Enmatemáticas, elsubgrupo conmutador de ungrupoG, es elsubgrupo generado por todos los elementos de la forma

${\displaystyle [a,b]=ab{a}^{-1}{b}^{-1}}$

denominado conmutador dea conb.

Al subgrupo conmutador también se le conoce comosubgrupo derivado deG y se simboliza por${\displaystyle G^{\prime }}$ o${\displaystyle [G,G]}$. Esto significa que si${\displaystyle x\in [G,G]}$ entoncesx se escribe como unapalabra de conmutadores esto es,

${\displaystyle x=a_1{b}_1{a_1}^{-1}{b_1}^{-1}{a}_2{b}_2{a_2}^{-1}{b_2}^{-1}\cdots a_r{b}_r{a_r}^{-1}{b_r}^{-1}}$.

Se puede demostrar que [G,G] es unsubgrupo normal y que elgrupo cociente${\displaystyle G/[G,G]}$ esabeliano. El subgrupo conmutador es el menor que verifica esa propiedad, es decir: si${\displaystyle H⊲G}$ verifica que${\displaystyle G/H}$ es abeliano entonces${\displaystyle [G,G]\subseteq H}$.

La construcción${\displaystyle G/[G,G]}$ recibe el nombre deabelianización deG.

Baumslag y Chandler en suTeoría de grupos enuncian las siguientes proposiciones:

• El inverso de un conmutador es un conmutador.
• G'-subgrupo derivado de G- es un subgrupo normal en G.
• G es conmutativo si, sólo si G' ={e}, i.e. G es conmutativo si y solo si su subgrupo conmutador es el subgrupo que contiene únicamente al elemento neutro.

Dado un grupo${\displaystyle G}$, La serie derivada es una construcción iterada, definida de la siguiente manera:

${\displaystyle G^{(0)}:=G}$

${\displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]n\in \mathbf{N}}$

Los grupos${\displaystyle G^{(2)},G^{(3)},\dots }$ se denominansegundo grupo derivado,tercer grupo derivado, y así en adelante y forman laserie normal descedente.

${\displaystyle \cdots ◃G^{(2)}◃G^{(1)}◃G^{(0)}=G}$

se denomina laserie derivada. Esta no debe confundirse con laserie central inferior, cuyos términos son${\displaystyle G_n:=[G_{n-1},G]}$.

Para ungrupo finito, la serie derivada termina en ungrupo perfecto, que puede o no ser trivial. Para un grupo infinito, la serie derivada no necesita terminar en una etapa finita, y puede continuar hasta infinitosnúmeros ordinales medianterecursión transfinita, obteniendo así laserie derivada transfinita, que finalmente termina en elnúcleo perfecto del grupo.

• Conmutador (matemática)

• Rotman, Joseph J. (1999).An Introduction to the Theory of Groups. Springer.ISBN 0387942858. |fechaacceso= requiere|url= (ayuda)
• Lang, Serge (2005).Algebra. Springer.ISBN 038795385X. |fechaacceso= requiere|url= (ayuda)

• Teoría de grupos

• Wikipedia:Páginas con referencias sin URL y con fecha de acceso