Enmatemática, se llamaserie formal de potencias (a vecesserie de potencias formal) a unaexpresión matemática que extiende las propiedades de lasseries de potencias en cuerpos como el de losreales o el de loscomplejos, permitiendo dar sentido formal a diversas notaciones que técnicamente carecen de rigurosidad. Las series formales de potencias tienen diversas aplicaciones, pudiéndose mencionar lacombinatoria y lateoría de números.

Informalmente podemos pensar que una serie de potencias formal es unaserie infinita de términos de la forma

${\displaystyle S(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k}$

esto es, unpolinomio con infinitos términos, en que losa_k son elementos de uncuerpo. Para formalizar esto, consideremos el conjunto de todas lassucesiones infinitas de elementos de un cuerpo${\displaystyle \mathbb{K}}$, las cuales representaremos de esta forma:

${\displaystyle A=(a_0,a_1,a_2,\dots )}$

Denotaremos al conjunto de todas estas sucesiones con el símbolo${\displaystyle {\mathbb{K}}^{\mathrm{\infty }}}$. Definimos la suma de estas sucesiones de la siguiente forma:

${\displaystyle (a_0,a_1,a_2,\dots )+(b_0,b_1,b_2,\dots )=(a_0+b_0,a_1+b_1,a_2+b_2,\dots )}$

y su ponderación (multiplicación por escalar) por un elemento del cuerpo${\displaystyle \mathbb{K}}$ como:

${\displaystyle k(a_0,a_1,a_2,\dots )=(k{a}_0,k{a}_1,k{a}_2,\dots )}$

Esto le da al conjunto${\displaystyle {\mathbb{K}}^{\mathrm{\infty }}}$ una estructura deespacio vectorial sobre${\displaystyle \mathbb{K}}$, como puede comprobarse directamente. Ahora definimos el producto entre dos sucesiones de${\displaystyle {\mathbb{K}}^{\mathrm{\infty }}}$ según la fórmula:

${\displaystyle (a_0,a_1,a_2,\dots )\times (b_0,b_1,b_2,\dots )=(a_0{b}_0,a_1{b}_0+a_0{b}_1,a_2{b}_0+a_1{b}_1+a_0{b}_2,\dots )}$

en que, si${\displaystyle A\times B=C=(c_0,c_1,c_2,\dots )}$, el término generalc_k es:

${\displaystyle c_k=\sum _{m+n=k}{a}_m{b}_n}$

Nótese que esta definición coincide con la deproducto de Cauchy de dos sucesiones. Asimismo, si multiplicamos dos polinomios (o dos seriesabsolutamente convergentes) con coeficientes reales o complejos, vemos que los coeficientes del resultado siguen una regla análoga. Por lo mismo esta definición es coherente desde un punto de vista intuitivo.

Se puede demostrar por la definición que la operación${\displaystyle \times }$ en${\displaystyle {\mathbb{K}}^{\mathrm{\infty }}}$ esconmutativa,asociativa ydistributiva, lo que implica que${\displaystyle ({\mathbb{K}}^{\mathrm{\infty }},+,\times )}$ es una${\displaystyle \mathbb{K}}$-álgebra lineal conmutativa con unidad, es decir, una estructura algebraica que es tanto espacio vectorial comoanillo conmutativo con unidad, siendo el elemento neutro la sucesión 1 = (1,0,0,...).

Adoptaremos, como es habitual, la notación${\displaystyle S^0=1,S^1=S,S^{n+1}=S^n\times S}$. Denotaremos porx a la sucesión (0,1,0,0,...). Nótese que en el resto de este artículo la letrax denotará a dicha sucesióny no a una variable. Tenemos entonces:

${\displaystyle x^0=(1,0,0,0,...),x^1=(0,1,0,0,...),x^2=(0,0,1,0,...),x^3=(0,0,0,1,...)}$

etc. Tenemos entonces la igualdad:

${\displaystyle (a_0,a_1,a_2,a_3,\dots )=a_0{x}^0+a_1{x}^1+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\cdots =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k}$

Esta es la definición de una serie formal de potencias. Nótese que el conjunto de las series de potencias para los cuales existe un índicek que satisface quea_n = 0 para todon > k es una sub-álgebra lineal de${\displaystyle {\mathbb{K}}^{\mathrm{\infty }}}$isomorfa al conjunto de lasfunciones polinomios en el cuerpo${\displaystyle \mathbb{K}}$ (a menos que dicho cuerpo sea finito). En general, denotamos a ambos conjuntos con el símbolo${\displaystyle \mathbb{K}[x]}$ y no hacemos distinción entre una serie formal finita y un polinomio.

Nótese que en el concepto de serie formal de potencias la notación${\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k}$ es solamente una expresión conveniente y no alude en ninguna forma a la convergencia o divergencia de la serie, o a asignarle un valor. Se reitera quex representa a la sucesión (0,1,0,0...) y no es una variable. En el caso de una serie finita (polinomio) existe una forma de asignarle directamente un valor, lo que se analizará posteriormente.^[1]​

A pesar de que el trabajo con una serie de potencias formal no involucra de ninguna forma el asignarle un valor a una serie${\displaystyle S=S(x)=(a_0,a_1,a_2,\dots )=a_0{x}^0+a_1{x}^1+a_2{x}^2+\dots }$, podemos, si es conveniente, asignar en ciertos casos un número a una serie de potenciasS, de la siguiente forma:

Sea${\displaystyle \mathcal{A}}$ una${\displaystyle \mathbb{K}}$-álgebra lineal con unidad, i.e. un espacio vectorial${\displaystyle (\mathcal{A},+,\cdot )}$ sobre${\displaystyle \mathbb{K}}$ con una segunda operación${\displaystyle \times }$ que le da a${\displaystyle (\mathcal{A},+,\times )}$ una estructura de anillo con unidad. Como antes, dado un elemento${\displaystyle \alpha \in \mathcal{A}}$, denotamos${\displaystyle {\alpha }^0=1,{\alpha }^1=\alpha ,{\alpha }^{n+1}=\alpha \times {\alpha }^n}$, en que 1 es el elemento unidad de${\displaystyle \mathcal{A}}$ (como es usual). Entonces, dada una serie finita o polinomio formal${\displaystyle S(x)=(s_0{x}^0+s_1{x}^1+s_2{x}^2+\cdots +s_n{x}^n)\in \mathbb{K}[x]}$, se le asigna a cada${\displaystyle \alpha \in \mathcal{A}}$ un elemento de${\displaystyle \mathcal{A}}$ dado por:

${\displaystyle S(\alpha )=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_k{\alpha }^k=s_0\cdot 1+s_1\alpha +s_2{\alpha }^2+\cdots +s_n{\alpha }^n}$

Por ejemplo, si${\displaystyle P(x)=(1+x^2-3x^4)\in \mathbb{R}[x]}$, se tiene que${\displaystyle P(2)=(1+(2{)}^2-3((2{)}^4))=1+4-48=-43}$.

Para asignar de una forma análoga un valor a una serie de potencias formal infinita se deben introducir los conceptos delímite yconvergencia, para lo cual es necesario definir unatopología sobre el conjunto${\displaystyle \mathcal{A}}$. Por ejemplo, si consideramos la serie${\displaystyle S(x)=(1+x+x^2+x^3+\dots )\in {\mathbb{R}}^{\mathrm{\infty }}}$, podemos decir, por ejemplo, que:

${\displaystyle S\left(\frac{1}{2}\right)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots =2}$

y, en general:

${\displaystyle S(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots =\frac{1}{1-x}}$

Sin embargo, por la forma en que se ha construido la topología de${\displaystyle \mathbb{R}}$, esto es, por la definición de límite en el cuerpo de los reales, la última igualdad es válida solamente cuando |x| < 1. Sin embargo, mediante manipulaciones algebraicas o analíticas puede asignársele un valor a otras series a pesar de que no converjan en sentido estricto (véaseSerie divergente para más detalles), por ejemplo, dada la misma serie del ejemplo anterior, intentemos asignar mediante métodos del álgebra un valor aS(2):

S(2) = 1 + 2 + 4 + 8 + ... =u

2u = 2·1 + 2·2 + 2·4 + 2·8 + ... = 2 + 4 + 8 + 16 + ... = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...) - 1 =u - 1

2u =u - 1

u = -1

Podemos ver que, a pesar de que esto en sentido estricto no es correcto, es un resultado coherente y podemos considerarlo válido en cierto contexto en que se requiera queS(2) tenga un valor.

• Serie matemática

• Weisstein, Eric W.«Formal Power Series». En Weisstein, Eric W, ed.MathWorld(en inglés).Wolfram Research. 

• Álgebra
• Análisis matemático
• Combinatoria enumerativa