Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Ir al contenido
WikipediaLa enciclopedia libre
Buscar

Seno (trigonometría)

De Wikipedia, la enciclopedia libre
(Redirigido desde «Seno (matemáticas)»)
Seno

Gráfica de Seno
Definiciónsen (x)
DominioR{\displaystyle \mathbb {R} }
Imagen[-1,1]
Cálculo infinitesimal
Derivadacos x
Función primitiva-cos x + c
Función inversaarcsen x

Enmatemática, elseno es una de las seisfunciones trigonométricas, llamadas tambiénfunciones circulares;[1]​ es una función real eimpar cuyo dominio esR{\displaystyle \mathbb {R} } (el conjunto de losnúmeros reales) y cuyocodominio es el intervalo cerrado[−1,1]{\displaystyle [-1,1]}:

sin:R⟶[−1,1]x⟼sin⁡(x){\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\sin :&\mathbb {R} &\longrightarrow &[-1,1]\\&x&\longmapsto &\sin(x)\end{array}}}

se denotaf(x)=sin⁡(x){\displaystyle f(x)=\sin(x)} para todox∈R{\displaystyle x\in \mathbb {R} }. El nombre se abrevia a veces comosen en la forma española ysin en las formaslatina e inglesa.[2]​[3]​[4]​

Etimología

[editar]

El astrónomo y matemático indioAria Bhatta (476–550 d. C.) estudió el concepto de «seno» con el nombresánscrito deardhá-jya,[5]​ siendo अर्धardha: «mitad, medio», y ज्याjya: «cuerda»). Cuando los escritores árabes tradujeron estas obras científicas alárabe, se referían a este término como جِيبَjiba . Sin embargo, en el árabe escrito se omiten las vocales, por lo que el término quedó abreviadojb. Escritores posteriores que no sabían el origen extranjero de la palabra creyeron quejb era la abreviatura dejiab (que quiere decir «bahía», «cavidad» o «seno»).

A finales del siglo XII, el traductor italianoGerardo de Cremona (1114-1187) tradujo estos escritos del árabe al latín reemplazando el insensatojiab por su contraparte latinasinus (‘hueco, cavidad, bahía, seno’).Luego, esesinus se convirtió en el español «seno».[6]​

Según otra explicación,[cita requerida] lacuerda de un círculo se denomina en latíninscripta corda o simplementeinscripta. La mitad de dicha cuerda se llamasemis inscriptae. Su abreviatura eras. ins., que terminó simplificada comosins. Para asemejarla a una palabra conocida del latín se la denominósinus.

Definición

[editar]
El seno de α es larazónac=BCAB{\displaystyle {\tfrac {a}{c}}={\tfrac {BC}{AB}}}

Entrigonometría, elseno de unánguloα{\displaystyle \alpha \,} de untriángulo rectángulo se define como la razón entre elcateto opuesto a dichoángulo y lahipotenusa:

sin⁡α=ac=BCAB{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{c}}={\frac {BC}{AB}}}

Esta razón no depende del tamaño del triángulo rectángulo escogido sino que es unafunción dependiente del ánguloα.{\displaystyle \alpha .}

SiB{\displaystyle B} pertenece a lacircunferencia goniométrica, es decir, lacircunferencia de radio uno conO=A{\displaystyle O=A} se tiene:

sin⁡α=a=BC{\displaystyle \sin \alpha =a=BC\,}

Ya quec=AB=1{\displaystyle c=AB=1}.

Esta construcción permite representar el valor del seno para ángulos agudos (no obtusos) y funciona exactamente igual para los vectores, representando un vectorAB→{\displaystyle {\vec {AB}}} mediante su descomposición en los vectores ortogonalesAC→{\displaystyle {\vec {AC}}} yCB→{\displaystyle {\vec {CB}}}.

Relaciones trigonométricas

[editar]

El seno puede relacionarse con otrasfunciones trigonométricas mediante el uso deidentidades trigonométricas.

El seno es unafunción impar, es decir:

sin(−x)=−sin⁡(x){\displaystyle \sin \;(-x)=-\sin(x)}

El seno es unafunción periódica de periodo2π{\displaystyle 2\pi },

sinα=sin(α+2kπ),k∈Z{\displaystyle \sin \;\alpha =\;\;\;\sin \;(\alpha +2k\pi ),\;\;k\in \mathbb {Z} }
Por inducción ya que aplicando un número par de vecessinα=−sin⁡(α+π){\displaystyle \sin \;\alpha =-\sin(\alpha +\pi )} se llega a todos los valores de k.

En función del coseno

[editar]

La curva delcoseno es la curva del seno desplazadaπ2{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:

sin⁡α=cos⁡(α−π2){\displaystyle \sin \alpha =\cos \left(\alpha -{\frac {\pi }{2}}\right)}

Además, como la función coseno comparte la misma periodicidad2π{\displaystyle 2\pi }, es posible generalizar a:

sin⁡α=cos⁡(α+(4k+1)π2),k∈Z{\displaystyle \sin \alpha =\cos \left(\alpha +{\frac {(4k+1)\pi }{2}}\right),\quad k\in \mathbb {Z} }

Comosin2⁡α+cos2⁡α=1{\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}, despejandosin⁡α{\displaystyle \sin {\alpha }} se obtiene:

|sin⁡α|=1−cos2⁡α{\displaystyle |\sin \alpha |={\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}}

En función de la tangente

[editar]
sin⁡α=sin⁡α1⋅1cos⁡α1cos⁡α=sin⁡αcos⁡α1cos⁡α=tan⁡αsec⁡α{\displaystyle \sin \alpha ={\cfrac {\sin \alpha }{1}}\cdot {\cfrac {\cfrac {1}{\cos \alpha }}{\cfrac {1}{\cos \alpha }}}={\cfrac {\cfrac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}{\cfrac {1}{\cos \alpha }}}={\cfrac {\tan \alpha }{\sec \alpha }}}

Podemos agregar quesin⁡α⋅sec⁡α=tan⁡α{\displaystyle \sin \alpha \cdot \sec \alpha =\tan \alpha },y continuandosec2⁡α=1+tan2⁡α{\displaystyle \sec ^{2}\alpha =1+\tan ^{2}\alpha }, despejando y reemplazandosec⁡α{\displaystyle \sec \alpha } se obtiene:

sin⁡α=tan⁡αsec⁡α=tan⁡α1+tan2⁡α{\displaystyle \sin \alpha ={\cfrac {\tan \alpha }{\sec \alpha }}={\cfrac {\tan \alpha }{\sqrt {1+\tan ^{2}\alpha }}}}

En función de la cotangente

[editar]

Sabiendo quesin⁡α=1csc⁡α{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {1}{\csc \alpha }}}, y quecsc2⁡α=1+cot2⁡α{\displaystyle \csc ^{2}\alpha =1+\cot ^{2}\alpha }, entonces:

sin⁡α=1csc⁡α=11+cot2⁡α{\displaystyle \sin \alpha ={\cfrac {1}{\csc \alpha }}={\cfrac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\alpha }}}}

En función de la secante

[editar]
sin⁡α=tan⁡αsec⁡α{\displaystyle \sin \alpha ={\cfrac {\tan \alpha }{\sec \alpha }}}

Comosec2⁡α=1+tan2⁡α{\displaystyle \sec ^{2}\alpha =1+\tan ^{2}\alpha }, despejando y reemplazandotan⁡α{\displaystyle \tan \alpha } se obtiene:

sin⁡α=tan⁡αsec⁡α=sec2⁡α−1sec⁡α{\displaystyle \sin \alpha ={\cfrac {\tan \alpha }{\sec \alpha }}={\cfrac {\sqrt {\sec ^{2}\alpha -1}}{\sec \alpha }}}

En función de la cosecante

[editar]

El seno y la cosecante son inversos multiplicativos:

sin⁡α=1csc⁡α{\displaystyle \sin \alpha ={\cfrac {1}{\csc \alpha }}}[7]​

Seno de la suma de dos ángulos

[editar]
sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β{\displaystyle \sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }

sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β{\displaystyle \sin \left(\alpha -\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta }

Lademostración está en la sección deidentidades trigonométricas.

Seno del ángulo doble

[editar]
sin⁡(2α)=2sin⁡αcos⁡α{\displaystyle \sin \left(2\alpha \right)=2\sin \alpha \cos \alpha }
Como:
sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β{\displaystyle \sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }

Bastará con el cambioβ=α{\displaystyle \beta =\alpha \,}

Seno del ángulo mitad

[editar]
sin⁡(α2)={1−cos⁡α2 si α2∈[2kπ,(2k+1)π)−1−cos⁡α2 si α2∈[(2k+1)π,2(k+1)π), para k∈Z{\displaystyle \sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\begin{cases}{\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}&{\text{ si }}{\frac {\alpha }{2}}\in [2k\pi ,(2k+1)\pi )\\-{\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}&{\text{ si }}{\frac {\alpha }{2}}\in [(2k+1)\pi ,2(k+1)\pi )\end{cases}}\;,{\text{ para }}k\in \mathbb {Z} }
Usando las fórmulas:
sin2⁡θ+cos2⁡θ=1{\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,} y
cos⁡(2θ)=cos2⁡θ−sin2⁡θ{\displaystyle \cos \left(2\theta \right)=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta }

resulta:

cos⁡(2θ)=1−2sin2⁡θ{\displaystyle \cos \left(2\theta \right)=1-2\sin ^{2}\theta }
Representación dey=1−cos⁡(2x)2.{\displaystyle y\;=\;{\sqrt {\frac {1-\cos(2x)}{2}}}.}

y aislandosin⁡θ{\displaystyle \sin \theta }:

|sin⁡θ|=1−cos⁡(2θ)2{\displaystyle \vert \sin \theta \vert ={\sqrt {\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}}}

El cambioθ=α2{\displaystyle \theta ={\frac {\alpha }{2}}} corrige el ángulo y se extrae el valor absoluto con signo del seno:

0<sin⁡α2siα2∈[0,π)+2kπ,{\displaystyle 0<\sin {\frac {\alpha }{2}}\;\;\;\;\;{\text{si}}\;\;\;{\frac {\alpha }{2}}\in [0,\,\pi )+2k\pi ,}0>sin⁡α2siα2∈[π,2π)+2kπ{\displaystyle 0>\sin {\frac {\alpha }{2}}\;\;\;\;\;{\text{si}}\;\;\;{\frac {\alpha }{2}}\in [\pi ,\,2\pi )+2k\pi }

dondek∈Z{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }.

Suma de senos como producto

[editar]
sin⁡a+sin⁡b=2sin⁡(a+b2)cos⁡(a−b2){\displaystyle \sin a+\sin b=2\sin \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)}

sin⁡a−sin⁡b=2cos⁡(a+b2)sin⁡(a−b2){\displaystyle \sin a-\sin b=2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\sin \left({\frac {a-b}{2}}\right)}

Usandoseno de la suma de dos ángulos y con el cambioa=α+β,b=α−β{\displaystyle a=\alpha +\beta ,b=\alpha -\beta } se tiene:
sin⁡a=sin⁡(a+b2)cos⁡(a−b2)+cos⁡(a+b2)sin⁡(a−b2){\displaystyle \sin a=\sin \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)+\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\sin \left({\frac {a-b}{2}}\right)}
sin⁡b=sin⁡(a+b2)cos⁡(a−b2)−cos⁡(a+b2)sin⁡(a−b2){\displaystyle \sin b=\sin \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)-\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\sin \left({\frac {a-b}{2}}\right)}

Luego sumando o restando según convenga salen ambas ecuaciones.

Producto de senos como suma

[editar]
sin⁡(α)sin⁡(β)=sin2⁡(α−β2)−sin2⁡(α+β2)=cos2⁡(α+β2)−cos2⁡(α−β2){\displaystyle \sin(\alpha )\sin(\beta )=\sin ^{2}\left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)-\sin ^{2}\left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)=\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)-\cos ^{2}\left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}

sin⁡(α)sin⁡(β)=12(cos⁡(α+β)−cos⁡(α−β)){\displaystyle \sin(\alpha )\sin(\beta )={\frac {1}{2}}\left(\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )\right)}

Para la ecuación inferior: aplicando las ecuaciones decoseno de la suma de dos ángulos y restando ambos términos, resulta la ecuación superior.

Potencias de senos

[editar]

Análisis matemático

[editar]

Definición

[editar]

La funciónseno puede definirse mediante un sistema de dosecuaciones diferenciales ordinarias:

dx/dt=y{\displaystyle dx/dt=y}
dy/dt=−x{\displaystyle dy/dt=-x}

si la condición inicial es (0,1) entonces su solución esx=sin⁡(t){\displaystyle x=\sin(t)} ey=cos⁡(t){\displaystyle y=\cos(t)}.

Derivada

[editar]
sin′⁡x=cos⁡x{\displaystyle \sin 'x=\cos x\,}

Como serie de Taylor

[editar]

El seno comoSerie de Taylor en torno aa = 0 es:

sin⁡x=x−x33!+x55!−x77!+⋯=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!{\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\end{aligned}}}

Propiedades

[editar]

Análisis complejo

[editar]

En elplano complejo a través de lafórmula de Euler se tiene que:

sin (z)=eiz−e−iz2i{\displaystyle {\sin }\ (z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}}
Dada la fórmula de Euler:
eiz=cos (z)+isin (z){\displaystyle e^{iz}={\cos }\ (z)+i{\sin }\ (z)}

dondee{\displaystyle e} es labase del logaritmo natural, ei{\displaystyle i} es launidad de los números imaginarios.

Mediante las identidades del senos y cosenos aplicado ae−iz{\displaystyle e^{-iz}} se tiene también que:

e−iz=cos (−z)+isin (−z)={\displaystyle e^{-iz}={\cos }\ (-z)+i{\sin }\ (-z)=}cos (z)−isin (z){\displaystyle {\cos }\ (z)-i{\sin }\ (z)}

Restando la segunda ecuación a la primera se tiene:

eiz−e−iz=2isin (z){\displaystyle e^{iz}-e^{-iz}=2i{\sin }\ (z)}[9]​

de donde despejando el seno se obtiene lo que se quiere.

En programación

[editar]

Gran parte de los lenguajes de programación tienen la función seno en sus librerías.

La mayoría de los modelos decalculadoras están configurados y aceptan el valor de unángulo cualquiera en los tres sistemas estándares de referencia angular:grados sexagesimales, grados centesimales yradianes.

Ejemplos:

Seno de 45 grados = 0,7071
Seno de 45 radianes = 0,8509.

Obsérvese que la diferencia entre ambos valores resultantes podría pasar desapercibida. Es necesario, entonces, pasar los grados a radianes o viceversa. Nótese que el símboloπ es elnúmero Pi. Ejemplo de conversiones:

Rad = Deg * π/180
Deg = Rad * 180/π.

La comprobación del modo en curso de una calculadora se hace con valores conocidos:π{\displaystyle \pi } y 90°:

sin⁡π=0{\displaystyle \sin \pi =0} en caso del modo de radianes activo.
sin⁡90=1{\displaystyle \sin 90=1} en caso del modo de grados sexagesimales activo.

Representación gráfica

[editar]

Véase también

[editar]

Referencias

[editar]
  1. ↑ A. I. Markushévich:Curvas maravillosas/ Números complejos y representaciones conformee/ Funciones maravillosas Editorial Mir, Moscú, 1988, pp 99-100
  2. ↑Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales.Diccionario esencial de las ciencias.ISBN 84-239-7921-0. «Sen->Abreviatura de seno. Seno->...Abreviado sen. Sin->()Elemento compositivo que significa "con","a la vez".» 
  3. ↑A. Bouvier y M. George.Diccionario de Matemáticas. AKAL.ISBN 84-7339-706-1. «Sen->Abreviación de seno. Seno->...Representado por Sen.» 
  4. ↑Equipo editorial (2001).Enciclopedia didáctica de matemáticas. OCEANO.ISBN 84-494-0696-X. «Seno-> ... sen â ...» 
  5. ↑En el sitioCentros5.Pntic.Mec.es se refieren erróneamente ayia comoyivá, que no significa «cuerda» sino «ser vivo».
  6. ↑Howard Eves (1990).An Introduction to the History of Mathematics (6th Edition, p.237). Saunders College Publishing House, New York. 
  7. ↑I. Bronshtein & K. Semendiaev: Manual de matemáticas, Editorial Mir, Moscú/ 1973, pág. 210
  8. ↑ Bronshtein. Op. ci pág, pág. 275
  9. ↑A. Markushevich:Teoría de las funciones analíticas' tomo I editorial Mir Moscú (1970)

Enlaces externos

[editar]
 
Funciones trigonométricas e hiperbólicas
Grupos
Otras
Control de autoridades
Obtenido de «https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Seno_(trigonometría)&oldid=163906978»
Categoría:
Categoría oculta:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp