El sistema decoordenadas esféricas se utiliza habitualmente en física. Asigna tres números (conocidos como coordenadas) a cada punto del espacio euclídeo: distancia radialr, ángulo polarθ (θ) y ángulo acimutalφ (φ). El símboloρ (ρ) se utiliza a menudo en lugar de "r"
Engeometría, unsistema de coordenadas es un sistema de referencia que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar inequivocamente la posición de unpunto u objeto geométrico.[1] El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en unatupla ordenada; también se las puede representar con letras, como por ejemplo «la coordenada-x». El estudio de los sistemas de coordenadas es el objeto de lageometría analítica, que permite formular problemas geométricos de forma "numérica".[2]
Engeometría, las coordenadas son valores numéricos que determinan la posición de un punto en un plano o en el espacio. En unplano euclídeo, la posición de un punto puede venir determinada por las distancias a dos líneas rectas (ejes de coordenadas) que se cruzan en un punto (origen) en ángulo recto; una de las coordenadas se llamaordenada y la otraabscisa. En elespacio euclídeo tridiomensional según elsistema de Descartes, la posición de un punto está determinada si se especifican las distancias a tres planos de coordenadas que se cruzan en un punto en ángulo recto entre sí. Sin embargo estas formas de especificar un punto no son las únicas posibles, lascoordenadas polares en el plano o lascoordenadas esféricas (donde el origen está en el centro de una serie de esferas) o lascoordenadas cilíndricas en el espacio son otras formas que requieren especificar menos distancias y más ángulos de orientación.
En geografía, las coordenadas se eligen como un sistema de coordenadas aproximadamente esférico:latitud,longitud yaltura por encima de un nivel general conocido (como por ejemplo, el del océano). La latitud mide la ubicación norte-sur de un punto en relación con el ecuador, la longitud mide la ubicación este-oeste en relación con elmeridiano de Greenwich, y la altura representa la elevación de un punto sobre un nivel de referencia, como el nivel del mar. Este sistema de coordenadas es esencial para la ubicación precisa en la superficie terrestre y se utiliza en cartografía, navegación,topografía y en tecnologías GNSS (Sistema Global de Navegación por Satélite), proporcionando una base sólida para la representación geoespacial y la geolocalización precisa de lugares en todo el mundo.
El sistema de coordenadas más utilizado es el sistema de coordenadas rectangulares, también conocido comosistema de coordenadas cartesianas. Ese tipo de sistemas puede funcionar como un sistema de coordenadas único para todo un espacio euclídeo y los puntos y objetos situados dentro de él. Para lograr eso se requiere la noción deorigen de coordenadas.
Las coordenadas en el plano y en el espacio se pueden definir de un número ilimitado de formas diferentes. La resolución de numerosos problemas matemáticos o físicos implica elegir aquel sistema de coordenadas específico en el que el problema se resuelva más fácil o más conveniente en cada caso particular.
Enastronomía, lascoordenadas celestes son un par ordenado de cantidades angulares (por ejemplo,ascensión recta y declinación), con las que se determina la posición de distintos puntos luminosos y de puntos auxiliares en la esfera celeste. En la práctica, se utilizan varios sistemas de coordenadas celestes. Cada uno de ellos es esencialmente unsistema de coordenadas esféricas (sin coordenadas radiales) con un plano fundamental y un origen elegidos apropiadamente. Dependiendo de la elección del plano fundamental, el sistema de coordenadas celestes se llama horizontal (plano del horizonte), ecuatorial (plano ecuatorial), eclíptico (plano de laeclíptica) o galáctico (plano galáctico). El concepto de sistemas de coordenadas aplica a espacios geométricos más complejos que el espacio euclídeo, por esa razón se requiere unadefinición formal de sistema de coordenadas que especifique la posición de puntos. Nótese que por ejemplo de acuerdo a la cosmología moderna la forma del espacio-tiempo es unespacio curvado por lo que en el universo no siempre sería posible usar coordenadas cartesianas.
Dado un espacio geométrico o topológico que tiene estructura devariedad diferenciable de dimensiónn un sistema de coordenadas es unadifeomorfismo:, donde es unconjunto abierto del espacio euclídeo n-dimensional. Es decir, para cada punto tenemos las coordenadas, el conjunto de todas estasn-tuplas para el espacio define un sistema de coordenadas local.
Es el conjunto de losnúmeros reales representado gráficamente por una recta en la que se pueden ubicar todos los números naturales, enteros, fraccionarios, decimales, etc.[3]
Cada punto de larecta representa un número real, ya sea mediante unacorrespondencia biunívoca o mediante unaaplicación biyectiva, usada para representar losnúmeros como puntos especialmente marcados, como por ejemplo losnúmeros enteros mediante una recta llamadarecta graduada como la entera[3] de puntos ordenados y separados entre sí a la misma distancia. El punto que representa el cero () es el punto de referencia principal del sistema de coordenadas, llamado punto de origen.
Tomando en cuenta que cada uno de los puntos de la recta representa gráficamente un número real, a la derecha del punto origen se hallan todos los números reales positivos y a la izquierda todos los números reales negativos.[4]
Para representar un número de la recta real se emplean las letras mayúsculas y sus coordenadas correspondientes, por ejemplo, los puntosA(5), B(3), C(-3), D(-5),etc.
Coordenadas cartesianasCoordenadas cartesianas en el plano
En unespacio euclídeo, un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejesortogonales igualmenteescalados, dependiendo de si es un sistemabidimensional otridimensional (análogamente en se pueden definir sistemasn-dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a laproyección ortogonal del vector de posición de dicho punto () sobre un eje determinado:
Cada uno de los ejes está definido por unvector director y por el origen de coordenadas. Por ejemplo, el ejex está definido por el origen de coordenadas (O) y unvector () tal que:
Las coordenadas polares son un sistema de coordenadasbidimensional en el que cadapunto o posición del plano se determina mediante unángulo y unadistancia.[5]
Se elige un punto comopolo y se toma una semirrecta desde este punto comoeje polar. Para un ángulo dado, hay una única línea recta que pasa por el polo cuyo ángulo con el eje polar es (medido en sentido contrario al de las agujas del reloj desde el eje hasta la línea). Entonces hay un único punto en esta línea cuya distancia con signo al origen esr para un número dador. Para un par de coordenadas dado hay un único punto, pero cualquier punto está representado por muchos pares de coordenadas. Por ejemplo,, y son todas coordenadas polares para el mismo punto. El polo está representado por para cualquier valor de.
Es un sistema de coordenadas donde un punto se identifica con dos números, uno para ellogaritmo de la distancia a un cierto punto y otro para un ángulo. Las coordenadas logarítmicas están estrechamente conectadas con las coordenadas polares, que generalmente se usan para describir dominios en el plano con algún tipo desimetría rotacional.
El sistema de coordenadas cilíndricas se usa para representar los puntos de unespacio euclídeo tridimensional. Resulta especialmente útil en problemas consimetría axial. Este sistema de coordenadas es una generalización del sistema de coordenadas polares del plano euclídeo, al que se añade un tercer eje de referencia ortogonal a los otros dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el eje y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada que determina la altura del cilindro.
Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de coordenadas esféricas se usa en espacios euclidianos tridimensionales. Este sistema de coordenadas esféricas está formado por tres ejes mutuamente ortogonales que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición del punto.
Este tipo de coordenadas cartográficas, subtipo de las coordenadas esféricas, se usa para definir puntos sobre una superficie esférica. Hay varios tipos de coordenadas geográficas. El sistema más clásico y conocido es el que emplea lalatitud y lalongitud, que pueden mostrase en los siguientes formatos:
También se pueden definir las coordenadas de un punto de la superficie de la Tierra utilizando unaproyección cartográfica. El sistema de coordenadas cartográficas proyectadas más habitual es el sistema decoordenadas UTM.
Un sistema de coordenadas curvilíneos es la forma más general de parametrizar o etiquetar los puntos de un espaciolocalmenteeuclídeo o de unavariedad diferenciable (globalmente, el espacio puede ser euclídeo, pero no necesariamente). Si se trata de un espacio localmente euclídeo de dimensión, se puede construir un sistema de coordenadas curvilíneo local en torno a un punto siempre a partir de cualquierdifeomorfismo que cumpla:
Para cualquier puntoq cercano ap se definen sus coordenadas curvilíneas como:
Un sistema de coordenadas curvilíneas se llama ortogonal cuando eltensor métrico expresado en esas coordenadas tiene unaforma diagonal. Cuando eso sucede muchas de las fórmulas del cálculo vectorial diferencial se pueden escribir de forma particularmente simple en esas coordenadas, pudiéndose aprovechar ese hecho cuando existe por ejemplosimetría axial,esférica o de otro tipo fácilmente representable en esas coordenadas curvilíneas ortogonales.
Las coordenadas esféricas y cilíndricas son casos particulares de coordenadas curvilíneas ortogonales.
También pueden usarse como un sistema alternativo de coordenadas para trabajar en elespacio euclídeo, pues este puede verse como un subconjunto del espacio proyectivo. De ese modo, las coordenadas homogéneas son ampliamente usadas eninfografía para la representación de escenas en tres dimensiones. Su notación en forma matricial se emplea en bibliotecas de programación gráfica en 3D comoOpenGL yDirect3D.
En coordenadas homogéneas, todopunto bidimensional está definido por tres coordenadas, de tal modo que un punto de dimensiones, se representa por la terna
Las coordenadas en dos dimensiones se pueden encontrar más fácilmente si, por simplificación. En tres dimensiones, suele ocurrir lo mismo.[6][7]
Una consecuencia de esta escritura es que un punto propio tiene infinitas formas de escribirse, pues está determinado por unarelación de equivalencia entre el punto en cuestión y aquellos otros contenidos en la recta quegenera.
La idea básica se trata de ampliar el plano euclídeo (en el caso bidimensional) al plano proyectivo. Esto implica la consideración de los puntos impropios, o del infinito. Un punto impropio es aquel dondeλ = 0, y está determinado por la dirección de unarecta, contenida en el plano proyectivo.[8]
El sistema de coordenadas log-polar representa un punto en el plano por el logaritmo de la distancia al origen y un ángulo medido desde una línea de referencia que interseca el origen.
Lascoordenadas baricéntricas (n-simplex) se utilizan para representardiagramas ternarios y más generalmente en el análisis detriángulos. Fueron introducidas por primera vez porAugust Möbius, quien resolvió la cuestión sobre el centro de gravedad de las masas situadas en los vértices deltriángulo. Son invariantes afines, representando un caso especial de las coordenadas generaleshomogéneas. Un punto con coordenadas baricéntricas se encuentra en unespacio vectorial-dimensional, y las coordenadas reales en este caso se refieren a un sistema fijo de puntos que no se encuentran en el subespacio-dimensional. Las coordenadas baricéntricas también se utilizan entopología algebraica con respecto a los puntos delsimplex.[9]
Lascoordenadas trilineales son una de las muestras de coordenadas homogéneas y se basan en un triángulo dado, de modo que la posición de un punto se determina en relación con los lados de este triángulo, principalmente por el valor de la distancia desde ellos, aunque son posibles otras variaciones. Las coordenadas trilineales se pueden convertir acoordenadas baricéntricas con relativa facilidad; además, también son convertibles en coordenadas rectangulares bidimensionales, para lo que se utilizan las fórmulas correspondientes. Se utilizan en el contexto de los triángulos.[10]
Coordenadas biangulares. Enmatemáticas, las coordenadas biangulares son un sistema de coordenadas delplano donde y son dos puntos fijos, y la posición de un puntoP no alineado con está determinada por los ángulos y. Este tipo de coordenadas fue examinado por primera vez porLazare Carnot, quien publicó sus resultados en 1803.[11]
Lascoordenadas bicéntricas, (también denominadas coordenadas bipolares de dos centros) son un sistema de coordenadas, basado en dos coordenadas que dan las distancias desde dos centros fijos, y.[12] Este sistema es muy útil en algunas aplicaciones científicas (como por ejemplo, calcular elcampo eléctrico de un dipolo en un plano).[13][14]
Coordenadas cónicas: Son un sistema de tres dimensiones ortogonales que consta de esferas concéntricas, que se describen por su radio, y dos familias de conos perpendiculares situados a lo largo de los ejes.
Coordenadas parabólicas: Son un sistema de coordenadasortogonales bidimensionales en el que las líneas de coordenadas sonparábolas confocales. Una versión tridimensional de coordenadas parabólicas se obtine mediante la rotación del sistema bidimensional sobre el eje de simetría de las parábolas. Las coordenadas parabólicas son útiles en muchas aplicaciones, como por ejemplo, en el tratamiento delefecto Stark y en lateoría del potencial de los bordes.
Coordenadas proyectivas. Se denominan de acuerdo con el espacio proyectivo sobre el que se definen, y representan una correspondencia biunívoca entre sus elementos y clases de subconjuntos finitos de elementos del cuerpo, caracterizados por las propiedades de equivalencia y ordenamiento. Para determinar las coordenadas proyectivas de los subespacios proyectivos, es suficiente determinar las coordenadas correspondientes de los puntos del espacio proyectivo. En el caso general, con respecto a alguna base, las coordenadas proyectivas se introducen por medios puramente proyectivos.[15]
Lascoordenadas de Rindler se utilizan principalmente en el marco de lateoría de la relatividad y describen esa parte del espacio-tiempo plano, que generalmente se llamaespacio de Minkowski. En la teoría especial de la relatividad, una partícula que se acelera uniformemente está enmovimiento hiperbólico, y para cada una de esas partículas en las coordenadas de Rindler se puede elegir un punto de referencia en relación con el que está en reposo.
Un sistema decoordenadas toroidales es un sistema de coordenadas ortogonales tridimensionales que se obtiene al girar un sistema de coordenadas bipolares bidimensionales alrededor de un eje que separa sus dos focos. Los focos del sistema bipolar, respectivamente, se convierten en un anillo con radio, que se encuentra en el plano del sistema de coordenadas toroidales, mientras que el eje se convierte en el eje de rotación del sistema. El anillo focal también se denomina a veces círculo base.[16]
Coordenadas parabólicas cilíndricas: Son un sistema decoordenadas ortogonales tridimensionales obtenido como resultado de una transformación espacial de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Las superficies de revolución parabólicas confocales, respectivamente, sirven como superficies coordenadas. Las coordenadas parabólicas cilíndricas están relacionadas con las coordenadas rectangulares de cierta manera y se pueden aplicar en varias áreas de la investigación científica.[17]
Hay formas de describir curvas sin coordenadas, utilizando ecuaciones intrínsecas que usan cantidades invariantes como la curvatura y la longitud de arco. Estas incluyen:
Los sistemas de coordenadas suelen utilizarse para especificar la posición de un punto, pero también pueden utilizarse para especificar la posición de figuras más complejas comorectas,planos,círculos oesferas. Por ejemplo, lascoordenadas plückerianas permiten determinar la posición de una línea recta en el espacio.[18] Cuando es necesario, el tipo de figura que se describe se utiliza para distinguir el tipo de sistema de coordenadas, por ejemplo el términocoordenadas de la recta se utiliza para cualquier sistema de coordenadas que especifica la posición de una línea recta.
Puede ocurrir que los sistemas de coordenadas para dos conjuntos diferentes de figuras geométricas sean equivalentes en términos de su análisis. Un ejemplo de ello son los sistemas de coordenadas homogéneos para puntos y rectas en el plano proyectivo. Los dos sistemas en un caso como este se dice que sonduales. Los sistemas duales tienen la propiedad de que los resultados de un sistema pueden trasladarse al otro, ya que estos resultados son solo interpretaciones diferentes del mismo resultado analítico; esto se conoce como elprincipio dedualidad.[19]
En la resolución de problemas físicos y matemáticos es común la estrategia del cambio de coordenadas. En esencia un cambio de coordenadas supone cambiar las variables de las que a depende el problema, a otras coordenadas diferentes en las que el problema puede tener una forma equivalente pero más simple, que permite encontrar la solución con mayor facilidad.
Dado que a menudo existen muchos sistemas de coordenadas posibles para describir figuras geométricas, es importante entender cómo se relacionan. Estas relaciones se describen mediantetransformaciones de coordenadas que dan fórmulas para las coordenadas de un sistema en términos de las coordenadas de otro sistema. Por ejemplo, en el plano, si las coordenadas cartesianas y las coordenadas polares tienen el mismo origen, y el eje polar es el eje positivo de, entonces la transformación de coordenadas de las coordenadas polares a las cartesianas viene dada por.
Más formalmente un cambio de coordenadas puede representarse por undifeomorfismo o aplicación biyectiva ydiferenciable (con inversa también diferenciable) entre dos conjuntos de, aquí llamados y:
Este cambio de variable permite por ejemplo reescribir integrales del siguiente modo:
Donde:
representa la función que pretende integrarse expresada en las viejas y las nuevas coordenadas.
Superficies de coordenadas de las coordenadas paraboloidales tridimensionales
En dos dimensiones, si una de las coordenadas en un sistema de coordenadas de un punto se mantiene constante y la otra coordenada se deja variar, entonces la curva resultante se llamacurva de coordenadas. En el sistema de coordenadas cartesianas las curvas de coordenadas son, de hecho,líneas rectas, por lo que son denominadasrectas coordenadas. En concreto, son las líneas paralelas a uno de los ejes de coordenadas. Para otros sistemas de coordenadas las curvas de coordenadas pueden ser curvas generales. Por ejemplo, las curvas de coordenadas en coordenadas polares obtenidas manteniendor constante son los círculos con centro en el origen. Un sistema de coordenadas para el que algunas curvas de coordenadas no son líneas rectas se denominasistema de coordenadas curvilíneas.[20] Este procedimiento no siempre tiene sentido, por ejemplo no existen curvas de coordenadas en lossistemas de coordenadas homogéneos.
En el espacio tridimensional, si se mantiene constante una coordenada y se permite que las otras dos varíen, la superficie resultante se llamasuperficie de coordenadas. Por ejemplo, las superficies de coordenadas que se obtienen manteniendo constante ρ en elsistema de coordenadas esféricas son las esferas con centro en el origen. En el espacio tridimensional la intersección de dos superficies de coordenadas es una curva de coordenadas. En el sistema de coordenadas cartesianas se puede hablar deplanos de coordenadas.
Del mismo modo, lashipersuperficies de coordenadas son los espacios dimensionales que resultan de fijar una sola coordenada de un sistema de coordenadas.[21]
Elorigen de coordenadas es el punto de referencia de un sistema de coordenadas. En este punto, el valor de todas las coordenadas del sistema es nulo —por ejemplo, el en o en—. Sin embargo, en algunos sistemas de coordenadas no es necesario establecer nulas todas las coordenadas. Por ejemplo, en un sistema de coordenadas esféricas es suficiente con establecer el radio nulo, siendo indiferentes los valores de latitud y longitud.
En un sistema de coordenadas cartesianas, el origen es el punto en que los ejes del sistema se separan.
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Delone N.B. Coordenadas en matemáticas // Diccionario enciclopédico Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - SPb. , 1890-1907.
