La espiral de Fibonacci: una aproximación de laespiral áurea generada dibujando arcos circulares conectando las esquinas opuestas de los cuadrados ajustados a los valores de la sucesión;[1] adosando sucesivamente cuadrados de lado 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34.Gráfica de la sucesión de Fibonacci hasta
La sucesión comienza con dos números naturales (dependiendo de la referencia, con 0 y 1 en ciertos casos, otras inician con 1 y 1) y a partir de estos, «cada término es la suma de los dos anteriores», es larelación de recurrencia que la define.
La sucesión fue descrita y dada a conocer en occidente porFibonacci ejemplificándolo con la solución a un problema de la cría de conejos, dando inicio a ese simpático mito de que así la descubriera.[2]
Leonardo Pisano,Leonardo de Pisa, o Leonardo Bigollo, también conocido como Fibonacci, nació en 1170 y murió en 1240. Fue un divulgador y estudioso de la matemática indo-arábiga aprendida en Alejandría, Argelia, Bujía y otras ciudades del mediterráneo sur, exponiendo múltiples aplicaciones prácticas de una matemática desconocida en Occidente, como los numerales árabes (con unsistema de numeración decimal,notación posicional y un dígito de valor nulo: elcero), con énfasis en su uso encontabilidad,física ypedagogía ydisciplina matemática, tanto que la República de Pisa lo honra concediéndole un salario permanente en agradecimiento a sus servicios asesorando en materias de contabilidad a la ciudad y enseñado a los ciudadanos.[cita requerida]
Susantha Goonatilake sugiere que el desarrollo de la secuencia de Fibonacci «es atribuido en parte aPingala (año 200), posteriormente asociado conVirahanka (hacia el año 700), Gopāla (hacia 1135) yHemachandra (hacia 1150)».[5] Parmanand Singh cita a Pingala (hacia 450) como precursor en el descubrimiento de la secuencia.[6]
Aplicación de las secuencias de Fibonacci aplicadas al ejemplo de los conejos:
Número de mes
Explicación de la genealogía
Parejas de conejos
Comienzo del mes 1
Nace una pareja de conejos (pareja A).
1 pareja en total.
Fin del mes 1
La pareja A tiene un mes de edad. Se cruza la pareja A.
1+0=1 pareja en total.
Fin del mes 2
La pareja A da a luz a la pareja B. Se vuelve a cruzar la pareja A.
1+1=2 parejas en total.
Fin del mes 3
La pareja A da a luz a la pareja C. La pareja B cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A y B.
2+1=3 parejas en total.
Fin del mes 4
Las parejas A y B dan a luz a D y E. La pareja C cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A, B y C.
3+2=5 parejas en total.
Fin del mes 5
A, B y C dan a luz a F, G y H. D y E cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D y E.
5+3=8 parejas en total.
Fin del mes 6
A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L y M. F, G y H cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D, E, F, G y H.
8+5=13 parejas en total.
...
...
...
...
...
...
Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas totales que hay hasta ese mes.
Página delLiber Abaci de Fibonacci de laBiblioteca Nacional Central de Florencia mostrando (en un recuadro a la derecha) la sucesión de Fibonacci con las posiciones de la secuencia etiquetadas en números romanos y en latín; y el valor de los números en cifras arábigas.
De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libroLiber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas porÉdouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.[7]
TambiénKepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocésRobert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos se acerca a la relaciónáureafi () cuando tiende ainfinito. Esta sucesión tuvo popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre comoBéla Bartók,Olivier Messiaen, la bandaTool yDelia Derbyshire la utilizaron para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.
Si bien, en algunas publicaciones se omite en la presentación el término, y en otras se inicia con, la definición usual inicia con con lo cual los valores coinciden con los valores de la cantidad de conejos en los primeros dos meses, en el problema correspondiente delLiber Abaci.
Unafunción generadora ordinaria para una sucesión cualquiera es laserie formal de potencias, donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora
La definición de la sucesión de Fibonacci esrecurrente; es decir: se necesitan calcular todos los términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen la relación de recurrencia
De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tendrá la forma
.
Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes y satisfacen la ecuación anterior cuando y, es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones
Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene
Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser expresado como
Esta fórmula, conocida como fórmula deBinet se le atribuye al matemático francésÉdouard Lucas, y es fácilmente demostrable porinducción matemática. A pesar de que la sucesión de Fibonacci consta únicamente de números naturales, su fórmula explícita incluye alnúmero irracional. De hecho, la relación con este número es estrecha.
Observando los valores que adoptan los dos sumandos de la fórmula (5), se comprueba que el segundo sumando siempre tiene un valor absoluto menor que, y va cambiando de signo sucesivamente, compensando la parte no entera, irracional, que tiene el primer sumando, para que la suma de dos números irracionales dé un número natural.
Teniendo en cuenta entonces que ese segundo sumando de la fórmula (5) es siempre un número de valor absoluto menor que, (el máximo valor absoluto es para, aproximadamente), la fórmula puede escribirse, eliminando este segundo sumando, así:
Los autovalores de la matriz, son precisamente y, (el número áureo; y el negativo de su inverso o conjugado); y sus autovectores y.
Aplicando técnicas dedescomposición espectral de la matriz, utilizando sus autovalores, y la base de sus autovectores, o diagonalizando la matriz, se puede substituir o simplificar la operación de potenciación de la matriz, y obtener, por otros dos métodos, la fórmula explícita (5) que proporciona el término general de la sucesión.
Al construir bloques cuya longitud de lado sean números de Fibonacci se obtiene un dibujo que se asemeja alrectángulo áureo (véaseNúmero áureo).
Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el número de cadenas de bits de longitud que no tienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe una publicación especializada llamadaFibonacci Quarterly[8] dedicada al estudio de la sucesión de Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a la amplitud con la que los números de Fibonacci aparecen en matemática y sus aplicaciones en otras áreas. Algunas de las propiedades de esta sucesión son las siguientes:
La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anterior varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo. Es decir:
Los cocientes son oscilantes; es decir, que un cociente es menor al límite y el siguiente es mayor. Los cocientes pueden ordenarse en dos sucesiones que se aproximanasintóticamente por exceso y por defecto al valor límite.
Cualquiernúmero natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás. Por ejemplo,,.
Tan solo un término de cada tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de 3, uno de cada cinco es múltiplo de 5, etc. Esto se puede generalizar, de forma que la sucesión de Fibonacci es periódica en lascongruencias módulo, para cualquier.
La sucesión puede expresarse mediante otra fórmula explícita llamadaforma de Binet (deJacques Binet). Si y, entonces
y
Cada número de Fibonacci es el promedio del término que se encuentra dos posiciones antes y el término que se encuentra una posición después. Es decir
Lo anterior también puede expresarse así: calcular el siguiente número a uno dado es 2 veces este número menos el número 2 posiciones más atrás.
La suma de los primeros números es igual al número que ocupa la posición menos uno. Es decir
Otras identidades interesantes incluyen las siguientes:
Los números de Fibonacci aparecen al sumar las diagonales deltriángulo de Pascal. Es decir que para cualquier,
Los números de Fibonacci son la suma de las diagonales (marcadas en rojo) deltriángulo de Pascal.
y más aún
Si, tal que es unnúmero primo, entonces también es un número primo, con una única excepción,; 3 es un número primo, pero 4 no lo es.
La suma infinita de los términos de la sucesión es exactamente.
La suma de diez números Fibonacci consecutivos es siempre 11 veces superior al séptimo número de la serie.
El último dígito de cada número se repite periódicamente cada 60 números. Los dos últimos, cada 300; a partir de ahí, se repiten cada números.
Al surgir la sucesión de Fibonacci de la suma de las diagonales del triángulo de Pascal. Se puede caracterizar también a (el número áureo) con base en estas sumas. Representando el límite en el infinito de la razón entre las sumas de las diagonales pares del triángulo y las sumas de las diagonales impares; de esta forma: o[9]
Gráfica de la sucesión de Fibonacci extendida al campo de los números reales.
El concepto fundamental de la sucesión de Fibonacci es que cada elemento es la suma de los dos anteriores. En este sentido la sucesión puede expandirse al conjunto de losnúmeros enteros como de manera que la suma de cualesquiera dos números consecutivos es el inmediato siguiente. Para poder definir los índices negativos de la sucesión, se despeja de la ecuación (3) de donde se obtiene
La sucesión se puede expandir al campo de losnúmeros reales tomando la parte real de la fórmula explícita (ecuación (6)) cuando es cualquier número real. La función resultante
tiene las mismas características que la sucesión de Fibonacci:
para cualquier número real
Unasucesión de Fibonacci generalizada es una sucesión donde
Gráfica de la sucesión de Lucas extendida al campo de los números reales.
Un ejemplo de sucesión de Fibonacci generalizada es lasucesión de Lucas, descrita por las ecuaciones
para
La sucesión de Lucas tiene una gran similitud con la sucesión de Fibonacci y comparte muchas de sus características. Algunas propiedades interesantes incluyen:
La proporción entre un número de Lucas y su sucesor inmediato se aproxima al número áureo. Es decir
La fórmula explícita para la sucesión de Lucas es
La suma de los primeros números de Lucas es el número que se encuentra en la posición menos uno. Es decir
Cualquier fórmula que contenga un número de Lucas puede expresarse en términos de números de Fibonacci mediante la igualdad
Cualquier fórmula que contenga un número de Fibonacci puede expresarse en términos de números de Lucas mediante la igualdad
Cálculo de usando el algoritmo1. El árbol descendente de sumas, se detiene en las distintas ramas cuando se alcanza. El resultado es precisamente el número de veces que aparece en el árbol (13 veces en este caso, valor de).
Para calcular el-ésimo elemento de la sucesión de Fibonacci existen variosalgoritmos (métodos). Su definición misma puede emplearse como uno de estos algoritmos, aquí expresado enpseudocódigo:
Algoritmo1 Versión recursiva descendente (Complejidad)
función
sientonces
devuelve
en otro caso
devuelve
Usando técnicas deanálisis de algoritmos es posible demostrar que, a pesar de su simplicidad, el algoritmo1 requiere efectuar sumas para poder encontrar el resultado. Dado que la sucesióncrece tan rápido como, entonces el algoritmo está en el orden de. Es decir, que este algoritmo es muy lento. Por ejemplo, para calcular este algoritmo requiere efectuar 20.365.011.073 sumas.
Para evitar hacer tantas operaciones, es común recurrir a una calculadora y utilizar la ecuación (6) del matemáticoÉdouard Lucas. Sin embargo, dado que es unnúmero irracional, la única manera de utilizar esta fórmula es empleando una aproximación de, obteniendo en consecuencia un resultado aproximado pero no exacto. Por ejemplo, si se usa una calculadora de 10 dígitos, entonces la fórmula anterior arroja como resultado aun cuando el resultado correcto es. Este error se hace cada vez más grande conforme crece. De igual forma se puede crear una función utilizando la fórmula, muy eficiente,, aunque hay que tener en cuenta algunas consideraciones, cada lenguaje de programación tiene una forma específica de ejecución de las funciones matemáticas, y es probable que se necesite redondear el número obtenido de la ecuación, y en ciertos casos, si el número es muy grande, puede ser impreciso.
Algoritmo2 Versión con fórmula explícita (6) (Complejidad)
función
sientonces
devuelve
en otro caso
devuelve
Otro método más práctico a la recursión, que evita calcular las mismas sumas más de una vez, es la iteración. Considerando un par de números consecutivos de la sucesión de Fibonacci, el siguiente par de la sucesión es, de esta manera se divisa un algoritmo donde solo se requiere considerar dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci en cada paso. Este método es el que se usaría normalmente para hacer el cálculo con lápiz y papel. El algoritmo se expresa en pseudocódigo como:
Estas versiones requieren efectuar solo sumas para calcular, lo cual significa que los métodos iterativos son considerablemente más rápidos que el algoritmo1. Por ejemplo, en el algoritmo3 solo se requiere efectuar 50 sumas para calcular.
Un algoritmo todavía más rápido se deduce partiendo de la ecuación (10). Utilizando leyes de exponentes es posible calcular como
De esta manera se divisa el algoritmo de tipoDivide y Vencerás donde solo se requeriría hacer, aproximadamente,multiplicaciones matriciales. Sin embargo, no es necesario almacenar los cuatro valores de cada matriz dado que cada una tiene la forma
De esta manera, cada matriz queda completamente representada por los valores y, y su cuadrado se puede calcular como
Por lo tanto el algoritmo queda como sigue:
Algoritmo6 Versión Divide y Vencerás (Complejidad)
función
sientonces
devuelve
mientrashacer
si es imparentonces
devuelve
A pesar de lo engorroso que parezca, este algoritmo permite reducir enormemente el número de operaciones que se necesitan para calcular números de Fibonacci muy grandes. Por ejemplo, para calcular, en vez de hacer las 573.147.844.013.817.084.100 sumas del algoritmo1 o las 100 sumas con el algoritmo3, el cálculo se reduce a tan solo 9 multiplicaciones matriciales.
Botón deCamomila amarilla mostrando la ordenación en espirales de módulos 21 (color azul) y 13 (color cian). Este tipo de arrollamientos utilizando números consecutivos de Fibonacci aparecen en una gran variedad de plantas.Espiral de Fibonacci en la sección de la concha de unnautilus.
La secuencia de Fibonacci se encuentra en múltiples configuraciones biológicas,[11] donde aparecen números consecutivos de la sucesión, como en la distribución de las ramas de los árboles,la distribución de las hojas en un tallo, los frutos de lapiña tropical,[12] las flores de laalcachofa, en laspiñas de las coníferas,[13] o en el "árbol genealógico" de las abejas melíferas.[14] Sin embargo, también se han hecho muchas invocaciones infundadas a la aparición de los números de Fibonacci aprovechando su relación con elnúmero áureo en la literatura popular.[15]
Un modelo del patrón de distribución de las semillas delgirasol fue propuesto por H. Vogel en 1979.[17] Presenta la forma
donden es el índice de la flor yc es un factor de escala; entonces las semillas se alinean segúnespirales de Fermat. El ángulo de divergencia, de aproximadamente 137.51°, está relacionado con elnúmero áureo. Debido a que el coeficiente es un número irracional, ninguna semilla tiene ninguna vecina al mismo ángulo respecto al centro, por lo que se compactan eficientemente. Debido a que las aproximaciones racionales al número aúreo son de la formaF(j):F(j + 1), los vecinos más próximos al número de semillasn están todos enn ± F(j) para cada índicej, que depende der, la distancia al centro. Suele afirmarse que los girasoles y flores similares tienen 55 espirales en una dirección y 89 en la otra (o alguna otra pareja de números adyacentes de la sucesión de Fibonacci), pero esto solo es cierto en ciertos rangos de radio, generalmente raros (y por ello más notables).[18]
Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que un zángano (1), el macho de la abeja, no tiene madre, pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.
Recientemente, un análisis histórico-matemático acerca del contexto de Leonardo de Pisa y la proximidad de la ciudad deBejaia, una importante exportadora de cera en los tiempos de Leonardo (de la cual proviene el nombre en francés de esta ciudad,Bougie, que significa «vela»), ha sugerido que fueron los criadores de abejas de Bejaia y el conocimiento de la ascendencia de las abejas lo que inspiró los números de Fibonacci más que el modelo de reproducción de conejos.[19]
Seann y m enteros positivos. Si el númeron es divisible porm entonces el término n-ésimo de Fibonacci es divisible por el término m-ésimo de la misma sucesión. En efecto 4 divide a 12, por tanto el término de orden cuatro, el 3 divide a 144, término de orden 12 en la citada sucesión.[20]
Cualquiera que sea el enterom, entre los primeros números de Fibonacci habrá al menos uno divisiblepor m. A modo de ejemplo para m = 4, entre los primeros quince números están 8 y 144, números de Fibonacci, divisibles por 4.[21]
Sik es un número compuesto diferente de 4, entonces el número k-ésimo de Fibonacci es compuesto.[22] Para el caso 10, compuesto distinto de 4, el décimo número de Fibonacci 55, es compuesto.
Los números consecutivos de Fibonacci soncoprimos entre sí.
Es mencionada en obraRama II (novela), de Arthur C. Clarke, cuando el personaje Michael O'toole la describe como una referencia para memorizar una larga clave secreta, principalmente por su facilidad de ser extrapolada.
En el popular anime/mangaJojo's Bizarre Adventure, específicamente enSteel Ball Run, una de las facetas de los protagonistas para que sus poderes se potencien tiene que ver con esto (la sucesión de Fibonacci) y es mencionado como el "Rectángulo dorado" aunque posiblemente no tenga nada que ver con este. Hoy en día la sucesión también es utilizada por quienes estudian trading.[23]
↑Knuth, Donald (1968),The Art of Computer Programming1, Addison Wesley,ISBN81-7758-754-4, «Antes de que Fibonacci escribiera su tratado, la secuencia Fn era estudiada en las escuelas de la India, interesados desde hacía mucho color en patrones rítmicos... tantoGopala (hacia el año 1135) comoHemachandra (hacia 1150) mencionan los números 1,2,3,5,8,13,21 explícitamente [ver P. Singh Historia Math 12 (1985) 229–44]" p. 100 (3d ed)...».
↑Agrawala, VS (1969),Pāṇinikālīna Bhāratavarṣa (Hn.). Varanasi-I: TheChowkhamba Vidyabhawan, «SadgurushiShya writes that Pingala was a younger brother of Pāṇini [Agrawala 1969, lb]. There is an alternative opinion that he was a maternal uncle of Pāṇini [Vinayasagar 1965, Preface, 121. ... Agrawala [1969, 463–76], after a careful investigation, in which he considered the views of earlier scholars, has concluded that Pāṇini lived between 480 and 410 BC».
↑Handbook of discrete and combinatorial mathematics, sección 3.1.2
↑Prusinkiewicz, Przemyslaw; Hanan, James (1989),Lindenmayer Systems, Fractals, and Plants (Lecture Notes in Biomathematics),Springer-Verlag,ISBN0-387-97092-4.
↑Vogel, H (1979), «A better way to construct the sunflower head»,Mathematical Biosciences44 (44): 179-89,doi:10.1016/0025-5564(79)90080-4.
Kolman, Bernard; Hill, David R. (2006).Álgebra Lineal. México: PEARSON EDUCACIÓN.ISBN970-26-0696-9.
Johnsonbaugh, Richard (2005).Matemáticas Discretas. México: PEARSON EDUCACIÓN.ISBN970-26-0637-3.
Daini, Fabio; Andión, Ricardo (2003).Fibonacci, La Serie Infinita. Madrid: PRETINCE HALL.ISBN84-89660-00-X.
Brassard, G; Bratley, P. (1997).Fundamentos de Algoritmia. Madrid: PRETINCE HALL.ISBN84-89660-00-X.
Kenneth, H. Rosen (2003).Discrete mathematics and its applications. McGraw Hill.ISBN0-07-123374-1.
Kenneth H. Rosen; John G. Michaels (1999).Handbook of discrete and combinatorial mathematics. CRC.ISBN0-8493-0149-1.
N. N. Vorobiov (1974).Números de Fibonacci. Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega, catedrático de Matemática Superior y candidato a doctor en ciencias físico-matemática.
A. I. Markushevich (1974; 1981).Sucesiones recurrentes. Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega.
Luca Pacioli (1946).La Divina Proporción. Editorial Losada, Buenos Aires.
Hrant Arakelian (2014).Mathematics and History of the Golden Section. Logos, 404 p.ISBN 978-5-98704-663-0, (rus.)