 | Este artículo o sección necesitareferencias que aparezcan en unapublicación acreditada. Busca fuentes:«Sistema formal» –noticias ·libros ·académico ·imágenes Este aviso fue puesto el 19 de abril de 2024. |
Unsistema formal osistema lógico es unsistemaabstracto compuesto por unlenguaje formal,axiomas,reglas de inferencia y a veces unasemántica formal, que se utiliza para deducir o demostrarteoremas y dar unadefinición rigurosa del concepto dedemostración. Un sistema formal es una formalización rigurosa y completa del concepto desistema axiomático, los cuales se pueden expresar en lenguaje formal o enlenguaje natural formalizado. Al crear un sistema formal se pretende capturar y abstraer la esencia de determinadas características del mundo real, en un modelo conceptual expresado en un determinadolenguaje formal. Algunos de los sistemas formales más conocidos son lalógica proposicional, lalógica de primer orden y lalógica modal.
En lateoría de la demostración, lasdemostraciones formales se pueden expresar en el lenguaje de los sistemas formales, consistentes enaxiomas yreglas de inferencia. Los teoremas pueden ser obtenidos por medio de demostraciones formales. Este punto de vista de las matemáticas ha sido denominadoformalista; aunque en muchas ocasiones este término conlleva una acepción peyorativa. En ese sentido,David Hilbert creó lametamatemática para estudiar los sistemas formales, entendiendo que el lenguaje utilizado para ello, denominadometalenguaje era distinto del lenguaje del sistema formal que se pretendía estudiar, al que se llamalenguaje objeto.
Un sistema así es la reducción de unlenguaje formalizado a merossímbolos, lenguaje formalizado y simbolizado sin contenido material alguno; un lenguaje reducido a mera forma que se expresa mediantefórmulas que reflejan las relaciones sintácticas entre los símbolos y las reglas de formación y transformación que permiten construir las fórmulas del sistema y pasar de una fórmula a otra.[1]
Unateoría axiomática es un conjunto de fórmulas en un determinadolenguaje formal y todas las fórmulas deducibles de dichas expresiones mediante las reglas de inferencia posibles en dicho sistema formal. El objetivo de las teorías axiomáticas es construir sistemas formales que representen las características esenciales de ramas enteras de las matemáticas. Si se selecciona un conjunto más amplio o menos amplio de axiomas el conjunto de teoremas deducibles cambian. El interés de lateoría de modelos es que en un modelo en que satisfagan los axiomas de determinada teoría también se satisfacen los teoremas deducibles de dicha teoría. Es decir, si un teorema es deducible en una cierta teoría, entonces ese teorema es universalmente válido en todos los modelos que satisfacen los axiomas. Esto es interesante porque en principio la clase de modelos que satisface una cierta teoría es difícil de conocer, ya que las teorías matemáticas interesantes en general admiten toda clase infinita de modelos no isomorfos, por lo que su clasificación en general resulta difícilmente abordable si no existe un sistema formal y un conjunto de axiomas que caracterice los diferentes tipos de modelos.
En el siglo XX, Hilbert y otros sostuvieron que lamatemática es un sistema formal. Pero en 1931,Kurt Gödel demostró que ningún sistema formal con suficiente poder expresivo para capturar laaritmética de Peano puede ser a la vez consistente y completo. Elteorema de la incompletitud de Gödel, junto con la demostración deAlonzo Church de que la matemática tampoco es decidible, terminó con elprograma de Hilbert. Sin embargo, a pesar de sus limitaciones, el enfoque sigue siendo ampliamente usado, básicamente porque no se ha encontrado ninguna alternativa mejor al enfoque formalista de Hilbert y la pretensión de trabajar en el seno de teorías matemáticas explícitamente axiomatizadas, aun con sus limitaciones.
Los sistemas formales también han encontrado aplicación dentro de lainformática, lateoría de la información y laestadística.
Un sistema formal está compuesto por:
Estos cuatro elementos completan la partesintáctica de los sistemas formales. Sin embargo, todavía no se ha dado ningúnsignificado a los símbolos discutidos, y de hecho, un sistema formal se puede definir sin tener que hacerlo. Tal tarea corresponde al campo llamadosemántica formal, que se ocupa de introducir un quinto elemento:
Para entender mejor estos elementos, definimos un sistema formal minimalista llamadoM.
El sistemaM tiene unalfabeto con un único símbolo:a
Lasfórmulas bien formadas deM son aquellas que se construyen con las siguientesreglas de formación:
Por lo tanto, ellenguaje deM consta de las siguientes fórmulas:a,aa,aaa,aaaa,aaaaa, ...
M tiene un únicoaxioma:a
M tiene una únicaregla de inferencia: de φ se puede inferir φa
Losteoremas son aquellas fórmulas que se deducen de los axiomas a través de las reglas de inferencia en un número finito de pasos. En este caso, los teoremas deM serán:aa,aaa,aaaa,aaaaa, ...
Es decir todas las fórmulas bien formadas, exceptoa.
Existe un debate sobre si es correcto hablar de una lógica, o de varias lógicas, pero en el siglo XX se han desarrollado no uno, sino varios sistemas formales diferentes, que capturan y formalizan distintas partes del lenguaje natural.
Unalógica clásica o lógica estándar[2][3] es un sistema formal que respeta los siguientes principios:
Los ejemplos más comunes de lógicas clásicas son lalógica proposicional, lalógica de primer orden y lalógica de segundo orden.
Las lógicas clásicas son los sistemas formales más estudiados y utilizados de todos.Unalógica no clásica o lógica alternativa es un sistema formal que difiere de manera significativa de laslógicas clásicas. Hay varias formas de hacerlo, incluyendo a modo de extensiones, desviaciones, y variaciones, por ejemplo, rechazando uno o varios de los principios de la lógica clásica. El objetivo de estas desviaciones es para hacer posible construir distintos modelos deconsecuencia lógica yverdad lógica.
Lalógica filosófica, especialmente en laciencia computacional teórica, se usa para abarcar y centrarse en las lógicas no clásicas, a pesar de que el término tiene otros significados también.[4]
Algunos ejemplos de lógicas no clásicas son:
Unalógica modal es un sistema formal que intenta capturar el comportamiento deductivo de algún grupo de operadores modales.[5] Los operadores modales son expresiones quecalifican la verdad de los juicios.[5] Por ejemplo, en el juicio «es necesario que 2 + 2 = 4», la expresión «es necesario que» es un operador modal que califica denecesaria a la verdad del juicio «2 + 2 = 4». De manera análoga, la expresión «siempre» califica a un juicio verdadero como verdadero en cualquier momento, es decir,siempre. No es lo mismo decir «está lloviendo» que decir «siempre está lloviendo».
En un sentido más restringido, sin embargo, una lógica modal es un sistema formal que intenta capturar el comportamiento deductivo de las expresiones «es necesario que» y «es posible que».[5] Este artículo trata exclusivamente sobre lógicas modales en este sentido restringido. Las lógicas modales pertenecen al grupo de las llamadas «extensiones de la lógica clásica» o «lógicas extendidas» entre las cuales se incluyen además lalógica deóntica, lalógica temporal, lalógica epistémica y lalógica doxástica.
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