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Semieje mayor

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Parámetros de una elipse:a representa el semieje mayor, la distancia entre el centro de la elipse y los puntos A y B, es decir, la mitad del eje mayor

Enmatemáticas, elsemieje mayor de unaelipse es la mitad deldiámetro más largo;[1]​ su símbolo esa. Enastronomía, es equivalente a la distancia media de un objeto que orbita alrededor de otro, ya que el objeto central (por ejemplo, el Sol) ocupa uno de losfocos.

Elsemieje mayor (semieje mayorsemiaxis) es elsemidiámetro más largo o la mitad del eje mayor, y por tanto va desde el centro, pasando por unfoco, hasta el perímetro. Elsemieje menor (semieje menor) de una elipse ohipérbola es un segmento de recta que formaángulo recto con el semieje mayor y tiene un extremo en el centro de lasección cónica. Para el caso especial de una circunferencia, las longitudes de los semiejes son ambas iguales alradio de la circunferencia.

La longitud del semieje mayora de una elipse se relaciona con la longitud del semieje menorb a través de laexcentricidade y delsemilato recto. Ellatus rectum es la cuerda paralela a la directriz y que pasa por un foco; su semilongitud es elsemilatus rectum (ℓ). El valor deℓ{\displaystyle \ell } se calcula como sigue:

b=a1−e2,ℓ=a(1−e2),aℓ=b2.{\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\\ell &=a(1-e^{2}),\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}}

El semieje mayor de unahipérbola es, según la convención, más o menos la mitad de la distancia entre las dos ramas. Por tanto, es la distancia desde el centro a cualquiera de losvértices de la hipérbola.

Unaparábola puede obtenerse como el límite de una secuencia de elipses en las que se mantiene fijo un foco mientras se permite que el otro se aleje arbitrariamente en una dirección, manteniendo fijoℓ{\displaystyle \ell }. Así,a yb tienden a infinito,a más rápido queb.

Los ejes mayor y menor son losejes de simetría de la curva: en una elipse, el eje menor es el más corto; en una hipérbola, es el que no interseca a la hipérbola.

Elipse

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La ecuación de una elipse es

(x−h)2a2+(y−k)2b2=1,{\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1,}

donde (h, k) es el centro de la elipse encoordenadas cartesianas, en la que un punto arbitrario viene dado por (x, y).

El semieje mayor es el valor medio de las distancias máxima y mínimarmax{\displaystyle r_{\text{max}}} yrmin{\displaystyle r_{\text{min}}} de la elipse a un foco -es decir, de las distancias de un foco a los puntos extremos del eje mayor:a=rmax+rmin2.{\displaystyle a={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}}.}En astronomía estos puntos extremos se denominanápsides.[2]​

El semieje menor de una elipse es lamedia geométrica de estas distancias:

b=rmaxrmin.{\displaystyle b={\sqrt {r_{\text{max}}r_{\text{min}}}}.}

Laexcentricidad de una elipse se define como

e=1−b2a2,{\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}},}

así que

rmin=a(1−e),rmax=a(1+e).{\displaystyle r_{\text{min}}=a(1-e),\quad r_{\text{max}}=a(1+e).}

Consideremos ahora la ecuación encoordenadas polares, con un foco en el origen y el otro en la direcciónθ=π{\displaystyle \theta =\pi }:

r(1+ecos⁡θ)=ℓ.{\displaystyle r(1+e\cos \theta )=\ell .}

El valor medio der=ℓ/(1−e){\displaystyle r=\ell /(1-e)} yr=ℓ/(1+e){\displaystyle r=\ell /(1+e)}, paraθ=π{\displaystyle \theta =\pi } yθ=0{\displaystyle \theta =0} es

a=ℓ1−e2.{\displaystyle a={\frac {\ell }{1-e^{2}}}.}

En una elipse, el semieje mayor es lamedia geométrica de la distancia del centro a cualquiera de los focos y la distancia del centro a cualquiera de las directivas.

El semieje menor de una elipse va desde el centro de la elipse (un punto a mitad de camino y sobre la línea que discurre entre losfocos) hasta el borde de la elipse. El semieje menor es la mitad del eje menor. El eje menor es el segmento de línea más largo perpendicular al eje mayor que une dos puntos del borde de la elipse.

El semieje menorb se relaciona con el semieje mayora a través de la excentricidade y elrecto semilatino.ℓ{\displaystyle \ell }, de la siguiente manera:

b=a1−e2,Nyaℓ=b2.{\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\\mathbb {N} ya\ell &=b^{2}.\end{aligned}}}

Unaparábola puede obtenerse como el límite de una secuencia de elipses en las que se mantiene fijo un foco mientras se permite que el otro se aleje arbitrariamente en una dirección, manteniendo fijo elℓ{\displaystyle \ell }. Así,a yb tienden al infinito,a más rápido queb.

La longitud del semieje menor también podría hallarse mediante la siguiente fórmula:[3]​

2b=(p+q)2−f2,{\displaystyle 2b={\sqrt {(p+q)^{2}-f^{2}}},}

dondef es la distancia entre los focos,p yq son las distancias de cada foco a cualquier punto de la elipse.

Hipérbola

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El semieje mayor de unahipérbola es, según la convención, más o menos la mitad de la distancia entre las dos ramas; si ésta esa en la dirección x la ecuación es:

(x−h)2a2−(y−k)2b2=1.{\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1.}

En términos del semilato recto y la excentricidad tenemos

a=elle2−1.{\displaystyle a={ell \over e^{2}-1}.} Se trata de un eje transversal de una hiperbólica.

El eje transversal de una hipérbola coincide con el eje mayor.[4]​

En una hipérbola se puede trazar un eje conjugado o eje menor de longitud2b{\displaystyle 2b}, correspondiente al eje menor de una elipse, perpendicular al eje transversal o eje mayor, conectando este último los dosvértices (puntos de inflexión) de la hipérbola, intersecándose ambos ejes en el centro de la misma. Los puntos extremos(0,±b){\displaystyle (0,\pm b)} del eje menor se encuentran a la altura de las asíntotas sobre/bajo los vértices de la hipérbola. Cualquiera de las dos mitades del eje menor se denomina semieje menor, de longitudb. Denotando la longitud del eje semimayor (distancia del centro a un vértice) comoa, las longitudes de los ejes semimor y semimayor aparecen en la ecuación de la hipérbola respecto a estos ejes de la siguiente manera:

x2a2−y2b2=1.{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}

El semieje menor es también la distancia de uno de los focos de la hipérbola a una asíntota. A menudo se denominaparámetro de impacto, y es importante en física y astronomía, y mide la distancia por la que una partícula perderá el foco si su viaje no es perturbado por el cuerpo en el foco.

El semieje menor y el semieje mayor se relacionan a través de la excentricidad, de la siguiente manera:

b=ae2−1.{\displaystyle b=a{\sqrt {e^{2}-1}}.}[5]​

Nótese que en una hipérbolab puede ser mayor quea.[6]​

Astronomía

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Período orbital

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Log-log plot of periodT vs semi-major axisa (average of aphelion and perihelion) (promedio de afelio y perihelio) de algunas órbitas del sistema solar (las cruces indican los valores de Kepler) mostrando quea3{hairsp/ T2} es constante (línea verde)

.

Enastrodinámica elperíodo orbitalT de un cuerpo pequeño que orbita alrededor de un cuerpo central en una órbita circular o elíptica es:[2]​

T=2πa3μ,{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}},}

donde:

a es la longitud del semieje mayor de la órbita,
μ{\displaystyle \mu } es elparámetro gravitacional estándar del cuerpo central.

Obsérvese que para todas las elipses con un semieje mayor dado, el período orbital es el mismo, sin tener en cuenta su excentricidad.

Elmomento angular específicoh de un cuerpo pequeño que orbita alrededor de un cuerpo central en una órbita circular o elíptica es[2]​h=aμ(1−e2),{\displaystyle h={\sqrt {a\mu (1-e^{2})}},}

donde:

a yμ{\displaystyle \mu } son como se definió anteriormente,
e es la excentricidad de la órbita.

Enastronomía, el semieje mayor es uno de loselementos orbitales más importantes de unaórbita, junto con superiodo orbital. Para los objetos delsistema solar, el semieje mayor está relacionado con el periodo de la órbita portercera ley de Kepler (originalmenteempíricamente derivada):[2]​

T2∝a3,{\displaystyle T^{2}\propto a^{3},}

dondeT es el periodo, ya es el semieje mayor. Esta forma resulta ser una simplificación de la forma general para elproblema de los dos cuerpos, determinada porNewton:[2]​

T2=4π2G(M+m)a3,{\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3},}

dondeG es laconstante de gravitación universal,M es lamasa del cuerpo central, ym es la masa del cuerpo en órbita. Normalmente, la masa del cuerpo central es mucho mayor que la del cuerpo en órbita, por lo quem puede ignorarse. Haciendo esta suposición y utilizando las unidades astronómicas típicas se obtiene la forma más simple que descubrió Kepler.

La trayectoria del cuerpo en órbita alrededor delbaricentro y su trayectoria relativa a su primario son ambas elipses.[2]​ El semieje mayor se utiliza a veces en astronomía como la distancia primario-secundario cuando la relación de masas del primario respecto al secundario es significativamente grande (M≫m{\displaystyle M\gg m}); así, los parámetros orbitales de los planetas se dan en términos heliocéntricos. La diferencia entre las órbitas primocéntricas y las "absolutas" puede ilustrarse mejor observando el sistema Tierra-Luna. En este caso, la relación de masas es 81,30059. La distancia característica Tierra-Luna, el semieje mayor de la órbita lunargeocéntrica, es de 384 400 km. (Dada la excentricidade = 0,0549 de la órbita lunar, su semieje menor es de 383 800 km. Por tanto, la órbita de la Luna es casi circular). La órbita lunarbaricéntrica, en cambio, tiene un semieje mayor de 379 730 km, la contraórbita de la Tierra ocupa la diferencia, 4670 km. La velocidad orbital baricéntrica media de la Luna es de 1,010 km/s, mientras que la de la Tierra es de 0,012 km/s. La suma de estas velocidades da una velocidad orbital lunar media geocéntrica de 1,022 km/s; el mismo valor puede obtenerse considerando sólo el valor del semieje mayor geocéntrico.

Elsemieje mayor es una de las características más importantes de unaórbita,[7]​ junto con superíodo orbital. Puede sermatemáticamente probado que para un cuerpo orbitando, el semieje mayor representa la distancia media del cuerpo a la fuente centralgravitacional. Para los objetos delsistema solar, elsemieje mayor está relacionado con el período de la órbita por latercera ley de Kepler,[8]​ originalmente descrita como:

P2=ka3{\displaystyle P^{2}=ka^{3}\,}

dondeP es el período medido en años,a es el semieje mayor medido enunidades astronómicas yk una constante de proporcionalidad.

Esta fórmula fue modificada porNewton al desarrollar su teoríagravitatoria, expresándola como:[9]​

P2=4π2GMa3{\displaystyle P^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}a^{3}}

dondeG es laConstante de gravitación universal yM es lamasa del cuerpo central.

Distancia promedio

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Se suele decir que el semieje mayor es la distancia "media" entre el foco primario de la elipse y el cuerpo en órbita. Esto no es del todo exacto, porque depende de sobre qué se tome la media. La distancia media en tiempo y ángulo del cuerpo en órbita puede variar en un 50-100% respecto al semieje mayor orbital, dependiendo de la excentricidad.[10]​

El valor promediado en el tiempo del recíproco del radio,r−1{\displaystyle r^{-1}}, esa−1{\displaystyle a^{-1}}.

Energía; cálculo del semieje mayor a partir de los vectores de estado

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Enastrodinámica, el semieje mayora puede calcularse a partir devectores de estado orbital:

a=−μ2ε{\displaystyle a=-{\frac {\mu }{2\varepsilon }}}

para unaórbita elíptica y, dependiendo de la convención, igual o

a=μ2ε{\displaystyle a={\frac {\mu }{2\varepsilon }}} para unatrayectoria hiperbólica.

y

ε=v22−μ|r|{\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{|\mathbf {r} |}}}

(energía orbital específica) y

μ=GM,{\displaystyle \mu =GM,}

(Parámetro gravitacional estándar), donde:

v es la velocidad orbital devector de velocidad de un objeto en órbita,
r es uncartesianasVector de posición de un objeto en órbita en coordenadas de unMarco de referencia con respecto al cual deben calcularse los elementos de la órbita (por ejemplo, ecuatorial geocéntrica para una órbita alrededor de la Tierra, o heliocéntricaeclíptica para una órbita alrededor del Sol),
G es laConstante de gravitación universal,
M es la masa del cuerpo gravitatorio, y
ε{\displaystyle \varepsilon } es la energía específica del cuerpo en órbita.

Obsérvese que para una cantidad dada de masa total, la energía específica y el semieje mayor son siempre iguales, independientemente de la excentricidad o de la relación entre las masas. A la inversa, para una masa total y un semieje mayor dados, laenergía orbital específica total es siempre la misma. Esta afirmación siempre será cierta en cualquier condición.

Semieje mayor y semieje menor de las órbitas de los planetas

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Las órbitas de los planetas se citan siempre como ejemplos de elipses (primera ley de Kepler). Sin embargo, la mínima diferencia entre los ejes semimayor y semiminor muestra que son prácticamente circulares en apariencia. Esa diferencia (o relación) se basa en la excentricidad y se calcula comorarp=1+e1−e{\displaystyle {\frac {r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}}}={\frac {1+e}{1-e}}}, que para las excentricidades típicas de los planetas arroja resultados muy pequeños.

La razón de la suposición de órbitas elípticas prominentes radica probablemente en la diferencia mucho mayor entre el afelio y el perihelio. Esa diferencia (o ratio) también se basa en la excentricidad y se calcula comorarp=1+e1−e{\displaystyle {\frac {r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}}}={\frac {1+e}{1-e}}}. Debido a la gran diferencia entre el afelio y el perihelio,Segunda ley de Kepler se visualiza fácilmente.

ExcentricidadSemieje mayora (AU)Semieje menorb (AU)Diferencia (%)Perihelio (AU)Afelio (AU)Diferencia (%)
Mercurio0.2060.387000.378702.20.3070.46752
Venus0.0070.723000.722980.0020.7180.7281.4
Tierra0.0171.000000.999860.0140.9831.0173.5
Marte0.0931.524001.517400.441.3821.66621
Júpiter0.0495.204405.198200.124.9505.45910
Saturno0.0579.582609.567300.169.04110.12412
Urano0.04619.2184019.197700.1118.33020.1109.7
Neptuno0.01030.1100030.108700.00429.82030.4001.9

Véase también

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Referencias

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  1. ↑Matemáticas 4. Ediciones Umbral. p. 136.ISBN 9789685607551. Consultado el 12 de octubre de 2021. 
  2. ↑abcdefLissauer, Jack J.; de Pater, Imke (2019).Ciencias planetarias fundamentales: física, química y habitabilidad. Cambridge University Press. pp. 24-31.ISBN 9781108411981. 
  3. ↑"Major / Minor axis of an ellipse", Math Open Reference, 12 de mayo de 2013.
  4. ↑«7.1 Caracterización alternativa».www.geom.uiuc.edu. Archivado desdeel original el 24 de octubre de 2018. Consultado el 1 de marzo de 2022. 
  5. ↑«La geometría de las órbitas: Elipses, Parábolas e Hipérbolas».www.bogan.ca. 
  6. ↑«7.1 Caracterización alternativa». Archivado desdeel original el 24 de octubre de 2018. Consultado el 1 de marzo de 2022. 
  7. ↑Diccionario de astronomía. Editorial Complutense. 2004. pp. 232 de 786.ISBN 9788489784703. Consultado el 12 de octubre de 2021. 
  8. ↑Raymond A. Serway, Jerry S. Faughn (1999).College Physics. Pearson Educación. pp. 202 de 1029.ISBN 9789702600152. Consultado el 12 de octubre de 2021. 
  9. ↑Jay M. Pasachoff, Alex Filippenko (2014).The Cosmos: Astronomy in the New Millennium. Cambridge University Press. pp. 110 de 599.ISBN 9781107687561. Consultado el 12 de octubre de 2021. 
  10. ↑Williams, Darren M. (Noviembre 2003). «Distancia media entre una estrella y un planeta en una órbita excéntrica».American Journal of Physics71 (11): 1198-1200.Bibcode:2003AmJPh..71.1198W.doi:10.1119/1.1578073. 

Enlaces externos

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