendente de sumas, se detiene en las distintas ramas cuando se alcanzafib1{\displaystyle \mathrm {fib} _{1}}. El resultado es precisamente el número de veces que aparecefib1{\displaystyle \mathrm {fib} _{1}} en el árbol (13 veces en este caso, valor def7{\displaystyle f_{7}}).

Para calcular eln{\displaystyle n}-ésimo elemento de la sucesión de Fibonacci existen variosalgoritmos (métodos). Su definición misma puede emplearse como uno de estos algoritmos, aquí expresado enpseudocódigo:

Algoritmo1 Versión recursiva descendente (ComplejidadO(φn){\displaystyle O(\varphi ^{n})\,})

funciónfib(n){\displaystyle {\rm {fib}}(n)\,}

sin<2{\displaystyle n<2\,}entonces
devuelven{\displaystyle n\,}
en otro caso
devuelvefib(n−1)+fib(n−2){\displaystyle {\rm {fib}}(n-1)+{\rm {fib}}(n-2)\,}

Usando técnicas deanálisis de algoritmos es posible demostrar que, a pesar de su simplicidad, el algoritmo1 requiere efectuarfn+1−1{\displaystyle f_{n+1}-1} sumas para poder encontrar el resultado. Dado que la sucesiónfn{\displaystyle f_{n}}crece tan rápido comoφn{\displaystyle \varphi ^{n}}, entonces el algoritmo está en el orden deφn{\displaystyle \varphi ^{n}}. Es decir, que este algoritmo es muy lento. Por ejemplo, para calcularf50{\displaystyle f_{50}} este algoritmo requiere efectuar 20.365.011.073 sumas.

Para evitar hacer tantas operaciones, es común recurrir a una calculadora y utilizar la ecuación (6) del matemáticoÉdouard Lucas. Sin embargo, dado queφ{\displaystyle \varphi } es unnúmero irracional, la única manera de utilizar esta fórmula es empleando una aproximación deφ{\displaystyle \varphi }, obteniendo en consecuencia un resultado aproximado pero no exacto. Por ejemplo, si se usa una calculadora de 10 dígitos, entonces la fórmula anterior arroja como resultadof50=1.258626903×1010{\displaystyle f_{50}=1.258626903\times 10^{10}} aun cuando el resultado correcto esf50=12586269025{\displaystyle f_{50}=12586269025}. Este error se hace cada vez más grande conforme crecen{\displaystyle n}. De igual forma se puede crear una función utilizando la fórmula, muy eficiente,O(log2⁡(n)){\displaystyle O(\log _{2}(n))}, aunque hay que tener en cuenta algunas consideraciones, cada lenguaje de programación tiene una forma específica de ejecución de las funciones matemáticas, y es probable que se necesite redondear el número obtenido de la ecuación, y en ciertos casos, si el número es muy grande, puede ser impreciso.

Algoritmo2 Versión con fórmula explícita (6) (ComplejidadO(log2⁡(n)){\displaystyle O(\log _{2}(n))\,})

funciónfib(n){\displaystyle {\rm {fib}}(n)\,}

sin<2{\displaystyle n<2\,}entonces
devuelven{\displaystyle n\,}
en otro caso
φ←((1+5)÷2){\displaystyle \varphi \gets {\rm {(({1+{\sqrt {5}}})\div {2})}}}
j←((φn−(1−φ)n)÷(5)){\displaystyle j\gets {\rm {((\varphi ^{n}-\left(1-\varphi \right)^{n}}})\div ({\sqrt {5}}))}
devuelvej{\displaystyle j\,}

Otro método más práctico a la recursión, que evita calcular las mismas sumas más de una vez, es la iteración. Considerando un par(a,b){\displaystyle (a,b)\,} de números consecutivos de la sucesión de Fibonacci, el siguiente par de la sucesión es(b,b+a){\displaystyle (b,b+a)\,}, de esta manera se divisa un algoritmo donde solo se requiere considerar dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci en cada paso. Este método es el que se usaría normalmente para hacer el cálculo con lápiz y papel. El algoritmo se expresa en pseudocódigo como:

Estas versiones requieren efectuar solon{\displaystyle n} sumas para calcularfn{\displaystyle f_{n}}, lo cual significa que los métodos iterativos son considerablemente más rápidos que el algoritmo1. Por ejemplo, en el algoritmo3 solo se requiere efectuar 50 sumas para calcularf50{\displaystyle f_{50}}.

Calculandof100{\displaystyle f_{100}} usando el algoritmo3.

Un algoritmo todavía más rápido se deduce partiendo de la ecuación (10). Utilizando leyes de exponentes es posible calcularxn{\displaystyle x^{n}} como

xn={xsi n=1(xn2)2si n es parx×xn−1si n es impar{\displaystyle x^{n}={\begin{cases}x&{\mbox{si }}n=1\\\left(x^{\frac {n}{2}}\right)^{2}&{\mbox{si }}n{\mbox{ es par}}\\x\times x^{n-1}&{\mbox{si }}n{\mbox{ es impar}}\end{cases}}}

De esta manera se divisa el algoritmo de tipoDivide y Vencerás donde solo se requeriría hacer, aproximadamente,log2⁡(n){\displaystyle \log _{2}(n)}multiplicaciones matriciales. Sin embargo, no es necesario almacenar los cuatro valores de cada matriz dado que cada una tiene la forma

[abba+b]{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\b&a+b\end{bmatrix}}}

De esta manera, cada matriz queda completamente representada por los valoresa{\displaystyle a} yb{\displaystyle b}, y su cuadrado se puede calcular como

[abba+b]2=[a2+b2b(2a+b)b(2a+b)(a+b)2+b2]{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\b&a+b\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}a^{2}+b^{2}&b(2a+b)\\b(2a+b)&(a+b)^{2}+b^{2}\end{bmatrix}}}

Por lo tanto el algoritmo queda como sigue:

Algoritmo6 Versión Divide y Vencerás (ComplejidadO(log2⁡(n)){\displaystyle O(\log _{2}(n))\,})

funciónfib(n){\displaystyle {\rm {fib}}(n)\,}

sin≤0{\displaystyle n\leq 0}entonces
devuelve0{\displaystyle 0\,}
i←n−1{\displaystyle i\gets n-1}
auxOne←0{\displaystyle {\rm {auxOne}}\gets 0}
auxTwo←1{\displaystyle {\rm {auxTwo}}\gets 1}
(a,b)←(auxTwo,auxOne){\displaystyle (a,b)\gets {\rm {(auxTwo,auxOne)}}}
(c,d)←(auxOne,auxTwo){\displaystyle (c,d)\gets {\rm {(auxOne,auxTwo)}}}
mientrasi>0{\displaystyle i>0\,}hacer
sii{\displaystyle i\,} es imparentonces
auxOne←(db+ca){\displaystyle {\rm {auxOne}}\gets (db+ca)}
auxTwo←(d(b+a)+cb)){\displaystyle {\rm {auxTwo}}\gets (d(b+a)+cb))}
(a,b)←(auxOne,auxTwo){\displaystyle (a,b)\gets {\rm {(auxOne,auxTwo)}}}
auxOne←(c2+d2){\displaystyle {\rm {auxOne}}\gets (c^{2}+d^{2})}
auxTwo←(d(2c+d)){\displaystyle {\rm {auxTwo}}\gets (d(2c+d))}
(c,d)←(auxOne,auxTwo){\displaystyle (c,d)\gets {\rm {(auxOne,auxTwo)}}}
i←i÷2{\displaystyle i\gets i\div 2}
devuelvea+b{\displaystyle a+b\,}

A pesar de lo engorroso que parezca, este algoritmo permite reducir enormemente el número de operaciones que se necesitan para calcular números de Fibonacci muy grandes. Por ejemplo, para calcularf100{\displaystyle f_{100}}, en vez de hacer las 573.147.844.013.817.084.100 sumas del algoritmo1 o las 100 sumas con el algoritmo3, el cálculo se reduce a tan solo 9 multiplicaciones matriciales.

La sucesión de Fibonacci en la naturaleza

[editar]
Botón deCamomila amarilla mostrando la ordenación en espirales de módulos 21 (color azul) y 13 (color cian). Este tipo de arrollamientos utilizando números consecutivos de Fibonacci aparecen en una gran variedad de plantas.
Espiral de Fibonacci en la sección de la concha de unnautilus.

La secuencia de Fibonacci se encuentra en múltiples configuraciones biológicas,[11]​ donde aparecen números consecutivos de la sucesión, como en la distribución de las ramas de los árboles,la distribución de las hojas en un tallo, los frutos de lapiña tropical,[12]​ las flores de laalcachofa, en laspiñas de las coníferas,[13]​ o en el "árbol genealógico" de las abejas melíferas.[14]​ Sin embargo, también se han hecho muchas invocaciones infundadas a la aparición de los números de Fibonacci aprovechando su relación con elnúmero áureo en la literatura popular.[15]​

Przemysław Prusinkiewicz avanzó la idea de considerar la sucesión de Fibonacci en la naturaleza como ungrupo libre.[16]​

Ilustración del modelo de Vogel paran=1 ... 500

Un modelo del patrón de distribución de las semillas delgirasol fue propuesto por H. Vogel en 1979.[17]​ Presenta la forma

θ=2πϕ2n, r=cn{\displaystyle \theta ={\frac {2\pi }{\phi ^{2}}}n,\ r=c{\sqrt {n}}}

donden es el índice de la flor yc es un factor de escala; entonces las semillas se alinean segúnespirales de Fermat. El ángulo de divergencia, de aproximadamente 137.51°, está relacionado con elnúmero áureo. Debido a que el coeficiente es un número irracional, ninguna semilla tiene ninguna vecina al mismo ángulo respecto al centro, por lo que se compactan eficientemente. Debido a que las aproximaciones racionales al número aúreo son de la formaF(j):F(j + 1), los vecinos más próximos al número de semillasn están todos enn ± F(j) para cada índicej, que depende der, la distancia al centro. Suele afirmarse que los girasoles y flores similares tienen 55 espirales en una dirección y 89 en la otra (o alguna otra pareja de números adyacentes de la sucesión de Fibonacci), pero esto solo es cierto en ciertos rangos de radio, generalmente raros (y por ello más notables).[18]​

El árbol genealógico de las abejas

[editar]

Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que un zángano (1), el macho de la abeja, no tiene madre, pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.

Recientemente, un análisis histórico-matemático acerca del contexto de Leonardo de Pisa y la proximidad de la ciudad deBejaia, una importante exportadora de cera en los tiempos de Leonardo (de la cual proviene el nombre en francés de esta ciudad,Bougie, que significa «vela»), ha sugerido que fueron los criadores de abejas de Bejaia y el conocimiento de la ascendencia de las abejas lo que inspiró los números de Fibonacci más que el modelo de reproducción de conejos.[19]​

Fibonaccis Traum,Martina Schettina 2008, 40 x 40 cm.

Divisibilidad

[editar]
  • Seann y m enteros positivos. Si el númeron es divisible porm entonces el término n-ésimo de Fibonacci es divisible por el término m-ésimo de la misma sucesión. En efecto 4 divide a 12, por tanto el término de orden cuatro, el 3 divide a 144, término de orden 12 en la citada sucesión.[20]​
  • Cualquiera que sea el enterom, entre losm2−1{\displaystyle m^{2}-1} primeros números de Fibonacci habrá al menos uno divisiblepor m. A modo de ejemplo para m = 4, entre los primeros quince números están 8 y 144, números de Fibonacci, divisibles por 4.[21]​
  • Sik es un número compuesto diferente de 4, entonces el número k-ésimo de Fibonacci es compuesto.[22]​ Para el caso 10, compuesto distinto de 4, el décimo número de Fibonacci 55, es compuesto.
  • Los números consecutivos de Fibonacci soncoprimos entre sí.

La sucesión de Fibonacci en la cultura popular

[editar]
  • Es mencionada en obraRama II (novela), de Arthur C. Clarke, cuando el personaje Michael O'toole la describe como una referencia para memorizar una larga clave secreta, principalmente por su facilidad de ser extrapolada.
  • En el popular anime/mangaJojo's Bizarre Adventure, específicamente enSteel Ball Run, una de las facetas de los protagonistas para que sus poderes se potencien tiene que ver con esto (la sucesión de Fibonacci) y es mencionado como el "Rectángulo dorado" aunque posiblemente no tenga nada que ver con este. Hoy en día la sucesión también es utilizada por quienes estudian trading.[23]​


Véase también

[editar]

Referencias

[editar]
  1. ↑John Hudson Tiner (2004).Exploring the World of Mathematics: From Ancient Record Keeping to the Latest Advances in Computers. Master Books división de New Leaf Publishing Group.ISBN 9781614581550. 
  2. ↑«Fibonacci, el matemático que se puso a contar conejos y descubrió la secuencia divina».BBC News Mundo. Consultado el 23 de noviembre de 2021. 
  3. ↑Singh, Parmanand (1985), «The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India»,Historia Mathematica12 (3): 229-44,ISSN 0315-0860,doi:10.1016/0315-0860(85)90021-7 .
  4. ↑Knuth, Donald (1968),The Art of Computer Programming1, Addison Wesley,ISBN 81-7758-754-4, «Antes de que Fibonacci escribiera su tratado, la secuencia Fn era estudiada en las escuelas de la India, interesados desde hacía mucho color en patrones rítmicos... tantoGopala (hacia el año 1135) comoHemachandra (hacia 1150) mencionan los números 1,2,3,5,8,13,21 explícitamente [ver P. Singh Historia Math 12 (1985) 229–44]" p. 100 (3d ed)...» .
  5. ↑Goonatilake, Susantha (1998),Toward a Global Science, Indiana University Press, p. 126,ISBN 978-0-253-33388-9 .
  6. ↑Agrawala, VS (1969),Pāṇinikālīna Bhāratavarṣa (Hn.). Varanasi-I: TheChowkhamba Vidyabhawan, «SadgurushiShya writes that Pingala was a younger brother of Pāṇini [Agrawala 1969, lb]. There is an alternative opinion that he was a maternal uncle of Pāṇini [Vinayasagar 1965, Preface, 121. ... Agrawala [1969, 463–76], after a careful investigation, in which he considered the views of earlier scholars, has concluded that Pāṇini lived between 480 and 410 BC» .
  7. ↑Handbook of discrete and combinatorial mathematics, sección 3.1.2
  8. ↑Fibonacci Quarterly
  9. ↑ForoRinconMatematico
  10. ↑Triana, Juan.Negafibonacci numbers via matrices. Bulletin of TICMI, 2019, págs. 19-24.
  11. ↑Douady, S; Couder, Y (1996),«Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process»(PDF),Journal of Theoretical Biology178 (178): 255-74,doi:10.1006/jtbi.1996.0026, archivado desdeel original el 26 de mayo de 2006, consultado el 27 de agosto de 2015 .
  12. ↑Jones, Judy; Wilson, William (2006), «Science»,An Incomplete Education, Ballantine Books, p. 544,ISBN 978-0-7394-7582-9 .
  13. ↑Brousseau, A (1969), «Fibonacci Statistics in Conifers»,Fibonacci Quarterly (7): 525-32 .
  14. ↑«Marks for the da Vinci Code: B–».Maths. Computer Science For Fun: CS4FN. 
  15. ↑Simanek, D.«Fibonacci Flim-Flam». LHUP. Archivado desdeel original el 1 de febrero de 2010. 
  16. ↑Prusinkiewicz, Przemyslaw; Hanan, James (1989),Lindenmayer Systems, Fractals, and Plants (Lecture Notes in Biomathematics),Springer-Verlag,ISBN 0-387-97092-4 .
  17. ↑Vogel, H (1979), «A better way to construct the sunflower head»,Mathematical Biosciences44 (44): 179-89,doi:10.1016/0025-5564(79)90080-4 .
  18. ↑Prusinkiewicz, Przemyslaw;Lindenmayer, Aristid (1990),The Algorithmic Beauty of Plants, Springer-Verlag, pp. 101–7,ISBN 978-0-387-97297-8 .
  19. ↑(en inglés)T.C.Scott; P. Marketos (2014).«On the Origin of the Fibonacci Sequence».MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews. La referencia utiliza el parámetro obsoleto|coautores= (ayuda)
  20. ↑Vorobiov: Números de Fibonacci, Editorial Mir, Moscú. Esta sección exige que la sucesión empiece con 1 y con 0 (1974)
  21. ↑Vorobiov: Ibídem
  22. ↑Vorobiov: Op. cit
  23. ↑Fabiani, Alessandro (7 de noviembre de 2024).«Perché Fibonacci è così conosciuto e utilizzato da chi fa Trading?».Trading.it(en it-IT). Consultado el 1 de diciembre de 2024. 

Bibliografía

[editar]
  • Kolman, Bernard; Hill, David R. (2006).Álgebra Lineal. México: PEARSON EDUCACIÓN.ISBN 970-26-0696-9. 
  • Johnsonbaugh, Richard (2005).Matemáticas Discretas. México: PEARSON EDUCACIÓN.ISBN 970-26-0637-3. 
  • Daini, Fabio; Andión, Ricardo (2003).Fibonacci, La Serie Infinita. Madrid: PRETINCE HALL.ISBN 84-89660-00-X. 
  • Brassard, G; Bratley, P. (1997).Fundamentos de Algoritmia. Madrid: PRETINCE HALL.ISBN 84-89660-00-X. 
  • Kenneth, H. Rosen (2003).Discrete mathematics and its applications. McGraw Hill.ISBN 0-07-123374-1. 
  • Kenneth H. Rosen; John G. Michaels (1999).Handbook of discrete and combinatorial mathematics. CRC.ISBN 0-8493-0149-1. 
  • N. N. Vorobiov (1974).Números de Fibonacci. Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega, catedrático de Matemática Superior y candidato a doctor en ciencias físico-matemática. 
  • A. I. Markushevich (1974; 1981).Sucesiones recurrentes. Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega. 
  • Luca Pacioli (1946).La Divina Proporción. Editorial Losada, Buenos Aires. 
  • Hrant Arakelian (2014).Mathematics and History of the Golden Section. Logos, 404 p.ISBN 978-5-98704-663-0, (rus.)

Enlaces externos

[editar]
Control de autoridades
Obtenido de «https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sucesión_de_Fibonacci&oldid=168125492»
Categorías:
Categorías ocultas:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp